數(shù)學(xué)是利用符號語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一門學(xué)科，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種。
數(shù)學(xué)透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的定理。
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環(huán)。對數(shù)學(xué)基本概念的完善，早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本便可觀見，而在古希臘那里有更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚怼哪菚r開始，數(shù)學(xué)的發(fā)展便持續(xù)不斷地小幅進(jìn)展，至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時期，因為新的科學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)革新兩者的交互，致使數(shù)學(xué)的加速發(fā)展，直至今日。數(shù)學(xué)并成為許多國家及地區(qū)的教育范疇中的一部分。
今日，數(shù)學(xué)使用在不同的領(lǐng)域中，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等。數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時亦會激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展，例如物理學(xué)的實質(zhì)性發(fā)展中建立的某些理論激發(fā)數(shù)學(xué)家對于某些問題的不同角度的思考。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，就是數(shù)學(xué)本身的實質(zhì)性內(nèi)容，而不以任何實際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然許多研究以純數(shù)學(xué)開始，但其過程中也發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用之處。
西方語言中“數(shù)學(xué)”一詞源自于古希臘語的μ?θημα（máthēma），其有“學(xué)習(xí)”、“學(xué)問”、“科學(xué)”，以及另外還有個較狹義且技術(shù)性的意思－“數(shù)學(xué)研究”，即使在其語源內(nèi)。其形容詞μαθηματικ??（mathēmatikós），意思為和學(xué)習(xí)有關(guān)的或用功的，亦會被用來指數(shù)學(xué)的。其在英語中表面上的復(fù)數(shù)形式，及在法語中的表面復(fù)數(shù)形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復(fù)數(shù)mathematica，由西塞羅譯自希臘文復(fù)數(shù)τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指“萬物皆數(shù)”的概念。
漢字表示的“數(shù)學(xué)”一詞大約產(chǎn)生于中國宋元時期。多指象數(shù)之學(xué)，但有時也含有今天上的數(shù)學(xué)意義，例如，秦九韶的《數(shù)學(xué)九章》（《永樂大典》記，即《數(shù)書九章》也被宋代周密所著的《癸辛雜識》記為《數(shù)學(xué)大略》）、《數(shù)學(xué)通軌》（明代柯尚遷著）、《數(shù)學(xué)鑰》（清代杜知耕著）、《數(shù)學(xué)拾遺》（清代丁取忠撰）。直到1939年，經(jīng)過中國數(shù)學(xué)名詞審查委員會研究“算學(xué)”與“數(shù)學(xué)”兩詞的使用狀況后，確認(rèn)以“數(shù)學(xué)”表示今天意義上的數(shù)學(xué)含義。
數(shù)學(xué)有著久遠(yuǎn)的歷史。它被認(rèn)為起源于人類早期的生產(chǎn)活動：中國古代的六藝之一就有“數(shù)”，數(shù)學(xué)一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικ??（mathematikós），意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”，源于μ?θημα（máthema，“科學(xué)，知識，學(xué)問”）。史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質(zhì)的多少、時間的長短等抽象的數(shù)量關(guān)系，比如時間單位有日、季節(jié)和年等。算術(shù)（加減乘除）也自然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑及泥版亦證實了當(dāng)時已有幾何的知識。
瑪雅數(shù)字
更進(jìn)一步則需要寫作或其他可記錄數(shù)字的系統(tǒng)，如符木或于印加帝國內(nèi)用來儲存數(shù)據(jù)的奇普。歷史上曾有過許多不同的記數(shù)系統(tǒng)。在最初有歷史記錄的時候，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計算，為了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究。
到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換，微積分的概念也在此時形成。隨著數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向形式化，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始發(fā)展。數(shù)學(xué)的重心從求解實際問題轉(zhuǎn)變到對一般形式上的思考。從古至今，數(shù)學(xué)便一直不斷地延展，且與科學(xué)有豐富的相互作用，兩者的發(fā)展都受惠于彼此。在歷史上有著許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都不斷地有新的發(fā)現(xiàn)。據(jù)Mikhail B. Sevryuk于美國數(shù)學(xué)會通報2006年1月的期刊中所說，“存放于數(shù)學(xué)評論數(shù)據(jù)庫中論文和書籍的數(shù)量自1940年（數(shù)學(xué)評論的創(chuàng)刊年份）現(xiàn)已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份。此一學(xué)海的絕大部分為新的數(shù)學(xué)定理及其證明?！?/p>
每當(dāng)有涉及數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化等方面的困難問題時，通常就需要用到數(shù)學(xué)工具去解決問題，而這往往也拓展了數(shù)學(xué)的研究范疇。一開始，數(shù)學(xué)的運用可見于貿(mào)易、土地測量及之后的天文學(xué)。今日，所有的科學(xué)都存在著值得數(shù)學(xué)家研究的問題，且數(shù)學(xué)本身亦給出了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發(fā)明者，費曼發(fā)明了費曼路徑積分，這是推理及物理洞察二者的產(chǎn)物，而今日的弦理論亦引申出新的數(shù)學(xué)。一些數(shù)學(xué)只和生成它的領(lǐng)域有關(guān)，且用來解答此領(lǐng)域的更多問題。但一般被一領(lǐng)域生成的數(shù)學(xué)在其他許多領(lǐng)域內(nèi)也十分有用，且可以成為一般的數(shù)學(xué)概念。即使是“最純的”數(shù)學(xué)通常亦有實際的用途，此一非比尋常的事實，被1963年諾貝爾物理獎得主維格納稱為“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可想像的有效性”。
如同大多數(shù)的研究領(lǐng)域，科學(xué)知識的爆發(fā)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的專業(yè)化。主要的分歧為純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。在應(yīng)用數(shù)學(xué)內(nèi)，又被分成兩大領(lǐng)域，并且變成了它們自身的學(xué)科——統(tǒng)計學(xué)和計算機科學(xué)。許多數(shù)學(xué)家談?wù)摂?shù)學(xué)的優(yōu)美，其內(nèi)在的美學(xué)及美。“簡單”和“一般化”即為美的一種。另外亦包括巧妙的證明，如歐幾里得對存在無限多素數(shù)的證明；又或者是加快計算的數(shù)值方法，如快速傅里葉變換。高德菲·哈羅德·哈代在《一個數(shù)學(xué)家的自白》一書中表明他相信單單是美學(xué)上的意義，就已經(jīng)足夠作為純數(shù)學(xué)研究的正當(dāng)理由。
我們現(xiàn)今所使用的大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號在16世紀(jì)后才被發(fā)明出來的。在此之前，數(shù)學(xué)以文字的形式書寫出來，這種形式會限制了數(shù)學(xué)的發(fā)展?，F(xiàn)今的符號使得數(shù)學(xué)對于專家而言更容易掌握，但初學(xué)者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)符號有明確的語法，并且有效地對訊息作編碼，這是其他書寫方式難以做到的。符號化和形式化使得數(shù)學(xué)迅速發(fā)展，并幫助各個科學(xué)領(lǐng)域建立基礎(chǔ)支撐理論。
數(shù)學(xué)語言亦對初學(xué)者而言感到困難。如“或”和“只”這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學(xué)者的，如“開放”和“域”等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思。數(shù)學(xué)術(shù)語亦包括如“同胚”及“可積性”等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語更多的精確性。數(shù)學(xué)家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴(yán)謹(jǐn)”。但在現(xiàn)實應(yīng)用中，舍棄一些嚴(yán)謹(jǐn)性往往會得到更好的結(jié)果。
嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分。數(shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免依著不可靠的直觀而推出錯誤的“定理”，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的論證，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)。牛頓為了解決問題所做的定義，到了十九世紀(jì)才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度。當(dāng)大量的計算難以被驗證時，其證明亦很難說是足夠地嚴(yán)謹(jǐn)。
公理在傳統(tǒng)的思想中是“不證自明的真理”，但這種想法是有問題的。在形式上，公理只是一串符號，其只對可以由公理系統(tǒng)導(dǎo)出的公式之內(nèi)容有意義。希爾伯特計劃即是想將所有的數(shù)學(xué)放在堅固的公理基礎(chǔ)上，但依據(jù)哥德爾不完備定理，每一相容且能蘊涵皮亞諾公理的公理系統(tǒng)必含有一不可決定的公式；因而所有數(shù)學(xué)的最終公理化是不可能的。盡管如此，數(shù)學(xué)常常被想像成只是某種公理化的集合論，在此意義下，所有數(shù)學(xué)敘述或證明都可以寫成集合論的公式。
卡爾·弗里德里?！じ咚狗Q數(shù)學(xué)為“科學(xué)的皇后”。在拉丁原文Regina Scientiarum，以及其德語K?nigin der Wissenschaften中，對應(yīng)于“科學(xué)”的單字的意思皆為知識（領(lǐng)域）。而實際上，science一詞在英語內(nèi)本來就是這個意思，且無疑問地數(shù)學(xué)在此意義下確實是一門“科學(xué)”。將科學(xué)限定在自然科學(xué)則是在此之后的事。若認(rèn)為科學(xué)是只指物理的世界時，則數(shù)學(xué)，或至少是純數(shù)學(xué)，不會是一門科學(xué)。愛因斯坦曾如此描述：“數(shù)學(xué)定律越和現(xiàn)實有關(guān)，它們越不確定；若它們越是確定的話，它們和現(xiàn)實越不會有關(guān)。”
卡爾·弗里德里?！じ咚?/p>
許多哲學(xué)家相信數(shù)學(xué)在經(jīng)驗上不具可否證性，且因此不是卡爾·波普爾所定義的科學(xué)。但在1930年代時，在數(shù)理邏輯上的重大進(jìn)展顯示數(shù)學(xué)不能歸并至邏輯內(nèi)，且波普爾推斷“大部分的數(shù)學(xué)定律，如物理及生物學(xué)一樣，是假設(shè)演繹的：純數(shù)學(xué)因此變得更接近其假設(shè)為猜測的自然科學(xué)，比它現(xiàn)在看起來更接近?！比欢?，其他的思想家，如較著名的拉卡托斯，便提供了一個關(guān)于數(shù)學(xué)本身的可否證性版本。
另一觀點則為某些科學(xué)領(lǐng)域（如理論物理）是其公理為嘗試著符合現(xiàn)實的數(shù)學(xué)。而事實上，理論物理學(xué)家齊曼（John Ziman）即認(rèn)為科學(xué)是一種公眾知識，因此亦包含著數(shù)學(xué)。在任何的情況下，數(shù)學(xué)和物理科學(xué)的許多領(lǐng)域都有著很多相同的地方，尤其是從假設(shè)所得的邏輯推論之探索。直覺和實驗在數(shù)學(xué)和科學(xué)的猜想建構(gòu)上皆扮演著重要的角色。實驗數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)中的重要性正持續(xù)地在增加，且計算和模擬在科學(xué)及數(shù)學(xué)中所扮演的角色也越來越加重，減輕了數(shù)學(xué)不使用科學(xué)方法的缺點。在史蒂芬·沃爾夫勒姆2002年的著作《一種新科學(xué)》中他提出，計算數(shù)學(xué)應(yīng)被視為其自身的一科學(xué)領(lǐng)域來探索。
數(shù)學(xué)家對此的態(tài)度并不一致。一些研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家覺得他們是科學(xué)家，而那些研究純數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領(lǐng)域內(nèi)工作，且因此基本上是個哲學(xué)家。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為稱他們的工作是一種科學(xué)，是低估了其美學(xué)方面的重要性，以及其做為七大博雅教育之一的歷史；另外亦有人認(rèn)為若忽略其與科學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，是假裝沒看到數(shù)學(xué)和其在科學(xué)與工程之間的交互促進(jìn)了許多在數(shù)學(xué)上的發(fā)展此一事實。這兩種觀點之間的差異在哲學(xué)上產(chǎn)生了數(shù)學(xué)是“被創(chuàng)造”（如藝術(shù)）或是“被發(fā)現(xiàn)”（如科學(xué)）的爭議。大學(xué)院系劃分中常見“科學(xué)和數(shù)學(xué)系”，這指出了這兩個領(lǐng)域被看作有緊密聯(lián)系而非同一。實際上，數(shù)學(xué)家通常會在大體上與科學(xué)家合作，但在細(xì)節(jié)上卻會分開。這亦是數(shù)學(xué)哲學(xué)眾多議題的其中一個。
早期的數(shù)學(xué)完全著重在演算實際運算的需要上，有如反映在中國算盤上的一般
如上所述，數(shù)學(xué)主要的學(xué)科最先產(chǎn)生于商業(yè)上計算的需要、了解數(shù)字間的關(guān)系、測量土地及預(yù)測天文事件。這四種需要大致地與數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及變化（即算術(shù)、代數(shù)、幾何及分析）等數(shù)學(xué)上廣泛的子領(lǐng)域相關(guān)連著。除了上述主要的關(guān)注之外，亦有用來探索由數(shù)學(xué)核心至其他領(lǐng)域上之間的連結(jié)的子領(lǐng)域：至邏輯、至集合論（基礎(chǔ)）、至不同科學(xué)的經(jīng)驗上的數(shù)學(xué)（應(yīng)用數(shù)學(xué)）、及較近代的至不確定性的嚴(yán)格研究。
為了闡明數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來。
數(shù)學(xué)邏輯專注于將數(shù)學(xué)置在一堅固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的結(jié)果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理所屬的領(lǐng)域，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明而又為真的定理?，F(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學(xué)有著密切的關(guān)連性，千禧年大獎難題中的P/NP問題就是理論計算機科學(xué)中的著名問題。
數(shù)量的研究起于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運算。整數(shù)更深的性質(zhì)于數(shù)論中有詳細(xì)的研究，此一理論包括了如費馬最后定理等著名的結(jié)果。數(shù)論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數(shù)猜想及哥德巴赫猜想。
當(dāng)數(shù)系更進(jìn)一步發(fā)展時，整數(shù)被視為有理數(shù)的子集，而有理數(shù)則包含于實數(shù)中，連續(xù)的量即是以實數(shù)來表示的。實數(shù)則可以被進(jìn)一步廣義化成復(fù)數(shù)。數(shù)的進(jìn)一步廣義化可以持續(xù)至包含四元數(shù)及八元數(shù)。從自然數(shù)亦可以推廣到超限數(shù)，它形式化了計數(shù)至無限的這一概念。另一個研究的領(lǐng)域為大小，這個導(dǎo)致了基數(shù)和之后對無限的另外一種概念：阿列夫數(shù)，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
許多如數(shù)及函數(shù)的集合等數(shù)學(xué)物件都有著內(nèi)含的結(jié)構(gòu)。這些物件的結(jié)構(gòu)性質(zhì)被探討于群、環(huán)、域等抽象系統(tǒng)中，該些物件事實上也就是這樣的系統(tǒng)。此為代數(shù)的領(lǐng)域。在此有一個很重要的概念，即廣義化至矢量空間的矢量，它于線性代數(shù)中被研究。矢量的研究結(jié)合了數(shù)學(xué)的三個基本領(lǐng)域：數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間。矢量分析則將其擴展至第四個基本的領(lǐng)域內(nèi)，即變化。
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。 結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。 布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域……），序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……），拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）。
空間的研究源自于幾何－尤其是歐幾里得幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。現(xiàn)今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何（其在廣義相對論中扮演著核心的角色）及拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的微積分等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓?fù)淙旱难芯浚Y(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來研究空間、結(jié)構(gòu)及變化。在其許多分支中，拓?fù)鋵W(xué)可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進(jìn)展的領(lǐng)域，并包含有存在已久的龐加萊猜想，以及有爭議的四色定理。龐加萊猜想已在2006年確認(rèn)由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼證明，而四色定理已在1976年由凱尼斯·阿佩爾和沃夫?qū)す嫌秒娔X證明，而從來沒有由人力來驗證過。
了解及描述變化在自然科學(xué)里是一普遍的議題，而微積分更為研究變化的有利工具。函數(shù)誕生于此，做為描述一變化的量的核心概念。對于實數(shù)及實變函數(shù)的嚴(yán)格研究為實分析，而復(fù)分析則為復(fù)數(shù)的等價領(lǐng)域。黎曼猜想－數(shù)學(xué)最基本的未決問題之一－便是以復(fù)分析來描述的。泛函分析注重在函數(shù)的（一般為無限維）空間上。泛函分析的眾多應(yīng)用之一為量子力學(xué)。許多的問題很自然地會導(dǎo)出一個量與其變化率之間的關(guān)系，而這在微分方程中被研究。在自然界中的許多現(xiàn)象可以被動力系統(tǒng)所描述；混沌理論則是對系統(tǒng)的既不可預(yù)測而又是決定的行為作明確的描述。
離散數(shù)學(xué)是指對理論計算機科學(xué)最有用處的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之總稱，這包含有可計算理論、計算復(fù)雜性理論及信息論。可計算理論檢驗電腦的不同理論模型之極限，這包含現(xiàn)知最有力的模型－圖靈機。復(fù)雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度；有些問題即使理論是可以以電腦解出來，但卻因為會花費太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實際上可行的，盡管電腦硬件的快速進(jìn)步。最后，信息論專注在可以儲存在特定媒介內(nèi)的數(shù)據(jù)總量，且因此有壓縮及熵等概念。
作為一相對較新的領(lǐng)域，離散數(shù)學(xué)有許多基本的未解問題。其中最有名的為P/NP問題－千禧年大獎難題之一。一般相信此問題的解答是否定的。
應(yīng)用數(shù)學(xué)思考將抽象的數(shù)學(xué)工具運用在解答科學(xué)、工商業(yè)及其他領(lǐng)域上之現(xiàn)實問題。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一重要領(lǐng)域為統(tǒng)計學(xué)，它利用概率論為其工具并允許對含有機會成分的現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與預(yù)測。大部分的實驗、調(diào)查及觀察研究需要統(tǒng)計對其數(shù)據(jù)的分析。（許多的統(tǒng)計學(xué)家并不認(rèn)為他們是數(shù)學(xué)家，而比較覺得是合作團體的一分子。）數(shù)值分析研究有什么計算方法，可以有效地解決那些人力所限而算不出的數(shù)學(xué)問題；它亦包含了對計算中舍入誤差或其他來源的誤差之研究。
數(shù)學(xué)獎通常和其他科學(xué)的獎項分開。數(shù)學(xué)上最有名的獎為菲爾茲獎，創(chuàng)立于1936年，每四年頒獎一次。它通常被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎，創(chuàng)立于2003年。兩者都頒獎于特定的工作主題，包括數(shù)學(xué)新領(lǐng)域的創(chuàng)新或已成熟領(lǐng)域中未解決問題的解答。著名的23個問題，稱為希爾伯特的23個問題，于1900年由德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特所提出。這一連串的問題在數(shù)學(xué)家之間有著極高的名望，且至少有九個問題已經(jīng)被解答了出來。另一新的七個重要問題，稱為千禧年大獎難題，發(fā)表于2000年。對其每一個問題的解答都有著一百萬美元的獎金，而當(dāng)中只有一個問題（黎曼猜想）和希爾伯特的問題重復(fù)。
菲爾茲獎，由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟的國際數(shù)學(xué)家大會頒發(fā)的獎項。每四年頒獎一次，頒給有卓越貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家，每次最多四人得獎。得獎?wù)唔氃谠撃暝┣拔礉M四十歲，是年輕數(shù)學(xué)家可以獲得的最大獎項。它是據(jù)加拿大數(shù)學(xué)家約翰·查爾斯·菲爾茲的要求設(shè)立的。菲爾茲獎被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎。
沃爾夫獎，由沃爾夫基金會頒發(fā)，該基金會于1976年在以色列創(chuàng)立，1978年開始頒獎。創(chuàng)始人里卡多·沃爾夫是外交家、實業(yè)家和慈善家。而沃爾夫數(shù)學(xué)獎是沃爾夫獎的一個獎項，它和菲爾茲獎被共同譽為數(shù)學(xué)家的最高榮譽。
阿貝爾獎，由挪威王室向杰出數(shù)學(xué)家頒發(fā)的一種獎項，每年頒發(fā)一次。2001年，為了紀(jì)念2002年挪威著名數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾二百周年誕辰，挪威政府宣布將開始頒發(fā)此種獎金。獎金的數(shù)額大致同諾貝爾獎相近。設(shè)立此獎的一個原因也是因為諾貝爾獎沒有數(shù)學(xué)獎項。2001年挪威政府撥款2億挪威克朗作為啟動資金。擴大數(shù)學(xué)的影響，吸引年輕人從事數(shù)學(xué)研究是設(shè)立阿貝爾獎的主要目的。
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