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基于改進(jìn)后沖擊波剖面模型的宏觀基本圖特性研究

王福建1，孫凌濤1，錢(qián)　偉2

(1. 浙江大學(xué)　建筑工程學(xué)院，浙江　杭州 310058，2. 杭州華龍交通勘察設(shè)計(jì)有限公司，浙江　杭州 310058)

摘要： 沖擊波剖面模型是動(dòng)態(tài)追蹤交叉口排隊(duì)和隊(duì)列消散過(guò)程的一種模型，對(duì)其建模過(guò)程進(jìn)行了改進(jìn)，使其更符合實(shí)際交通流的運(yùn)行情況。在此基礎(chǔ)上，對(duì)含有5個(gè)信號(hào)交叉口的干線進(jìn)行了數(shù)值仿真，在不斷改變其交通需求的情況下，得到了干線輸出流量和干線內(nèi)累積車(chē)輛數(shù)的值。研究發(fā)現(xiàn)：干線輸出流量和干線內(nèi)累積車(chē)輛數(shù)存在一定的固定關(guān)系，從而驗(yàn)證了宏觀基本圖的存在性，為后續(xù)宏觀基本圖的研究和應(yīng)用提供了一種快速準(zhǔn)確的方法和一定的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 交通工程；宏觀基本圖；數(shù)值仿真；SPM；干線；數(shù)值仿真

0　引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人民生活水平的提高，逐漸增加的汽車(chē)使用量使得交通狀態(tài)從交通擁擠不斷向交通擁堵演化，使其成為亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。交通堵塞現(xiàn)象往往在某些敏感交叉口或路段反映出來(lái)，其原因就是在某一時(shí)段的大多數(shù)周期內(nèi)，交通需求大于交通供給，導(dǎo)致車(chē)輛在綠燈時(shí)間內(nèi)未能完全釋放且不斷累積，最終排隊(duì)上溯導(dǎo)致上游交叉口發(fā)生堵塞，從而形成連鎖反應(yīng)，以致斷面和基本路段的交通流特性無(wú)法適用。因此需要建立合適的能準(zhǔn)確快速描述車(chē)輛排隊(duì)現(xiàn)象的排隊(duì)模型，并以此來(lái)研究路網(wǎng)的宏觀交通流特性(即宏觀基本圖)。

1　研究現(xiàn)狀

1.1　排隊(duì)模型研究現(xiàn)狀

排隊(duì)模型大致可分為3類(lèi)：概率論方法[1-2]、累積曲線法[3-4]和沖擊波法[5-9]。其中概率方法因?yàn)槠錈o(wú)法滿(mǎn)足任何一種概率分布的假設(shè)，無(wú)法適用于交通狀態(tài)變化復(fù)雜的情況。當(dāng)?shù)竭_(dá)率和離開(kāi)率變化復(fù)雜時(shí)，累積曲線法較難構(gòu)建累計(jì)曲線，且存在一定的累計(jì)誤差。因此本文選擇在宏觀上可以看做穩(wěn)定流情形的、有較好描述效果的沖擊波法進(jìn)行研究。

在沖擊波法應(yīng)用于信號(hào)交叉口分析的研究中，Michalopoulos 等[5]將沖擊波分析應(yīng)用于信號(hào)交叉口，針對(duì)單個(gè)交叉口和交叉口群分別研究了具有排隊(duì)長(zhǎng)度約束的過(guò)飽和信號(hào)系統(tǒng)，特別關(guān)注了排隊(duì)的動(dòng)態(tài)變化和信號(hào)控制效果。Stephanopoulos 等[6]進(jìn)一步運(yùn)用沖擊波方法探討了信號(hào)交叉口交通排隊(duì)動(dòng)力學(xué)的建模和分析。雋志才等[7]以交通流流體力學(xué)理論為基礎(chǔ)，采用準(zhǔn)沖擊波的方法對(duì)沖擊波在交叉口的傳遞情況以及排隊(duì)過(guò)程進(jìn)行了模擬，并利用仿真結(jié)果計(jì)算得到了交叉口最大排隊(duì)長(zhǎng)度、最遠(yuǎn)排隊(duì)點(diǎn)、交叉口平均受阻距離、停車(chē)率等指標(biāo)。但以上方法都不適用于過(guò)飽和的情形。Wu等[8]基于沖擊波理論，提出了一種基于段落的干線交通流動(dòng)態(tài)性的建模方法，稱(chēng)為沖擊波剖面模型，以擁有不變飽和流率的相同類(lèi)型路段作為一個(gè)段落，追蹤一個(gè)段落內(nèi)或相鄰兩個(gè)段落內(nèi)的主要沖擊波，以此來(lái)描述交叉口動(dòng)態(tài)排隊(duì)過(guò)程，并用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。付鳳杰等[9]應(yīng)用沖擊波法對(duì)信號(hào)交叉口排隊(duì)長(zhǎng)度最遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行了分析研究，并建立了最大周期的優(yōu)化模型。

1.2　宏觀基本圖研究現(xiàn)狀

Smeed[10]于1966年提出了能夠進(jìn)入城市中心區(qū)的車(chē)輛數(shù)是城市區(qū)域面積的函數(shù)，并與該城市的路網(wǎng)面積與道路可利用率相關(guān)。Herman[11]提出了二流模型，將路網(wǎng)上的車(chē)輛假設(shè)為自由流行駛和停止兩種狀態(tài)，得到單位距離車(chē)輛平均停車(chē)時(shí)間與平均行程時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。在以上研究的基礎(chǔ)上，Daganzo和Geroliminis[12-13]得到了路網(wǎng)空間流量、密度等基本交通參數(shù)的固定關(guān)系，并將此定義為宏觀基本圖。此后，圍繞宏觀基本圖的研究不斷展開(kāi)[14-17]，研究?jī)?nèi)容主要集中在其存在性、形狀、影響因素及運(yùn)用方向，且大多數(shù)研究都是基于Vissim仿真或以往的歷史數(shù)據(jù)，Vissim仿真中參數(shù)標(biāo)定的準(zhǔn)確性直接影響結(jié)果的可靠性，而歷史數(shù)據(jù)又存在一定的滯后性，因此本文旨在研究一種能快速準(zhǔn)確得到宏觀基本圖的方法，為后續(xù)研究提供一定的理論基礎(chǔ)[18-19]。

2　沖擊波剖面模型介紹及改進(jìn)

沖擊波剖面模型(Shockwave Profile Model，SPM)[8]是沖擊波法在交叉口的具體應(yīng)用，模型基于以下假設(shè)：(1)車(chē)輛在到達(dá)排隊(duì)隊(duì)尾前都以自由流速度行駛；(2)排隊(duì)車(chē)輛以飽和流率釋放；(3)消散沖擊波波速已知。如圖1所示，該模型合理地將沖擊波簡(jiǎn)化為紅燈起亮初期形成排隊(duì)的排隊(duì)沖擊波w1、綠燈起亮后形成的由停車(chē)線向后傳播的消散沖擊波w2、排隊(duì)波和消散波相遇時(shí)形成的離去波w3和周期內(nèi)有剩余排隊(duì)形成的壓縮波w4這4種主要的波，可方便地追蹤信號(hào)交叉口間排隊(duì)形成與消散的過(guò)程。

2.1　路段建模

SPM模型依據(jù)流量守恒定律和LWR模型中的波速公式，推導(dǎo)出4種沖擊波的波速公式：

(1)

(2)

(3)

；

(4)

上述式中,Ln為交叉口n-1和交叉口n之間的路段長(zhǎng)度; 

，On(t)，rn(t)，gn(t)分別為路段Ln在t時(shí)刻的輸入流率、排隊(duì)長(zhǎng)度、自由流速度、飽和流率、阻塞密度、飽和密度、所屬周期的起始點(diǎn)、所屬周期的紅燈區(qū)間以及有效綠燈區(qū)間；。

考慮在綠燈開(kāi)始初期，車(chē)輛的釋放流率會(huì)小于在自由流情況下最大的到達(dá)率，稱(chēng)之為通行能力下降，因此離去波波速w3(t)并非等于自由流速度，修正為如下公式：

(5)

基于排隊(duì)沖擊波w1(t)和離去波w3(t)及當(dāng)前排隊(duì)長(zhǎng)度

(t)，可以更新下一個(gè)仿真時(shí)長(zhǎng)(t+Δt)的排隊(duì)長(zhǎng)度(t+Δt)，其更新公式如下所示：

(6)

同理，基于排隊(duì)沖擊波w2(t)和壓縮波w4(t)及當(dāng)前存在波的波陣面的位置，可以更新下一個(gè)仿真時(shí)長(zhǎng)(t+Δt)的波陣面位置

(t+Δt)和(t+Δt)，其更新公式如下：

(7)

式中

為在t時(shí)刻沖擊波wj(j=1, 2, 3, 4)波陣面與交叉口n停車(chē)線的距離。

當(dāng)沖擊波位置得到更新后，就能構(gòu)建沖擊波模型，從而計(jì)算得到離開(kāi)交叉口的流量，其結(jié)果如下：

(8)

式中

n(t)為交叉口n在t時(shí)刻的輸出流率。

但對(duì)于無(wú)保護(hù)相位的信號(hào)交叉口來(lái)說(shuō)，左轉(zhuǎn)車(chē)流利用可接受間隙通過(guò)交叉口，因此其輸出流量還受到?jīng)_突流可接受間隙的影響，引入?yún)?shù)γ(γ=0表示無(wú)可接受間隙來(lái)放行沖突車(chē)流；γ=1則相反)對(duì)式(8)進(jìn)行如下修正：

(9)

式中

(t)分別為存在沖突流時(shí)交叉口的飽和流率和離開(kāi)流率。

對(duì)于未保護(hù)相位交叉口，由于沖突流的存在，其實(shí)際飽和流率會(huì)小于理論飽和流率，因此需要修正，修正公式如下：

(10)

在得到上游交叉口的輸出流率后，只要給出一個(gè)轉(zhuǎn)彎比例就能知道下游交叉口直行的交通量，計(jì)算公如下：

(11)

式中

(t)是支路的離開(kāi)率(包括左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn))。

以上討論的都是下游交叉口未溢出的情形，但現(xiàn)實(shí)中常常出現(xiàn)下游排隊(duì)上溯的情形，因此還需對(duì)此情形進(jìn)行討論。由于溢出的不確定性和隨機(jī)性(溢出何時(shí)發(fā)生、溢出狀態(tài)持續(xù)的時(shí)間等)使情況變得相當(dāng)復(fù)雜，但SPM模型能將其簡(jiǎn)單歸納成兩種情況：

情況1：增加一個(gè)紅燈相位，該情況適用于下游交叉口在上游交叉口是紅燈時(shí)下游交叉口溢出且溢出狀態(tài)持續(xù)到信號(hào)燈變綠；

情況2：創(chuàng)建一個(gè)新周期，其適用于上游交叉口是綠燈時(shí)下游交叉口溢出的情況。

由于排隊(duì)溢出的情形能簡(jiǎn)單地被上述兩種情況表示，因此對(duì)于排隊(duì)溢出情形的處理就可以簡(jiǎn)化為在以下時(shí)段更新交叉口信號(hào)的時(shí)間：(1)下游交叉口排隊(duì)上溯至上游交叉口；(2)下游交叉口的消散波傳到上游交叉口。然而，SPM模型在每個(gè)時(shí)刻t內(nèi)更新交通狀態(tài)，當(dāng)溢出發(fā)生時(shí)，無(wú)法知道溢出持續(xù)的時(shí)間。為了建模簡(jiǎn)便，將溢出發(fā)生時(shí)周期內(nèi)剩余的時(shí)間作為紅燈時(shí)間，將溢出消散時(shí)周期內(nèi)剩余的時(shí)間作為綠燈時(shí)間，更新時(shí)間公式如下：

(12)

2.2　路網(wǎng)建模

SPM模型采用基于段落的路網(wǎng)建模方法，把擁有不變飽和流率的相同類(lèi)型路段歸為一個(gè)段落，一個(gè)段落或兩個(gè)相鄰段落產(chǎn)生的主要沖擊波會(huì)被明確地追蹤。如圖2所示，以節(jié)點(diǎn)表示段落，以箭頭表示方向，其中節(jié)點(diǎn)包括段落長(zhǎng)度、阻塞密度、飽和流率、信號(hào)配時(shí)等大部分?jǐn)?shù)據(jù)。

基于段落的建模方法是現(xiàn)實(shí)交通的近似模擬，因此假設(shè)車(chē)道事先已分配好，無(wú)換道行為，進(jìn)入各路段的流量

 由轉(zhuǎn)彎比例決定，其公式如下：

(13)

式中βn為n路段的左轉(zhuǎn)比例。

從式(13)可以看出，原模型將最內(nèi)側(cè)車(chē)道完全作為左轉(zhuǎn)車(chē)輛的專(zhuān)用車(chē)道，這不僅大大降低了交叉口的通行能力，還與實(shí)際完全不符，因此需要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。

2.3　模型的改進(jìn)

按實(shí)際情況常規(guī)設(shè)置，將最內(nèi)側(cè)車(chē)道作為直行車(chē)輛和左轉(zhuǎn)車(chē)輛的共用車(chē)道，外側(cè)車(chē)道作為直行車(chē)輛和右轉(zhuǎn)車(chē)輛的共用車(chē)道，故其流量分配按下式進(jìn)行改進(jìn)：

(14)

式中αn為n路段的左轉(zhuǎn)比例和右轉(zhuǎn)比例。

3　仿真應(yīng)用及分析

3.1　仿真試驗(yàn)環(huán)境

根據(jù)上一章的介紹和改進(jìn)后的SPM算法，對(duì)其進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。以單車(chē)道干線5個(gè)交叉口為研究對(duì)象，路段長(zhǎng)度均為300 m，研究對(duì)象如圖3所示。

路段的自由流速度為36 km/h，飽和流率均為1 800 veh/h，飽和密度(臨界密度)為65 veh/km，阻塞密度為130 veh/km，交叉口內(nèi)的車(chē)輛初始排隊(duì)數(shù)為0，在交叉口邊界輸入雙峰流量，其中主路最大流量為1 000 veh/h,支路最大流量為600 veh/h，其雙峰變化如圖4所示。

各交叉口均為兩相位放行，周期為100 s,綠信比為0.55，交叉口3的相位差為10 s,交叉口4的相位差為20 s，其余交叉口無(wú)相位差。

3.2　仿真結(jié)果及分析

對(duì)1天24 h進(jìn)行數(shù)值仿真，得到主干道各交叉口1天由左向右直行的沖擊波圖，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，在7:30以后各交叉口均出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象。以交叉口5為例，8:00以后交叉口5出現(xiàn)排隊(duì)上溯現(xiàn)象，影響交叉口4的車(chē)流運(yùn)行，從而使整個(gè)交叉口都出現(xiàn)上溯，若為路網(wǎng)，則會(huì)出現(xiàn)鎖死現(xiàn)象。

對(duì)路網(wǎng)進(jìn)行1天24 h仿真，得到仿真時(shí)間段內(nèi)每個(gè)仿真時(shí)刻進(jìn)出各交叉口的車(chē)輛數(shù)，然后以5 min為時(shí)間間隔進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示)，得到每個(gè)統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔內(nèi)路段上的累計(jì)車(chē)輛數(shù)。為了防止無(wú)邊界交叉口對(duì)結(jié)果造成影響，只取路段L2, L3, L4進(jìn)行分析，計(jì)算每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均路網(wǎng)累積車(chē)輛數(shù)，然后根據(jù)各路段平均長(zhǎng)度，得到路網(wǎng)加權(quán)平均密度。

從圖6可以得出邊界輸出流量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)：在低峰時(shí)輸出流量隨著交通需求的增加而變大，到早高峰8:00以后，路網(wǎng)達(dá)到臨界飽和狀態(tài)，輸出流量達(dá)到最大值，狀態(tài)一直持續(xù)到晚高峰結(jié)束，符合實(shí)際情況。

從圖7可以發(fā)現(xiàn)，干線輸出流量與干線內(nèi)累計(jì)車(chē)輛數(shù)(即密度)存在一定的關(guān)系，在密度小于65 veh/h 時(shí)，輸出流量與密度呈線性相關(guān)，交通流達(dá)到臨界飽和狀態(tài)，個(gè)別或多個(gè)交叉口出現(xiàn)排隊(duì)上溯現(xiàn)象。當(dāng)密度大于65 veh/h時(shí)，交通流達(dá)到飽和狀態(tài)，表現(xiàn)為輸出流量最大。

表1　部分仿真數(shù)據(jù)示例[單位：veh/(5 min)]

Tab.1　Part of simulation data[unit:veh/(5 min)]

由上述分析可見(jiàn)，宏觀基本圖能清楚地描述干線從通暢到擁擠直至擁堵的全過(guò)程。由此可見(jiàn)，可以利用宏觀基本圖來(lái)確定路網(wǎng)車(chē)輛總數(shù)，使其不會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)交通到達(dá)鎖死狀態(tài)，同時(shí)，確保網(wǎng)絡(luò)車(chē)輛總數(shù)達(dá)到最大值附近。

4　結(jié)論

本文利用改進(jìn)后的SPM模型快速準(zhǔn)確地追蹤了過(guò)飽和交叉口的動(dòng)態(tài)排隊(duì)過(guò)程，并以此得到了交通需求不斷變化情況下的路網(wǎng)輸出流量和累積車(chē)輛數(shù)。利用該數(shù)據(jù)，得出輸出流量和累積車(chē)輛數(shù)之間存在確定的關(guān)系，驗(yàn)證了宏觀基本圖的存在性，為后續(xù)宏觀基本圖的應(yīng)用提供了一定的理論基礎(chǔ)。

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Characteristics of Macroscopic Fundamental Diagram Based on SPM

WANG Fu-jian1, SUN Ling-tao1, QIAN Wei2

(1. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310058, China;2. Hangzhou Hualong Traffic Survey and Design Co., Ltd., Hangzhou Zhejiang 310058, China)

Abstract： Shockwave profile model is a model that can dynamically track the process of queue build-up and dissipation at intersection. The modeling process is improved to make it more consistent with the actual operation of traffic flow. On this basis, a numerical simulation to an arterial road which contains 5 signal intersections is conducted, the output traffic volume and the cumulative number of vehicles in the arterial road when changing the traffic demand are obtained. It is found that there is existence of certain relationship between the abovementioned 2 parameters, which verified the existence of macroscopic fundamental diagram. It provided a fast accurate method and a certain theoretical basis for further study and application of MFD.

Key words： traffic engineering; macroscopic fundamental diagram (MFD); numerical simulation; shockwave profile model (SPM); arterial; numerical simulation

中圖分類(lèi)號(hào)： U491

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

文章編號(hào)： 1002-0268(2016)04-0127-07

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.04.020

作者簡(jiǎn)介：王福建(1969-)，男，安徽阜陽(yáng)人，副教授.(ciewfj@zju.edu.cn)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51278455)

收稿日期：2015-05-14