文章大部分參考這里，加上自己的一點(diǎn)理解而已
構(gòu)想下面一個(gè)畫面：
如圖所示，4.00時(shí)刻的畫面由于緩沖跳過(guò)了。我們無(wú)法得知這個(gè)時(shí)刻球的位置，但是我們可以作出一個(gè)估計(jì)：
球在3:59時(shí)和4:01時(shí)球的位置之間的某個(gè)位置上
由于現(xiàn)實(shí)世界中球的軌跡是連續(xù)的，所以這是一個(gè)很不錯(cuò)的估計(jì)。
但是！如果在3:599時(shí)球突然被外星人以極快的速度吸走，在4:001時(shí)按照原來(lái)的速度和方向放回來(lái)，那么我們的估計(jì)就不正確了（盡管這不太可能發(fā)生，但是必須考慮）。
那么，如果我們把鏡頭放慢，慢到看得清外星人的存在，那么我們可以重新做一個(gè)更準(zhǔn)確的估計(jì)。例如我們可以通過(guò)慢鏡頭，估計(jì)球在4:00的位置為“3:59.999和4:00.001的位置之間”。
假設(shè)3:59時(shí)球在9.9米處，4:01時(shí)球在10.1米處，我們可以換一種說(shuō)法：
| 1 2 | 在4:00時(shí)，估計(jì)球在10米處。這個(gè)估計(jì)由“縮放級(jí)別(3:59-4:01)'來(lái)保證正確性。不同程度的正確性由不同的“縮放級(jí)別”來(lái)保證 |
可以感性地得知，在例子中，當(dāng)這個(gè)縮放級(jí)別越小時(shí)，我們便越有信心估計(jì)球的位置（如果在某個(gè)級(jí)別中發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)球的位置發(fā)生了意外的變化，那么便很有可能要推翻10m的估計(jì)，要進(jìn)一步縮小級(jí)別來(lái)確定球的位置）。
理解了上面的例子后，我們來(lái)看一看官方對(duì)極限的定義（official definition）:
lim(x->c) f(x) = L
means for all real ε > 0 there exists a real δ > 0 such that for all x with 0 < |x ? c| < δ, we have |f(x) ? L| < ε (對(duì)于所有ε>0，存在一個(gè)δ > 0，使得對(duì)于所有x滿足0 < |x ? c| < δ，都有|f(x) ? L| < ε)
可以按照以下的方式去理解：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | lim(x->c) f(x) = L //當(dāng)我們充滿信心地估計(jì)f(c) = L時(shí)，我們的意思是： for all real ε > 0 //對(duì)于我們考慮所有的誤差范圍ε（error margin）（例如+-0.1米）， there exists a real δ > 0 //存在一個(gè)“縮放級(jí)別”δ（+-0.1秒）， such that for all x with 0 < |x ? c| < δ, we have |f(x) ? L| < ε //使得估計(jì)值總是在這個(gè)誤差范圍內(nèi)。 |
也就是說(shuō)，如果這個(gè)估計(jì)是正確的（或者說(shuō)無(wú)限有信心的），那么對(duì)于一個(gè)任意小誤差范圍ε，總可以找出一個(gè)縮放級(jí)別δ，令到與c距離小于δ的x（0 < |x ? c| < δ），都滿足f(x)的值和L之間的距離在誤差范圍ε內(nèi)。
極限存在的必要條件是“對(duì)于任意小的誤差范圍總可以找到相應(yīng)的縮放級(jí)別”，這個(gè)條件保證了不會(huì)漏掉“中途被外星人吸走又放回去”的情況。
也就是說(shuō)：
| 1 2 | 極限（Limits）是一種提供保證準(zhǔn)確估計(jì)的策略（Limits are a strategy for making confident predictions.） |
舉一個(gè)例子：
證明x=2時(shí)極限存在
我們不可以直接代入2來(lái)說(shuō)明極限存在并且為5，因?yàn)?x – 2)作為分母，其值不能為0。當(dāng)時(shí)當(dāng) x != 2時(shí)，我們可以將其代入，然后消掉分子和分母的(x – 2)，得到f(x) = 2x + 1。
這時(shí)我們作出一個(gè)估計(jì)，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)的值為5。
我們無(wú)法得知f(2)的值，但是我們可以證明f(2)=5的估計(jì)是無(wú)限準(zhǔn)確的。
假設(shè)允許的誤差范圍為+-1.0，我們有：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | |f(x) - 5| < 1.0 => |2x + 1 -5| < 1.0 => |2x - 4| < 1.0 => |x - 2| < 0.5 |
當(dāng)x在0.5到2的區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，所有的f(x)都滿足|f(x) – 5| < 1.0。
下一步我們加入error tolerance (ε) 令到這個(gè)誤差區(qū)間變成任意的：
| 1 2 | |x - 2| < 0.5 · ε |
由于x – 2是單調(diào)而且連續(xù)的，所以總能找到一個(gè)x的范圍，使得范圍內(nèi)的所有x和2的距離在+-0.5 · ε內(nèi)，于是我們的估計(jì)可以無(wú)限地準(zhǔn)確了。
當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)（continuous）的時(shí)候，是指它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)處處可以準(zhǔn)確地估計(jì)，也就是：
| 1 2 | lim(x->c) f(x) = f(c) |
ps:這里這是一篇通俗的傳統(tǒng)的解釋極限的文章
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