牛吃草問題，也就是有名的牛頓問題，是牛頓的《普遍的算術(shù)》中提到的一道經(jīng)典問題：12頭牛4周吃草3格爾，同樣的牧草21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少頭牛18周能吃完（格爾為牧場面積單位）？其實(shí)質(zhì)是一道“消長”問題。
牛吃草問題典型的特點(diǎn)隱含在建模之中：隨著時間的推移，草的總量在不斷地增加。草的總量包含兩部分，一部分是原有草量，屬于不變量；另一部分是新生長的草量，隨著時間的推移在不斷地增加。另外，模型中還要假設(shè)兩個不變量：一是每頭牛每天的吃草量是不變的，二是草每天生長的速度不變。
這樣做的目的其實(shí)是為了簡化問題。就像初中學(xué)習(xí)直線運(yùn)動，統(tǒng)統(tǒng)都簡化為勻速直線運(yùn)動，到了高中基本模型就變成了勻變速直線運(yùn)動，到了大學(xué)，運(yùn)動問題直接應(yīng)用微積分的相關(guān)知識處理。從這個角度去分析，實(shí)際上我們現(xiàn)在要說的是最簡單的牛吃草問題，畢竟科學(xué)是逐步逼近真實(shí)，但永遠(yuǎn)到達(dá)不了真實(shí)，這也給科學(xué)家研究自然現(xiàn)象帶來了無盡的興趣。
一、應(yīng)用算術(shù)的思維方法解決問題
牛吃草作為一個基本的數(shù)學(xué)模型，我看了很多輔導(dǎo)的視頻，其實(shí)他們除了沒有考慮每個孩子的認(rèn)知水平不同外，對于問題的階梯式設(shè)置還是很好的。具體做法是：先將牛限制在一片草地上吃草，這樣就在很大程度上減少了變化量，使得問題有了層次感，孩子思考起來也就相對來說簡單了很多，這也是我采用的方法。
例題：有一片牧場，牧草每天勻速生長，這片牧草可供24頭牛吃6周，18頭牛吃10周，問可供19頭牛吃幾周？
解法一：
具體解法是：先假設(shè)每頭牛每周吃草量為1份，可按照不變量分成三個步驟：
1、先求牧場平均每周生長的牧草量，也就是新牧草的生長速度,屬于不變量
草的生長速度等于（對應(yīng)牛的頭數(shù)乘以吃的較多的周數(shù)減去相應(yīng)的牛的頭數(shù)乘以吃的較少的周數(shù)）除以（吃的較多的周數(shù)減去吃的較少的周數(shù)），文字?jǐn)⑹隹偸菑?fù)雜，列式計(jì)算就比較直觀了。
列式計(jì)算：
2、再求原有草量，等于牛頭數(shù)乘以吃的周數(shù)減去草生長的速度乘以周數(shù)
列式計(jì)算：
3、最后求19頭牛吃草的周數(shù)
19頭牛每周要吃19份草，每周生長的牧草量是9份，將19頭牛分成兩組：一組專門吃新生長的牧草，需要9頭牛；剩余的10頭吃原有草，這樣就可以很巧妙地計(jì)算出來周數(shù)。
解法二：利用兩種牛吃草方法做出示意圖
從兩種吃法中就可以看出：多出的草量是4周生長的牧草的份數(shù)，進(jìn)而參照解法1將題目解答出來。
解法二的意義并不僅僅做出示意圖，解出來題目，如果將牛放到示意圖的左端，將新生草放到原有草量的右端，這道題目其實(shí)就可以變成同時不同地的兩個物體的追擊問題，這將對于孩子在初中乃至于高中的物理學(xué)科的學(xué)習(xí)幫助是很大的。
解法三：19頭牛每周要吃19份草，先讓19頭把每周生長的9份新生草吃完，這樣他們是吃不飽的，然后大家一起每周需要分享原有草為：
則原有草可供吃的天數(shù)為：
這幾種解法里有些算式雖然相同，但是思維過程卻不盡相同，這大致就是這些經(jīng)典題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維的美妙之處吧。
解法四：應(yīng)用分?jǐn)?shù)解決
步驟如下：第一步先求出來牧場平均每周生長的草量，即牧草的生長速度（不變量）
把18頭牛吃10的周草的總量看作是“1”，平均每頭牛每周吃了單位“1”的 ，這樣，24頭牛6周吃草的總量是：
比單位“1”少了： ，少的這些的原因是牧草少生長了4周，說明少的 就是這個牧場4周的新長的草量，則牧場平均每周新生的草量為：
第二步：求牧場的原有草量（不變量）
從第一步的假設(shè)就可以看出來：單位“1”的總草量包括了原有草量和10周的新生草量。由于每周新生草量是單位“1”的 ，所以10周的新生草量為單位“1”的 ，則原有草量就是：
第三步:求這個牧場可供19頭牛吃幾天
19頭牛每周的吃草量為：
去掉每周的新生草量的 ，19頭牛每天還要從原有草量中吃掉：
也就是說19頭牛只要每周吃掉原有草量的 ，不足部分從新生草量中補(bǔ)足，所以原有草量可供19頭牛每周消耗的天數(shù)就是所要求的天數(shù)：
解法五：比例的思想
先將問題轉(zhuǎn)化成一般形式，從而找出這類問題的比例關(guān)系；牧場上有y公頃草，牧草每天勻速生長，生長率為 ，這片牧草可供 頭牛吃 周， 頭牛吃 周，問可供 頭牛吃幾周？
根據(jù)題意可以知道：x頭牛吃的草，等于牧場原有草量加上t周新生長的草，也等于x頭牛t周內(nèi)吃完的草。依照這個等量關(guān)系，我們可以列出來以下三個等式，抓住草的生長率是一定的，從而得到比例關(guān)系。
所以：
利用以上的公式，就可以解決牛吃草問題
設(shè)19頭牛吃n周，可根據(jù)以上的公式就可以得到：
解之得：
二、應(yīng)用代數(shù)的思想進(jìn)行求解
例題：有一片牧場，牧草每天勻速生長，這片牧草可供24頭牛吃6周，18頭牛吃10周，問可供19頭牛吃幾周？
解法六：初等代數(shù)的方法
設(shè)每周有x頭牛吃掉新生長得草，根據(jù)原有草量不變，就可以列出以下方程，從而得到x的值。
設(shè)可供19頭牛吃y周，依然抓住原有草量不變可得：
或者：
解法七：利用方程組
假設(shè)原有草量為x，每周每頭牛吃掉的草量為a，每周新生長草量為b，
設(shè)這片草地可供19頭牛吃y周，則：
所以：
可得：
解法八：應(yīng)用函數(shù)的思想
函數(shù)的思想解決問題，就是將問題涉及到的各種常量和變量統(tǒng)一到一個函數(shù)關(guān)系式中，這樣可以體現(xiàn)出來數(shù)學(xué)的簡潔美。
設(shè)牧場原有草量為a，每周新生長的草量為b，每頭牛每周吃掉的草量為c，則草地的草量y可以看作是經(jīng)過x周和牛的頭數(shù)n的函數(shù)，可得到如下的函數(shù)表達(dá)式：
根據(jù)題意可得到以下方程組：
可供19頭牛吃9周.
其實(shí)牛吃草問題是一個很經(jīng)典得問題，值得孩子在不同得年齡階段進(jìn)行練習(xí)，涉及到得數(shù)學(xué)思維方法比較多，在現(xiàn)實(shí)中也有很多的類似問題：車站檢票問題、超市排隊(duì)付款問題、水池抽水問題、大壩泄洪問題以及初高中物理學(xué)中得追擊問題等等。列式計(jì)算結(jié)果也是比較復(fù)雜多變的，比如解法八中得到的方程組，其實(shí)就是齊次線性方程組，解答過程中如果考慮到其具有非零解的判定定理，應(yīng)用行列式解答，會減少很多的計(jì)算量。
其實(shí)這樣做的目的并不是說牛吃草問題有多么復(fù)雜，用多種解法只是幫助孩子能將各種方法思路融會貫通，將各個知識點(diǎn)能夠聯(lián)系起來理解，從而建立自己解決問題的獨(dú)特思維。其實(shí)，這個問題多年以后可能會遺忘，但是思考問題的方式，將會一直產(chǎn)生影響。
大概就是這個原因：愛因斯坦曾說：“所謂智慧，就是把在學(xué)校學(xué)過的東西都忘掉后，剩下來的東西”。
那么大家應(yīng)該有所感悟：奧數(shù)這東西要因人而異，本身是很好的訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題，但是如果聽了培訓(xùn)班的，在小學(xué)為初中乃至高中的知識提前買單，除了被忽悠的成分，是不是你心理還有和別人相互卷的攀比心作祟？不管你的經(jīng)濟(jì)實(shí)力是不是能匹配這種殘酷的競爭，一定要考慮孩子的認(rèn)知水平的發(fā)展程度，不要死記硬背，嚴(yán)重地挫傷了孩子學(xué)習(xí)的興趣，摧毀了孩子的自信，充當(dāng)了潮流的幫兇。請大家思考以下的幾個問題，應(yīng)該可以減少你的一點(diǎn)焦慮心理。
1、天才是有的，但不一定是你孩子，你的家庭有沒有孕育天才的土壤？
2、奧數(shù)的很好的，但不是人人都能學(xué)的，95%以上的孩子其實(shí)是不適合奧數(shù)訓(xùn)練的。
3、適度的練習(xí)是可以的，可以有助于提高孩子的成績，但是你的付出不要想著在孩子身上一定能結(jié)出豐碩的果實(shí)。每個孩子的認(rèn)知發(fā)展時間段是不同的，你了解你的孩子的認(rèn)知發(fā)展程度嗎？盲目的進(jìn)行奧賽培訓(xùn)，你付出了代價(jià)的同時，也可能在嚴(yán)重地挫傷孩子學(xué)習(xí)興趣。
4、奧數(shù)培訓(xùn)如火如荼這么多年，你見過幾個數(shù)學(xué)大師是他們培養(yǎng)出來的？
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