命題熱點四 解析幾何
高考對解析幾何的考查主要包括以下內容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中一般有1~2個客觀題和1個解答題，其中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓錐曲線的定義應用、標準方程的求解、離心率的計算等，解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關系問題，經常與平面向量、函數與不等式交匯等，考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與范圍問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應加強對解析幾何重點題型的訓練.
預測1. 如果圓關于直線
對稱，則直線
的斜率等于————————————.
解析：依題意直線經過點，所以
，，于是直線斜率為.
動向解讀：本題考查直線方程與斜率、圓的方程、對稱等基本問題，這是解析幾何的基礎內容，是高考的重點內容，一般以選擇題、填空題的形式考查，有時也間接考查，與圓錐曲線的內容綜合起來進行考查.
預測2. 已知雙曲線的左右焦點分別是，P點是雙曲線右支上一點，且，則三角形的面積等于——————————.
解析：由已知可得，，而，所以，又，所以可得三角形的面積等于.
動向解讀：本題考查雙曲線的定義、三角形面積的計算等問題，是一道綜合性的小題.盡管高考對雙曲線的考查要求不高，但對于雙曲線的定義、離心率、漸近線等知識點的考查卻?？汲Ｐ?，經常會命制一些較為新穎的考查基礎知識的小題目.解答這類問題要善于運用雙曲線的定義，善于運用參數間的關系求解.
預測3.已知橢圓，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為
A. B. C. D．
解析：設，則，依題意有.又因為在橢圓上，所以，兩式相減得，即，所以，即，解得.故選C.
動向解讀：本題考查橢圓的離心率問題，這是高考的熱點內容，這類問題的特點是：很少直接給出圓錐曲線的方程等數量關系，而是提供一些幾何性質與幾何位置關系，來求離心率的值或取值范圍.解決這類問題時，首先應考慮運用圓錐曲線的定義獲得必要的數量關系或參數間的等量關系，其次是根據題目提供的幾何位置關系，確定參數滿足的等式或不等式，然后根據的關系消去參數，從而可得到離心率的值或取值范圍.
預測4.已知橢圓的短軸長為，那么直線截圓所得的弦長等于.
解析：由橢圓定義知，所以，于是，圓的圓心到直線的距離等于，故弦長等于.
動向解讀：本題考查橢圓定義、橢圓標準方程、直線與圓的位置關系等問題，是一道多知識點的綜合性小題，這正體現了高考數學命題所追求的“在知識交匯點處命題”的原則.值得注意的是：本題中橢圓方程沒有直接給出，而是要借助橢圓的定義進行分析求解，才能得到有關的參數值.
預測5. （理科）已知橢圓的左、右焦點分別為F1和F2 ，以F1、F2為直徑的圓經過點M（0，b）.（1）求橢圓的方程；（2）設直線l與橢圓相交于A，B兩點，且.求證：直線l在y軸上的截距為定值.
解析：（1）由題設知，又，所以，故橢圓方程為；
（2）因為，所以直線與x軸不垂直.設直線的方程為，.由得，
所以，
又，所以，
即，
，
整理得，
即，
因為，所以，
展開整理得，即.直線l在y軸上的截距為定值.
動向解讀：本題考查解析幾何中的定點、定值或取值范圍問題，這是一類綜合性較強的問題，也是近幾年高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內容.這類問題以直線與圓錐曲線德位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求.
（文科）已知圓，直線過橢圓的右焦點，且交圓C所得的弦長為，點在橢圓E上. （1）求m的值及橢圓E的方程；
（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍.
解析：（1）因為直線交圓C所得的弦長為
所以圓心到直線的距離等于
即，所以（舍去），
又因為直線過橢圓E的右焦點，所以右焦點坐標為
則左焦點F1的坐標為，因為橢圓E過A點，所以，
所以，故橢圓E的方程為：
（2），則，設，
則由，消去得,
由于直線與橢圓E有公共點，所以，
所以，故的取值范圍為.
動向解讀：本題考查解析幾何中的定點、定值或取值范圍問題，這是一類綜合性較強的問題，也是近幾年高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內容.這類問題以直線與圓錐曲線德位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求.
