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用坐標軸平移妙解斜率和(或積)為定值問題

劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

摘 要：本文根據(jù)斜率是平移變換下的不變量，舉例示范如何利用坐標軸巧妙平移解決斜率和(或積)為定值問題.

關鍵詞：坐標軸平移；圓錐曲線；定點；定值

一、用坐標軸平移解已知斜率和為定值問題

定理1 已知雙曲線

定點A(x0,y0)∈C,(點A不是雙曲線頂點),動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,①當γ=0時，為定值，且等于雙曲線在點A處切線斜率的相反數(shù)；②當γ≠0時，則直線PQ恒過定點D，且

證明 以A(x0,y0)為原點，建立新坐標系X′O′Y′，聯(lián)立新坐標系下的方程

所以b2x′2-a2y′2+(2x0b2x′-2y0a2y′)(mx′+ny′)=0-+(2nb2x0-2ma2y0)+b2+2mb2x0=0.

1°當

時,把雙曲線方程兩邊對x求導，得所以

2°當

時,在新系下的方程直線過定點點D在原坐標系的坐標為

二、用坐標軸平移解已知斜率積為定值問題

定理2 已知雙曲線

定點A(x0,y0)∈C,動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP·kAQ=γ,①當時，為定值；②當時，則直線PQ恒過定點D，且

證明 由定理1的證明，得

①當

時，

②當

時，直線PQ在新系下的方程：過定點點D在原坐標系下的坐標為

三、用坐標軸平移解結論為斜率和是定值問題

定理3 已知定點P(a,0),Q(a,-m)(m≠0),經過點Q的動直線l與橢圓

交于M，N兩點，則直線PM與直線PN的斜率的和為定值

證明 以P(a,0)為原點，建立新坐標系X′O′Y′，聯(lián)立新坐標系下的方程

所以所以所以為定值.

四、用坐標軸平移解結論為斜率的倒數(shù)和為定值問題

定理4 已知定點P(0，b),Q(-m,b)(m≠0),經過點Q的動直線l與橢圓

交于M，N兩點，則直線PM，PN的斜率的倒數(shù)之和為定值

證明 以P(0，b)為原點，建立新坐標系X′O′Y′，聯(lián)立新坐標系下的方程

所以所以所以為定值.

五、強化訓練

1.已知橢圓

定點A(x0,y0)∈C,(點A不是橢圓頂點),動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,①當γ=0時，為定值，且等于橢圓在A點處切線斜率的相反數(shù)；②當γ≠0時，則直線PQ恒過定點D，且

證明見文[3].

2.已知橢圓

 定點A(x0,y0)∈C,(點A不是橢圓頂點),動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP·kAQ=γ,①當時，為定值，②當時，則直線PQ恒過定點D，且

證明見文[4].

3.已知拋物線C:y2=2px,定點A(a,b)∈C,,動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP+kAQ=γ,①當γ=0時，kPQ為定值，且等于拋物線在A點處切線斜率的相反數(shù)；②當γ≠0時，則直線PQ恒過定點D，且

4.已知拋物線C:y2=2px,定點A(x0,y0)∈C,,動點P(x1,y1)∈C,Q(x2,y2)∈C,若kAP·kAQ=γ,則直線PQ恒過定點D，且

5.已知定點P(-a,0),Q(-a,-m)(m≠0),經過點Q的動直線l與橢圓

交于M，N兩點，則直線PM與直線PN的斜率的和為定值

6.已知定點P(0，-b),Q(-m,-b)(m≠0),經過點Q的動直線l與橢圓

交于M，N兩點，則直線PM，PN的斜率的倒數(shù)之和為定值

更多的練習題見文[5].

參考文獻：

[1]劉大鵬.斜率和(或積)為定值條件下圓錐曲線的性質[J].中學數(shù)學研究(華南師范大學版)，2020(05)：44-45.

[2]耿曉紅，郭守靜.基于數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，引導學生變式探究——以一類圓錐曲線定值問題探究為例[J].中學數(shù)學教學參考，2019(10)：60-63.

[3]徐道.一道高考題思考后的思考[J].數(shù)學教學，2010(09):46-48.

[4]劉大鵬.對2020年高考山東22題的推廣與解法的研究[J].數(shù)理化學習(高中版)，2021(03)：8-10.

[5]姚良玲，楊列敏.一個優(yōu)美結論的再推廣[J].中學數(shù)學教學參考(上旬)，2018(19)：54-55.

作者簡介：劉大鵬(1971.10-)，男，遼寧省黑山人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

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