1、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)極限定義

對于一個(gè)函數(shù)f(x)

all ε>0, exist δ>0, 當(dāng)0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε

就稱lim(x->a)f(x)=A

也就是說，對于任意小的一個(gè)數(shù)ε，都會存在一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是a的δ去心鄰域，也就是0<|x-a|<δ，這個(gè)范圍里面多有函數(shù)值和A之間的“誤差”都小于A，就稱A是x趨向于a的極限

2、性質(zhì)

（1）唯一性

（反證法）可以參考前面數(shù)列極限的證明方法

（2）局部有界：lim(x->a)f(x)=A, 則exist δ>0 M>0, 當(dāng)0<|x-a|<δ 時(shí)，|f(x)|<=M

這個(gè)相比較數(shù)列極限全部有界來說證明方法較簡單

由函數(shù)極限定義可知在0<|x-a|<δ這個(gè)范圍內(nèi)f(x)與極限A的“誤差”不超過ε，所以當(dāng)M=max{|A+ε|,|A-ε|}時(shí)，|f(x)|<M (0<|x-a|<δ)

（3）保號性：如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常數(shù)δ>0, 使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，有f(x)>0，反之也成立。

證(A>0時(shí))：

∵lim(x->a)f(x)=A

取ε=A/2>0 (ε可以任意取，越小越好)

exist δ>0

當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-A|<ε

即|f(x)-A|<A/2

可得f(x)>A/2>0

即證在0<|x-a|<δ這個(gè)范圍內(nèi)，f(x)都是大于0的。

3、Notes

（1）x->a并不是x=a

（2）x->a包括x->(a+0),x->(a-0)

（3）lim(x->a)f(x)與f(a)無關(guān)！??！

（4）lim(x->a)存在的充分必要條件是 f(a-0),f(a+0)存在且相等

4、自變量趨向于無窮大函數(shù)極限

（1|正無窮）If all ε>0, exist X>0,當(dāng)x>X時(shí), |f(x)-A|<ε, lim(x->+∞)f(x)=A

（2|負(fù)無窮）If all ε>0, exist X>0, 當(dāng)x<-X時(shí), |f(x)-A|<ε, lim(x->-∞)f(x)=A

（3|無窮）If all ε>0, exist X>0, 當(dāng)|x|>X時(shí), |f(x)-A|<ε, lim(x->∞)f(x)=A

5、例題

例1：lim(x->2)(3x+1)=7

all ε>0 |(3x+1)-7|=3|x-2|<ε <=> |x-2|<ε/3

exist δ=ε/3

當(dāng) 0<|x-2|<δ時(shí), |(3x+1)-7|<ε

∴l(xiāng)im(x->2)(3x+1)=7

例2：lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

all ε>0 |(2x^2-x-1)/(x+1)-3|=2|x-1|<ε <=> |x-1|<ε/2

exist δ=ε/2

當(dāng) 0<|x-1|<δ時(shí), |(2x^2-x-1)/(x+1)-3|<ε

∴l(xiāng)im(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

例3：lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2

all ε>0 |(2x^2)/(x^2)-2|=1/(x^2)<ε <=> |x|>1/(√ε)

exist X=1/(√ε) (ps：前面對于趨向無窮時(shí)定義就是用X表示的)

當(dāng)|x|>X時(shí) |(2x^2)/(x^2)-2|<ε（無窮情況是|x|>X,正無窮情況是x>X,負(fù)無窮情況是x<-X）

∴l(xiāng)im(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2