——以《加減乘除是一家》一課為例
蘇州大學實驗學校 徐斌
當下的數(shù)學課程改革與實踐中，對一個單元整體知識教學的研究比較多，而對幾個單元甚至不同年級的相關單元知識的整體教學尚缺乏深入研究和典型課例。事實上，如果學生習得的數(shù)學知識和技能總是局限于某一個單元或某一個年級，顯然不利于學生從整體上認識數(shù)學和理解數(shù)學，也會阻礙學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成，因此“總得有人去擦星星”。前不久，筆者在五年級進行了《小數(shù)四則運算復習》多單元整體知識教學嘗試。（詳細教案與思考見下面鏈接）
現(xiàn)在又欣喜地看到，安徽省特級教師夏永立大膽嘗試了一節(jié)體現(xiàn)整體性知識教學的創(chuàng)新研究課《加減乘除是一家》（二年級），為我們呈現(xiàn)了一份極具借鑒意義的精彩課例。
下面就筆者觀課后的幾點感想與大家分享：
一節(jié)課只有40分鐘，要把分散在兩個年級里面多個單元的數(shù)學知識進行整體教學，難度很大，這就需要教師對學習內容進行整體組織。夏老師整節(jié)課以一根數(shù)線（如圖1，小學階段尚沒有正式學習“數(shù)軸”這一概念）貫穿始終，把加、減、乘、除法的基本含義和內在關系進行了整體性教學：
夏老師首先讓孩子在數(shù)線上移動磁扣，分別表示出加法和減法運算，體驗它們之間的互逆關系。學生通過形象具體的教具移動，利用簡約和直觀的素材，在活動中明確了加減法的含義: 加法就是繼續(xù)往后數(shù)的計數(shù)策略，減法就是往回數(shù)的計數(shù)策略。
在初步溝通了加、減法之間的內在聯(lián)系后，進一步讓學生在數(shù)線上操作和理解乘、除法（圖2和圖3）：整數(shù)乘法是以0為起點，以其中一個乘數(shù)為單位跳著往后數(shù)進行計數(shù)；而除法則是按單位量跳著往回數(shù)的計數(shù)策略。進而使學生體會到乘法與除法之間的互逆關系。
在學生分別建立了加法和減法、乘法和除法之間關系的同時，進一步溝通乘法和加法、除法和減法之間的內在聯(lián)系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的減法”，由此逐步體驗到“加減乘除是一家”。在課堂結尾之時，進一步由正數(shù)拓展到負數(shù)（圖4），在激發(fā)學生的探究欲望的同時也為今后學習留下伏筆。
眾所周知，問題是數(shù)學的心臟。好的數(shù)學問題，可以促進孩子進行深度的數(shù)學思考。在本課教學中，夏老師既沒有由老師過多地講述與灌輸，也沒有一味地讓學生過多的操作與探索，而是一直讓學生思考三個核心問題：我是誰？家在哪？還去哪？在這些富有哲思的“核心問題”的分解和追問中，幫助學生厘清數(shù)學知識的內在聯(lián)系,實現(xiàn)認知圖式的自我建構。
有了核心問題的整體引領，還需要通過具體問題的分解設計來促進學生不斷探索與思考四則運算的本質：
⑴在教學加法和減法的含義和相互關系時，分別提問：在數(shù)線上，0的家在哪里？0+1的新家又在哪里？它（圓形磁扣）怎樣回到原來的家？比較兩次移動的過程，有什么相同的地方？又有什么不同的地方？
⑵在溝通加法和乘法的關系時，提問：剛才用磁扣移動的時候，都是一格一格跳的，還可以怎么跳？幾格幾格地跳，除了列加法算式還可以用什么運算？有了加法運算為什么還要學習乘法？
⑶在溝通除法和減法的關系時，提問：磁扣從8開始，向左2格2格地跳，回到原來的家（0），你能想到什么算式？除法的含義是什么？你能用箭頭表示除法和減法的關系嗎？
⑷在教學乘法和除法的含義和相互關系時，提問：乘法和除法計算時，在數(shù)線上移動磁扣有什么相同和不同的地方？乘法和除法有什么聯(lián)系？
⑸在四種運算含義分別理解、運算之間聯(lián)系初步形成后，進一步通過核心問題引發(fā)學生深度思考：加、減、乘、除法四種運算之間到底是怎樣的關系？運算和認數(shù)之間有關系嗎？哪種運算是最先產(chǎn)生的？為什么要學習這些運算？
從心理學角度看，促進有組織的整體知識學習的重要外部條件是提高學習材料的可懂度，即通過有效的策略加工，把抽象的數(shù)學知識形象化，以順應兒童的年齡特征和認知規(guī)律，也就是把“學術形態(tài)的數(shù)學”轉化為“教育形態(tài)的數(shù)學”，把“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”。夏老師精心設計了促進學生深度學習的教學策略，主要體現(xiàn)在以下三種策略：
首先是采用直觀游戲活動。在全課教學中，夏老師充分發(fā)揮了游戲化、活動化教學的優(yōu)勢，只用了一個看上去不起眼的圓形磁扣教具，引導學生在數(shù)線上不斷進行位移操作，在多種有趣的數(shù)學活動中理解四則運算的意義以及它們之間的內在聯(lián)系。夏老師還注意變換游戲活動的形式，除了有老師自己的直觀示范，也有個別學生的操作演示，還有全體學生的獨立操作與合作交流，以及游戲活動前后的猜測、驗證和對比、評價。
其次是采用數(shù)形結合方式。數(shù)學家華羅庚在六十年前就指出“數(shù)無形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非”。我們知道，數(shù)的運算的知識是人們在日常生活和生產(chǎn)實踐的經(jīng)驗中抽象出來的，并且逐步形成抽象的運算法則。要讓二年級學生深入理解運算含義，除了借助直觀的操作活動，還離不開數(shù)形結合的方式。夏老師通過直觀操作，幫助學生建立起跳動磁扣的格子數(shù)、方向與計數(shù)、運算之間的內在聯(lián)系，促進學生由動作圖式過渡到具體運算圖式，進而發(fā)展為抽象運算圖式。
再次是采用符號標志技術。本課學習的知識是典型的“有組織的整體知識”，因此特別需要通過這種凸顯學習材料結構和關系的技術來促進學生深度理解。夏老師全課除了采用動態(tài)的磁扣移動，以幫助學生在頭腦中形成動態(tài)表象，還通過半抽象半直觀的數(shù)線圖幫助學生在計數(shù)中理解計算，又通過板書中彩色粉筆的不同顏色、線條和符號標記等技術，圖文并茂，突出內容要點，幫助學生選擇適當?shù)男畔?，進而一目了然地形成四則運算之間的結構性和整體性聯(lián)系，把零散的運算概念建構成清晰的認知結構，體會不同運算之間遵循的共同規(guī)律，感悟不同運算的內在一致性。
筆者認為，板書是一節(jié)課的整體思路與框架，是課堂教學的運行線索與結構，也是教師教學智慧的寶貴結晶和創(chuàng)造，值得我們賦予更多的研究與實踐。這節(jié)課我們欣喜地看到夏永立老師十分注重板書的設計與教學：
上述的板書設計具有結構性和整體性：既有直觀的數(shù)線以及可以移動的磁扣，也有具體的運算算式及得數(shù)；既有四則運算的典型舉例，也有四則運算之間的內在關聯(lián)；既有抽象的數(shù)字和符號，也有形象的線條與箭頭；既有學習的知識內容，也有學習的問題方法。這樣的板書，在有痕的提示中引領學生尋找知識之間的連接點，將碎片化的知識連成線、結成網(wǎng)、筑成塊；在無痕的提升中促進學生建立起整體的結構思維，形成了和諧完整的認知結構，體驗到了數(shù)學文化的獨特魅力。
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