這個題目口氣大得像假裝學(xué)霸要指點(diǎn)江山，其實(shí)只是一個學(xué)渣遲到的反省，為了找到辦法激勵青春期的娃學(xué)數(shù)學(xué)。他每天聽完數(shù)學(xué)課一道題都不做，然后直接裸奔期中期末考場，拿到成績單垂頭喪氣，回家讓我看看人家的爸爸。我只好每天晚上發(fā)奮圖強(qiáng)補(bǔ)習(xí)數(shù)學(xué)，好給他講明白什么是數(shù)學(xué)，怎么學(xué)數(shù)學(xué)。
正好過去這幾個月瘟疫沒完戰(zhàn)爭又開始，社交媒體和輿論空間到處都是聲嘶力竭的爭吵。發(fā)現(xiàn)柯朗的《什么是數(shù)學(xué)》，波利亞的《怎樣解題》，小平邦彥的《惰者集》寫得真好，一走進(jìn)去，整個世界都清凈了。
一
小平邦彥是第一個獲得菲爾茲獎的日本數(shù)學(xué)家，有一種出奇不意的冷幽默，亞洲人身上少有。我發(fā)現(xiàn)他是意外驚喜，因?yàn)橐槐尽稁缀问澜绲难垺?，日語是『幾何への誘い』，被我誤看成制服誘惑，否則根本沒法注意到。他有一些關(guān)于學(xué)習(xí)的洞察力，非常打動我。他引用愛因斯坦：“我認(rèn)為語言在思考結(jié)構(gòu)中沒有發(fā)揮任何作用。在思考中發(fā)揮作用的要素，是某種自我生成、結(jié)合的形象。這種形象的結(jié)合游戲 – 早于語言和符號構(gòu)成的邏輯性結(jié)構(gòu)的結(jié)合游戲—是創(chuàng)造性思考的特征?！?/strong>上來就當(dāng)頭一棒，我原以為語言才是思維的工具。
小平邦彥輔導(dǎo)自己女兒學(xué)數(shù)學(xué)，我不知道是不是也痛不欲生，反正他把日本文部省和美國的新數(shù)學(xué)運(yùn)動教學(xué)方法罵成一坨狗屎，認(rèn)為完全不顧及孩子天性和成長歷程。一怒之下，大數(shù)學(xué)家自己編寫了平面幾何，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材，看得我心花怒放。他用復(fù)數(shù)證明平面幾何歐拉線和九點(diǎn)共圓，幾句話就說得清清楚楚，佩服得五體投地。他認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，應(yīng)當(dāng)遵循人類數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的天然演化過程，而不是遵循數(shù)學(xué)家后來建構(gòu)出來的邏輯關(guān)系，從集合開講其他數(shù)學(xué)概念。這就好比是基本粒子是構(gòu)成物質(zhì)世界的基礎(chǔ)，難道物理課就需要給初中生先講粒子物理？
《惰者集》是他對數(shù)學(xué)教育的反思。開篇就簡明講了他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和經(jīng)歷。數(shù)學(xué)書對小平邦彥也是晦澀難懂，幾百頁的書要讀完難于上青天，經(jīng)常一個月最多艱難地讀一章。他一般看定理，試圖自己先證明；如果證明不出來，就參考書里的證明；如果書里的證明還是看不明白，就試圖抄下來書里的證明，一步一步琢磨。發(fā)現(xiàn)不盡人意的地方，自己去改進(jìn)證明方法。很多時候無路可走油盡燈枯才作罷。一個月下來，前面的就忘記了，然后折返回去從頭開始。做筆記的目的不是去背誦證明過程，而是花時間理解定理所要表達(dá)的數(shù)學(xué)事實(shí)的結(jié)構(gòu)。聰明人下笨功夫。
我娃知道了頂級數(shù)學(xué)家原來跟他一樣，學(xué)數(shù)學(xué)也有痛不欲生的時候，頓時感覺痛苦減輕了很多。看到小平邦彥一些有沖擊力的認(rèn)知方式，我也第一次感受到和數(shù)學(xué)家離得這么近：
1、 反對美國的快樂寬松教育，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)和練鋼琴是相似的，需要一定數(shù)量的練習(xí)，才能培養(yǎng)出感覺。對數(shù)感的敏銳類似聽覺的敏銳，和聰明無關(guān)。證明定理的過程，不僅是驗(yàn)證是否正確的手段，而是有更深刻的價值培養(yǎng)感覺。
2、 數(shù)學(xué)和邏輯沒多大關(guān)系，在本質(zhì)上不同。邏輯對數(shù)學(xué)的作用，相當(dāng)于語法對于文學(xué)的作用。邏輯可以往任何方向走，還能走進(jìn)死胡同，數(shù)學(xué)需要方向感。
3、 數(shù)學(xué)的公理體系，可以有完全不同的假設(shè)，得到完全不同的理論體系。好比是圍棋棋盤上的游戲，規(guī)則不同，則會演化成圍棋，五子棋，兩種朝鮮圍棋。公理體系必須不包含矛盾，還需要有豐富性。如果四子棋，一開始先手必勝，則索然無趣。如果六子以上，永遠(yuǎn)分不出勝負(fù)。所以公理體系是自由的，但自由選擇范圍有限。
4、 人用圖形思考，人臉識別是潛意識模式識別，平面幾何幫助培養(yǎng)創(chuàng)造力。
5、 人類是用胃這樣的本能做決定，腦袋只是在為胃的決定做合理化辯解。
6、 國家完全是被本能支配的產(chǎn)物。很多“觀念”是帶著理性面具的人類本能。
7、 最諷刺的是，人類最擅長的其實(shí)是科學(xué)技術(shù)，最不擅長的是政治。
小平邦彥太有趣了，他說自己只會算術(shù)，其他都不會。其實(shí)不是這樣。他沒有亞洲人普遍把自己過于當(dāng)回事的毛病，喜歡自嘲，非常通透，對很多問題都有與眾不同的洞察力。漢語和英語讓他學(xué)得痛苦不堪，他外公教他中文用“白文素讀”方法，就是只背不講，反復(fù)誦讀自然慢慢理解。他父親是農(nóng)商省次官，在偽滿洲國做過三年參議員。小時候他家狗生了六只小狗，如果把小狗全藏起來，狗媽媽會哭泣四處尋找。如果藏五只，留一只在身邊，她不會發(fā)現(xiàn)有不對勁的地方。小平邦彥那時還是小孩，但他意識到狗可能沒有數(shù)量的概念。二戰(zhàn)期間他在東京大學(xué)上學(xué)教書，文科生都被送上戰(zhàn)場做了炮灰，理工男留在學(xué)校。戰(zhàn)爭后期東京開始被轟炸，糧食短缺，出門長途旅行必須自己背一袋大米，否則就算支付了房費(fèi)，旅館也會拒絕入住。1945年8月，日本輸了這場人人高喊“必勝”的戰(zhàn)爭，居然在當(dāng)初無限狂熱的民眾中沒有引起任何波瀾。
小平邦彥英語爛得一塌糊涂，在普林斯頓高級研究所鬧了很多笑話，連同事請他去家里吃飯這樣簡單的英語都聽不明白。他和朝永振一郎每次在普林斯頓的酒會上都很難跟人搭話，只好悶頭吃飯，說反正回去再做一頓挺麻煩的。這個故事把我笑翻了，每個笑話我都心有戚戚，于是我找來了他所有的書讀了一遍，包括他的自傳《我只會算術(shù)》。警告一下，小平邦彥那本《微積分入門》有相當(dāng)難度，不是入門水平。微積分講得淺顯易懂的，推薦大衛(wèi)艾奇遜的《微積分的故事》The Calculus Story: A Mathematical Adventure
二、
以前讀不下去《什么是數(shù)學(xué)》，每次看兩三頁就放棄了。接近600頁的厚度讓人望而生畏，為了孩子就咬咬牙啃下去，但其實(shí)不需要全讀完，選幾章就可以。戰(zhàn)爭疫情封城眾聲鼎沸，這次終于靜下心來認(rèn)真讀進(jìn)去了，可能就是為了找一個清凈的避難所。意外理解了這本書為什么是經(jīng)典。
孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個巨大挑戰(zhàn)，常常不知道數(shù)學(xué)究竟是什么東西。公式變來變?nèi)ゾ烤挂墒裁?，輔助線一會兒畫在這里一會兒畫在那里究竟要畫在哪里，像是在一個巨大叢林里轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，除了知道必須應(yīng)付考試外，為誰而學(xué)為何而學(xué)，都搞不清楚，很沮喪?？吕试谶@本書從很高的視角給了一個非常簡潔全面的初等數(shù)學(xué)的鳥瞰，把數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯講明白了。
柯朗說數(shù)學(xué)是人類思維的表達(dá)方式，反映了人類積極進(jìn)取的意志，審慎的邏輯，和對完美的追求。是通過intuition and logic, analysis and construction, generality and individuality的相互作用一起構(gòu)成數(shù)學(xué)的用途生命和價值。古希臘人的的歐幾里得幾何，在公理基礎(chǔ)上通過演繹推理建立了一個完美的理論體系。但是，這套理論是靜止的，面對運(yùn)動、連續(xù)、無窮這些概念束手無策。用培根更激烈的話，演繹推理不增加任何新知識，在希臘公理體系里原地打轉(zhuǎn)了兩千年。十七十八世紀(jì)，人們拋棄了這個方法，開始研究變化，發(fā)明了函數(shù)這個工具，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生，微積分和解析幾何開始蓬勃發(fā)展。數(shù)學(xué)在追求純粹性和追求應(yīng)用價值之間不斷搖擺，有時候來源于應(yīng)用并產(chǎn)生巨大應(yīng)用價值，比如對數(shù)的發(fā)明就是因?yàn)樘煳挠^測數(shù)據(jù)計算量太可怕了才發(fā)明的。有時候看不到任何應(yīng)用前景，比如早年的數(shù)論。到了十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)自己無法說清楚“點(diǎn)”“線”“面”“數(shù)”這些實(shí)在的thing in itself 究竟是什么， “可驗(yàn)證的事實(shí)”只有結(jié)構(gòu)和關(guān)系，數(shù)學(xué)研究的是結(jié)構(gòu)和關(guān)系，不是實(shí)體本身。
柯朗的缺點(diǎn)是非常簡潔，簡潔得如剃須刀一般鋒利，讓我每一段都要讀很多遍，這就是為什么當(dāng)初屢屢放棄。一旦毛塞頓開，就產(chǎn)生了興趣。他的書需要耐心，需要一個定理一個定理讀過來，可能會很慢，但是值得。他把初等數(shù)學(xué)所有重要的內(nèi)容都用簡潔的語言推演陳述了一遍，而且介紹它們出現(xiàn)的背景和原因。他講到羅馬計數(shù)法沒法運(yùn)算，進(jìn)制之間轉(zhuǎn)化，有理數(shù)的發(fā)明是因?yàn)闇y量需要。設(shè)置一個單位量，然后測量（measuring）的動作就變成了數(shù)數(shù)（counting），數(shù)一共有幾個單位量就行了，但是最后剩余那部分?jǐn)?shù)不足一個單位怎么辦，就需要更小單位，于是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生。然后不可公度的情形出現(xiàn)，無理數(shù)登場。小朋友開始理解了貌似抽象的數(shù)學(xué)，一步一步演化過來的過程和邏輯。未必都能完全明白，但數(shù)學(xué)至少不再是莫名其妙轉(zhuǎn)不出去的一個叢林。傳統(tǒng)中學(xué)教育比較急于讓孩子們?nèi)プ鲱}，可能認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)內(nèi)在邏輯無足重輕。在應(yīng)試教育的壓力下，可以理解，家長和老師都認(rèn)為考試又不考何必浪費(fèi)時間整那些沒用的。而我恰恰認(rèn)為，這一部分是培養(yǎng)孩子們對數(shù)學(xué)興趣最有效的內(nèi)容，能幫助孩子見木也見林，至少我家喜歡故事的娃是這樣。
三、
《怎樣解題》是一本好書，核心意思是，你別光告訴我解題技巧和方法，能不能告訴我這個這個技巧和方法你是怎么想到的？啟發(fā)式思考，究竟怎么啟發(fā)，啟發(fā)什么？這個問題是元問題，對孩子更重要，而且不局限于數(shù)學(xué)題，其實(shí)是解任何題，包括語文題，物理題，還有人生的難題。
波利亞教授無與倫比的優(yōu)點(diǎn)就是啰嗦，同一個意思顛三倒四翻來覆去地講。二戰(zhàn)前一大群匈牙利的天才投奔美國，他們包括馮諾伊曼，馮卡門，波利亞，據(jù)說他們的共同特點(diǎn)是說話都聽不懂，被美國人取個外號叫“火星人”。
我毫無抱怨，暗自竊喜，跟娃說，你看看，別總對我不耐煩，大數(shù)學(xué)家跟你爹一樣啰嗦，你能不能再忍受一下。這些方法我總結(jié)在下面一張表里，和孩子講完之后，需要在實(shí)踐中不斷練習(xí)，反復(fù)強(qiáng)化提醒，其實(shí)要害不是這些建議，要害是怎樣內(nèi)化養(yǎng)成解題好習(xí)慣。比如我娃一半以上的錯題，都是因?yàn)轭}都沒讀明白，就急于開做，然后基本上都算錯。
這幾本書讀完，是不是娃的數(shù)學(xué)成績能獲得立竿見影的提高呢？答案是肯定不會。最終，還是要靠一個問題一個問題理解過來，有的孩子理解得多，有的理解的少，有的快一些，有的慢一點(diǎn)。但是，先種一粒種子，讓它慢慢生根，潛移默化為孩子培養(yǎng)一點(diǎn)大局觀，還是有價值的。他只要不再害怕數(shù)學(xué)，我的目標(biāo)就實(shí)現(xiàn)了。至于會不會做很多難題考很高的分?jǐn)?shù)，對我來說是個something nice to have, but次要問題。
小平邦彥曾經(jīng)針對日本文部省的教學(xué)大綱問，你們急著給孩子塞這么多東西，急什么呢？我心有戚戚，看到烏克蘭俄羅斯北約美國全世界都在瞎折騰，人類真不知道會把自己怎么作死。所有人終點(diǎn)都奔向墳?zāi)?，急什么呢?/span>
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