理查德·費曼
（圖源：The pleasure of finding things out）
引言：路徑積分別有新意 眾人構(gòu)建量子場論
撰文 | 張?zhí)烊?/span>
責(zé)編 | 寧 茜 呂浩然
在量子力學(xué)建立初期，可以基本上認(rèn)為它有兩套綱領(lǐng)：海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901-1976）等人的矩陣力學(xué)和薛定諤（Erwin Schr?dinger，1887-1961）的波動力學(xué)。但實際上它們在數(shù)學(xué)上是完全等價的，僅僅從表面上看似乎分別偏向于粒子能級躍遷的解釋和波動解釋。之后，狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）將波動方程擴大到能夠處理相對論粒子和自旋，使得量子力學(xué)應(yīng)用起來更為完善并且開啟了量子場論的發(fā)展，但仍舊屬于求解波函數(shù)的“波動解釋”。然而，費曼的路徑積分方法卻是別有一番新意，它讓人們完全從另外一種角度來思考量子力學(xué)。
從數(shù)學(xué)方法上來說，海森堡等人使用矩陣，薛定諤和狄拉克使用微分方程，費曼則是使用積分的、整體的觀念來解釋和計算量子力學(xué)。并且，路徑積分的方法有一個優(yōu)點：可以很方便地從量子力學(xué)擴展到量子場論。
什么叫“路徑積分”呢？我們首先從牛頓力學(xué)中粒子走過的路徑來理解。
經(jīng)典力學(xué)最初的表達形式由牛頓給出，之后拉格朗日（Joseph Lagrange，1736-1813）及哈密頓（William Rowan Hamilton，1805-1865）等人建立了分析力學(xué)。牛頓力學(xué)中，大多數(shù)情況下是解微分方程的方法：在一定的初始條件下，方程的解是粒子的空間位置隨著時間而變化的一條曲線。例如，如圖1所示，考慮按照一定的速度和角度發(fā)射出去的子彈的軌跡，是一條從發(fā)射源到目標(biāo)的拋物線，即圖中的紅色實線。在分析力學(xué)中，一般用極值和變分法來處理力學(xué)問題。
圖1：牛頓力學(xué)決定的經(jīng)典路徑（紅線）
從圖1中我們看到：從發(fā)射源到目標(biāo)點可以有很多條路徑，為什么子彈就單單挑了那一條紅色路徑來走？這個問題問得奇怪，不是有牛頓定律嗎？那條紅實線的粒子路徑，是在地球重力場中牛頓方程的解。不過，拉格朗日等分析學(xué)家們對這個問題有另外一種說法。分析力學(xué)中有一條基本的規(guī)則——“最小作用量原理”。大自然遵循著這條奇妙的規(guī)則，總是挑選作用量最小的方式行事，表現(xiàn)得就像是一位精明的經(jīng)濟師。例如，根據(jù)最小作用量原理，可以如此理解圖1中子彈的運動：從源到目標(biāo)的每一條路徑，都對應(yīng)于一個稱為“作用量”的數(shù)值，而子彈最后選擇的紅色經(jīng)典路徑，必定是作用量最小的那條路徑。
費曼將這個思想用到量子理論中，說法改變了：量子力學(xué)中的電子，不像經(jīng)典粒子那樣，只走一條紅色拋物線，而是同時走所有可能的路徑。即所有的路徑都對電子從始點到終點的概率有貢獻。不同的路徑貢獻不同的概率幅，總概率幅等于所有概率幅相加。再進一步，如果將路徑積分用于量子場論的話，說法也是類似的，只是需要將電子改為“系統(tǒng)的量子態(tài)”，即：場論中的量子態(tài) 過渡到另一個量子態(tài)的概率幅，是所有可能路徑的概率幅相加。所以，三種情形（經(jīng)典、量子力學(xué)、量子場論）下的物理規(guī)律，都可以用類似的說法來表達，只不過三種理論中，作用量的表達式不一樣而已。
上一篇中介紹過，費曼在MIT（麻省理工學(xué)院）得知量子電動力學(xué)有無窮大的問題后，來到普林斯頓大學(xué)投奔到惠勒（John Archibald Wheeler，1911 -2008）旗下讀博士，他如魚得水，雄心勃勃。不過，兩人剛發(fā)了一篇文章，二戰(zhàn)便開始了。他們雙雙參加到研究原子彈的曼哈頓計劃（Manhattan Project）中，無暇再顧及這種純理論問題。在洛斯阿拉莫斯國家實驗室（Los Alamos National Laboratory），費曼以其坦誠的人格、敏銳的眼光和出色的表現(xiàn)，贏得了老一輩物理學(xué)家，如玻爾（Niels Henrik David Bohr，1885-1962）、貝特（Hans Bethe，1906-2005）等人的高度贊賞；維格納（Eugene Paul Wigner，1902-1995）把他譽為第二個狄拉克。那時候，年輕有為的他是大家心目中的英雄和天才，不是一般的天才，是個魔術(shù)師般的鬼才。此外，費曼又是個性情中人，他的第一任妻子阿蓮在洛斯阿拉莫斯因病去世，費曼給她寫過一封信，其中講到他們的感情故事，催人淚下、感人至深。費曼一直珍藏著這封沒有地址也無法寄出的信，直到他去世后才被開封。
大戰(zhàn)結(jié)束之后，費曼受聘于康乃爾大學(xué)，得以繼續(xù)他對量子理論問題的探討。幾年之后，費曼在他博士論文的基礎(chǔ)之上，完善了作用量量子化的路徑積分方法。他1948年在《現(xiàn)代物理評論》（Reviews of Modern Physics）上發(fā)表的“非相對論量子力學(xué)的空間-時間描寫”便是其劃時代的代表作。幾乎同時，費曼也成功地解決了量子電動力學(xué)中的重整化問題，創(chuàng)造出了著名的費曼圖和費曼規(guī)則，方便快捷地近似計算粒子和光子相互作用問題。
費曼路徑積分的思想很容易從量子力學(xué)推廣到場論，但量子場論中大多數(shù)人采用的正則量子化方法更容易理解。
在物理學(xué)中，研究“場”的歷史早已有之。牛頓引力理論雖然是一種超距作用，但牛頓從未說到過“場”，不過牛頓引力也表現(xiàn)某些含糊的經(jīng)典場概念。后來，經(jīng)典電磁場由法拉第（Michael Faraday，1791-1867）提出，麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831-1879）賦予其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述，在工程上一直成功地沿用至今。
最早將量子力學(xué)用于場（真空中的電磁場）的是量子力學(xué)創(chuàng)建者玻恩（Max Born，1882-1970）、海森堡、約爾丹（Ernst Pascual Jordan ，1902-1980）等1926年的論文。普朗克（Max Planck，1858-1947）也曾經(jīng)將受熱物體內(nèi)電子的運動替換為無限多個簡單振動模式，用這種理想化處理方式，他提出任何一個振動模式所允許能量差等于該模式振動頻率乘以普朗克常量的猜想。普朗克的猜想被量子力學(xué)所證實。
正則量子化的方法，是將電磁場想象成簡單振子，如同小提琴的弦。換言之，電磁場可以被看作是一把擁有大量弦的小提琴，弦具有所有可能的長度。電磁場內(nèi)任何一個振動模式的能量正比于場強的平方。每個振動模式的能量都是量子化的，大小等于該模式振動頻率乘以普朗克常數(shù)。
玻恩，海森堡以及約爾丹等，當(dāng)年的工作只是處理真空中的電磁場，并沒能給出其它任何重要的預(yù)測，但至少把愛因斯坦對光子的觀點付諸于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
最先讓量子場發(fā)揮“實際”用途的是狄拉克。狄拉克用場論計算了處于激發(fā)態(tài)原子自發(fā)釋放電磁輻射躍遷到低能態(tài)的速率。其中最關(guān)鍵的問題是如何用量子力學(xué)來理解莫名其妙冒出來的光子。
繼狄拉克之后，1928年的約爾丹和維格納， 1929年到1930年間海森堡和泡利（Wolfgang E.Pauli，1900-1958），以及1929年的費米（Enrico Fermi，1901-1954），均發(fā)表了類似的論文。他們指出物質(zhì)粒子可以理解為不同場的量子，就如光子是電磁場的量子一樣。1932年，費米應(yīng)用這種思想解釋了原子核β衰變的理論。
因此，量子場論的思想早就誕生了，幾乎可以算是量子力學(xué)的孿生兄弟，或者小1-2歲吧，因為量子電動力學(xué)一詞，第一次就是出現(xiàn)在狄拉克1927年的文章中。但后來量子力學(xué)突飛猛進發(fā)展，量子場論卻多年停滯不前，其原因是因為它在發(fā)展過程中碰到了“無限大”的困難。之后，物理學(xué)家們發(fā)展了重整化的方法加以解決。
量子場論的思維方式，就是將所有的物質(zhì)都看成場，以場為本，認(rèn)為粒子只是場的“激發(fā)態(tài)”，猶如水波中的漣漪。
這種思維方式主要是狄拉克開創(chuàng)的。狄拉克的思想來自兩方面，狄拉克海是其一。狄拉克海的假設(shè)雖然不完善，這種“真空不空”的思想?yún)s被大家接受并移植到量子場論中。既然狄拉克海的解釋涉及到了無窮多個電子，還不如一開始就考慮多電子的運動而不要只考慮單電子的運動。正電子也可以從一開始就冠冕堂皇地進入理論中，而沒有必要作為真空的一個空洞而出現(xiàn)。
另一方面，狄拉克早在1927年，狄拉克方程和狄拉克海未發(fā)布之前，就已經(jīng)使用場論的方法成功地計算出原子的自發(fā)輻射系數(shù)。
處于低能級El的原子，受到外來光子的激勵時，能吸收光子的能量，躍遷到高能級Eh，即ΔE=Eh-El，這種現(xiàn)象叫做受激吸收，見圖2a。而受激吸收之后處于高能級的原子，也有可能輻射出光子躍遷到低能態(tài)。這種躍遷有兩種方式：自發(fā)輻射和受激輻射。前者的例子如熒光等（圖2b），后者的例子如激光（圖2c）。
圖2：原子的吸收和輻射
受激輻射大致可以用量子力學(xué)粗略解釋，自發(fā)輻射的解釋卻需要量子場論。因為根據(jù)量子力學(xué)，如果一個孤立原子處于定態(tài)（激發(fā)態(tài)），它將一直處于該態(tài)，而不會自發(fā)躍遷。孤立的電磁場也是如此，用小提琴琴弦（諧振子）來比喻，如果不存在與原子的相互作用，電磁場就像全部彼此隔絕小提琴琴弦的集合，該集合將永遠保持不變，意味著原子將永遠保持初始能態(tài)。但是，如果根據(jù)量子場論，孤立原子是不存在的，真空中存在各種場。處于激發(fā)態(tài)的原子必然與真空中電磁場發(fā)生相互作用，因而導(dǎo)致自發(fā)輻射。
比較量子力學(xué)，量子場論的另一個優(yōu)越性是能夠處理粒子數(shù)變化的情形。量子力學(xué)方程解出的是單電子的波函數(shù)，電子數(shù)是固定的1，光子數(shù)固定為0。原子中因為電子狀態(tài)的躍遷而輻射光子的過程無法用經(jīng)典電磁理論描述。因為原來系統(tǒng)中并沒有任何電磁場存在，為什么突然就冒出幾個光子來了呢？
類似的問題來自于解釋原子核多種放射性衰變中的β衰變，就像當(dāng)原子失去能量時產(chǎn)生光子一樣，β衰變中的原子核釋放出一個電子。開始人們認(rèn)為原子核由質(zhì)子和電子組成，然而1931埃倫費斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）和奧本海默（Julius Robert Oppenheimer，1904-1967）提出一個論證：原子核中并不包含電子。那么，原子核發(fā)生衰變時電子是從哪里來的呢？費米由此而提出核衰變時，中子變?yōu)橘|(zhì)子、電子和中微子（泡利預(yù)言的）的場論想法，完整地解釋了β衰變。
按照量子場論的觀點，每一種基本粒子，都應(yīng)該有一個與它對應(yīng)的場，這些場互相滲透、作用、交匯在一起，真空被看作是各種量子場的基態(tài)，粒子則被看成是場的瞬息激發(fā)態(tài)。不同的激發(fā)態(tài)，有不同的粒子數(shù)和不同的粒子狀態(tài)。不同場之間的相互作用，引起各種粒子的碰撞、生成、湮滅等過程。
總結(jié)上面所說的，物理研究中有兩種類型的“場”，經(jīng)典場和量子場。麥克斯韋電磁場，從薛定諤方程、狄拉克方程等解出的波函數(shù)，都算是經(jīng)典場。電磁場是光子的經(jīng)典場，波函數(shù)是單電子的經(jīng)典場。經(jīng)典場可以被量子化為量子場，即通常人們所說的“二次量子化”。電磁場被量子化后成為光子場，單個電子的波函數(shù)被量子化后成為“電子場”，電子場使得電子回歸到粒子性，但描述的已經(jīng)不是原來的單個電子，而是粒子數(shù)可以變動，電子及正電子不斷產(chǎn)生和湮滅的多粒子場。類似地，還有夸克場、其它基本粒子場等等。
研究這些基本粒子場之間復(fù)雜的相互作用。以及在各種相互作用下可能發(fā)生的粒子產(chǎn)生與湮滅的理論，便是量子場論。其中最常用的一個，研究光子與物質(zhì)相互作用的，叫做量子電動力學(xué)，即QED（Quantum Electrodynamics）。
下面以電磁場的量子化為例，對量子化過程作簡單介紹。
經(jīng)典電磁場被看成是連續(xù)的電磁波，量子化后成為物理量有分離本征值的各種頻率的光子場。
量子化的方法很多，除了之前所說的費曼路徑積分之外，常用的是正則量子化。這是最早時候狄拉克，以及之后的約爾丹、維格納、海森堡、泡利、費米等使用的方法。
當(dāng)我們說“量子化”，意味著什么？從經(jīng)典力學(xué)過渡到量子力學(xué)時，物理量用算符表示?，F(xiàn)在要從經(jīng)典場過渡到量子場，也遵循這個法則。電磁場量子化的第一步，是把整個空間的電磁場，分成若干個不同位置、不同動量的諧振子。也就是說，將電場強度E和磁場強度B的電磁場（圖3a），表示為許多具有正則坐標(biāo)qi和正則動量pi的諧振子（圖3b）。
圖3：從經(jīng)典場到多個諧振子到量子場
電磁場中的所有物理量（電場強度、磁場強度、位置、動量等），量子化后都是算符。從諧振子的正則坐標(biāo)和正則動量，可以定義光子的產(chǎn)生算符a+j(t)和湮滅算符a-j(t)，見圖3c。
產(chǎn)生算符和湮滅算符也是狄拉克最早使用的，來源于他在量子力學(xué)中解決諧振子勢場中電子能級問題時，引進的“升降算符”，也叫階梯算符。
有了產(chǎn)生算符和湮滅算符，光子（或其他粒子）可以消失或產(chǎn)生，量子場論才成為一個完整的理論。從量子力學(xué)中位置算符和動量算符的不確定性關(guān)系，可以得到產(chǎn)生算符和湮滅算符的不確定性關(guān)系，如下：
最后，產(chǎn)生算符和湮滅算符構(gòu)成光子數(shù)算符n。使用光子數(shù)表象，算符n的本征態(tài)|n>，可以被看作是有n個光子的量子態(tài)，例如，|0>表示系統(tǒng)的基態(tài)，或稱真空態(tài)。
從量子場論出發(fā)，可以計算各種帶電粒子與電磁場相互作用的“截面”，這兒的“截面”，即散射截面，是一個物理術(shù)語，用以度量發(fā)生相互作用的概率。例如康普頓效應(yīng)、光電效應(yīng)、軔致輻射、電子對產(chǎn)生和電子對湮沒等。這些物理現(xiàn)象的結(jié)果都可以用微擾論方法取最低一級不為零的近似而得到。但不論是哪一種過程，當(dāng)計算更高階的近似時，會得到無限大的結(jié)果。因為這個原因，量子場論的研究停止了近二十年。
下一次將介紹，如何用“重整化”的方法，克服無限大的困難。
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