1.分段函數(shù)
在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，要先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.
2.函數(shù)的單調(diào)性與最值
（1）區(qū)分兩個(gè)概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者是指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.
（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不一定是整個(gè)定義域，可能是定義域的子集，但一定是連續(xù)的.
（3）函數(shù)的額單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)函數(shù)，如函數(shù)y=1/x在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性.
（4）若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個(gè)區(qū)間要分開寫，不能寫成并集.例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1，0)上是減函數(shù)，在（0，1）上也是減函數(shù)，但在(-1，0)∪(0，1)上卻不一定是減函數(shù)，如函數(shù)f(x)=1/x.
3.函數(shù)的奇偶性與周期性
（1）f(0)=0既不是函數(shù)f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.
（2）判斷分段函數(shù)的奇偶性要有整體的觀點(diǎn)，可以分類討論，也可以利用圖象進(jìn)行判斷.
4.二次函數(shù)與冪函數(shù)
（1）對(duì)于函數(shù)y=ax^2+bx+c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件未說明a≠0時(shí)，就要討論a=0和a≠0兩種情況.
（2）冪函數(shù)y=x^α（α是常數(shù)）中,α的取值不一樣，對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)的定義域不一樣.注意α是正分?jǐn)?shù)或負(fù)分?jǐn)?shù)（正整數(shù)或負(fù)整數(shù)）時(shí)的不同.
（3）冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).
5.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
（1）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，單調(diào)性不明確，從而無法確定其最值，故應(yīng)分a>1和0<a<1兩種情況討論.
（2）解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問題時(shí)，要熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，弄清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，利用換元法求解時(shí)要注意“新元”的取值范圍.
6.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
（1）指數(shù)函數(shù)y=a^x (a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax (a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.
（2）解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn)：①務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;②注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍.
7.函數(shù)的圖象
（1）函數(shù)圖象的每次變換都是針對(duì)自變量“x”而言，如從f(-2x)的圖象到f(-2x+1)的圖象是向右平移1/2個(gè)單位，即把x變成x-1/2.
（2）當(dāng)圖形不能準(zhǔn)確地說明問題時(shí)，可借助“數(shù)”的精確性進(jìn)行求解，解題過程中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
8.函數(shù)與方程
（1）函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)=0的根，也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
（2）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件;判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象.
9.函數(shù)模型及其應(yīng)用
（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯(cuò)誤.所以要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.（2）要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域.
（3）注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.
10.導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
（1）利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子中的符號(hào)，防止與乘法公式混淆.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要正確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).
（2）求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.
（3）曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè).
11.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值
（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減小失分的可能性.
（2）求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論.
（3）解題時(shí)要注意區(qū)別求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好f ′(x)=0時(shí)的情況;區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn).
12.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
（1）若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則f ′(x)≥0，而不是f ′(x)>0(f ′(x)=0在有限個(gè)點(diǎn)處取到).
（2）利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題時(shí)，要注意問題的實(shí)際意義.
聯(lián)系客服
