本題例舉的四種輔助線的添加方法，都能想明白嗎？
例7 如圖5-11，已知：△ABC中，AB=2AC，∠A=2∠B。求證：∠C=90°
圖5-11
分析：本題的條件中給出了∠A=2∠B，這是兩個角之間的倍半關(guān)系，所以可根據(jù)角的倍半關(guān)系的定義開始進(jìn)行分析。
若考慮先作出∠A的一半，則作∠BAC的角平分線交BC于D（如圖5-12），那么∠CAD=∠DAB=∠B，由于∠DAB和∠B是△DAB的內(nèi)角，所以由這兩個角相等，就可得DA=DB。
圖5-12
再由條件AB=2AC，那么根據(jù)線段的倍半關(guān)系的定義，取AB的中點E后（如圖5-13），可得AE=1/2· AB=AC，但由于這樣就出現(xiàn)了等腰△DAB的底邊AB的中點E，所以可應(yīng)用等腰三角形中的重要線段這個基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行證明，于是聯(lián)結(jié)DE后（如圖5-13），可得DE⊥AB，也就是∠DEA=90°。由于現(xiàn)在出現(xiàn)的兩條相等線段AE和AC是關(guān)于AD成軸對稱的，從而就可應(yīng)用軸對稱型的全等三角形進(jìn)行證明。由于這時角平分線AD是對稱軸，所以就可找到這對全等三角形應(yīng)是△ADC和△ADE，而根據(jù)AE=AC，∠DAC=∠DAE，AD=AD，就可證明這兩個三角形全等，從而就可證得∠C=∠DEA=90°
圖5-13
在由條件AB=2AC，并根據(jù)線段倍半關(guān)系的定義進(jìn)行分析時，也可以先作出AC的兩倍，也就是延長AC到E使CE=AC（如圖5-13），那么就有AE=2AC=AB，這樣AE和AB，這兩條相等線段就是關(guān)于角平分線AD成軸對稱的，所以可應(yīng)用軸對稱型全等三角形進(jìn)行證明。而由AD是對稱軸，就可以找到這對全等三角形應(yīng)是△ABD和△AED，于是應(yīng)先聯(lián)結(jié)DE（如圖5-14）。這樣在△ABD和△AED中，就有AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，所以△ABD≌△AED，也就可得DE=DB=DA，△DAE也是等腰三角形，而我們已經(jīng)作出了EC=AC，所以應(yīng)用等腰三角形中的重要線段的基本圖形的性質(zhì)就可證得DC⊥AC。
圖5-14
如果在根據(jù)兩個角的倍半關(guān)系的定義進(jìn)行分析時，考慮作出∠B的兩倍，由于這時∠B有兩條邊，所以以哪條邊作為兩倍角的一邊就出現(xiàn)了兩種可能。
若考慮以BC為邊，在∠B的外側(cè)作角。則作∠ABD=2∠B，或者也就是作∠CBD=∠ABC交AC的延長線于D（如圖5-15），即可得∠ABD=∠A，DB=DA。由于我們作出的BC是∠ABD的角平分線，而要證的結(jié)論是AC⊥BC，構(gòu)成了角平分線和向角平分線所作垂線之間的組合關(guān)系，所以必定也得到一個等腰三角形的基本圖形，所以問題就是要證BD=BA，實質(zhì)上也就是要證BD、BA和DA都相等。由條件AB=2AC，所以問題就是要證BD也等于2AC。由于這兩個數(shù)量關(guān)系涉及夾∠ABD的兩邊，所以想到要應(yīng)用三角形的角平分線性質(zhì)，即有BA/BD=AC/DC，但BA/AC=2所以BD/DC=2，即BD=2CD，但我們已證BD=AD，所以有AD=2CD，AC=DC，從而就可證得BD=BA，AC⊥BC。
圖5-15
若考慮以BA為邊，在∠B的外側(cè)作角，則作∠CBD=2∠CBA交CA的延長線于D（如圖5-16），即可得∠BAC=2∠ABC=2∠ABD。由C、A、D成一直線，可得∠BAC就是△ABD的一個外角，△ABD就是一個等腰三角形，即AB=AD，但已知AB=2AC，所以有AD=2AC，AD/AC=2。而BA現(xiàn)在是∠CAD的角平分線，所以又可應(yīng)用三角形的角平分線的性質(zhì)得BD/BC=AD/AC，BD/BC=2，BD=2BC。這樣又可以根據(jù)線段倍半關(guān)系的定義，取BD的中點E后（如圖5-17），可得BE=BC。從而就出現(xiàn)了BE和BC這兩條相等線段是關(guān)于角平分線BA成軸對稱的，所以可添加一對軸對稱型全等三角形進(jìn)行證明，也就是聯(lián)結(jié)AE后，由BE=BC，∠ABE=∠ABC和AB=AB，可得△ABC≌△ABE，∠C=∠AEB，這樣要證明∠C=90°，就可以轉(zhuǎn)而證∠AEB=90°，而在△ABD中，AB=AD，BE=DE，所以上述性質(zhì)可以證明，分析也就可以完成。
圖5-16
圖5-17
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