圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩個定義：
（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于當常數(shù)等于
F1F2
，
F1F2
時，軌跡是線段F1F2，當常數(shù)小于
F1F2時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，
且此常數(shù)2a一定要小于|F1F2|，定義中的“絕對值”與2a＜|F1F2|不可忽視。若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線，若2a﹥|F1F2|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點F1(?3,0),F2(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A．PF B．PF C．1?PF2?41?PF2?6D．PF1
2
PF1?PF2?10
PF2
2
8表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支） ?12（答：C）
（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。如已知點
x2
Q(22,0)及拋物線y?
4
上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
x2y2x?acos?（1）橢圓：焦點在x軸上時2?2?1（a?b?0）其中??y?bsin?（參數(shù)方程，
ab
＝1（a
22
b?0）。方程Ax?By?C表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且
y2x2
為參數(shù)），焦點在y軸上時2?2
ab
A，B，C同號，A≠B）。如（1）已知方程
11x2y222
；（2）若x,y?R，且3x?2y?6，則x?y??1表示橢圓，則k的取值范圍為____（答：(?3,?)?(?,2)）
223?k2?k
的最大值是____，x
2
y2的最小值是___
2）
y2x2
=1，焦點在y軸上：2?2
ab
＝1（a?0,b?0）。方程
x2y2
（2）雙曲線：焦點在x軸上：2?2
ab
Ax2?By2?C表示雙曲線
x2y25
的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓??1有公共焦點，則該雙曲線的方
942
x2
程_______（答：；（2）設中心在坐標原點O，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率e?2的雙曲線C過點P(4,?)，?y2?1）
4
則C的方程為_______（答：x
2
y2?6）
（3）拋物線：開口向右時
y2?2px(p?0)，開口向左時y2??2px(p?0)，開口向上時x2?2py(p?0)，開口向下時
x2??2py(p?0)。
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：
（1）橢圓：由x
2
,
y
2
分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程
x2y2
1表示焦點在y軸上的橢圓，
m?12?m
則m的取值范圍是__（答：(??,?1)?(1,
（2）雙曲線：由x
2
3)） 2
,
y
2
項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F1，F(xiàn)2的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)a,b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，a
4.圓錐曲線的幾何性質：
2
b2?c2，在雙曲線中，c最大，c2?a2?b2。
x2y2
（1）橢圓（以2?2?1（a?b?0）為例）：①范圍：?a?x?a,?b?y?b；②焦點：兩個焦點(?c,0)；③對稱性：
ab
兩條對稱軸x?0,y
0，一個對稱中心（0,0），四個頂點(?a,0),(0,?b)，其中長軸長為2a，短軸長為2b；④準線：兩條準線
a2
x??
c
cx2y2
； ⑤離心率：e?，橢圓?0?e?1，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓??1的離心率
a5m
25，則的值是__（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值me?
35
為__（答：2
2）
x2y2
2?1（a?0,b?0）為例）（2）雙曲線（以：①范圍：x??a或x?a,y?R；②焦點：兩個焦點(?c,0)；③對稱2ab
性：兩條對稱軸x?0,y
0，一個對稱中心（0,0），兩個頂點(?a,0)，其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的
； ⑤離心率：e
2
a
長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為x2?y2?k,k?0；④準線：兩條準線x??
c
c
，雙曲線?e?1，a
等軸雙曲線
b
e?e越小，開口越小，e越大，開口越大；⑥兩條漸近線：y??x。如（1）雙曲線的漸近線方程是3x?2y?0，
a
則該雙曲線的離心率等于______
22
）；（2）雙曲線ax?by?
1a:b
答：4
1
或4
x2y2
）；（3）設雙曲線2?2?1（a>0,b>0）中，離心率e∈[2,2],則兩條漸近線夾角θ
ab
（3）拋物線（以
的取值范圍是________（答：[
,]）；
32
p
：①范圍：x?0,y?R；②焦點：一個焦點(,0)，其中p的幾何意義是：焦點到y(tǒng)2?2px(p?0)為例）
2
準線的距離；③對稱性：一條對稱軸拋物線?
；④準線：一條準線x??y?0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）
p
2
； ⑤離心率：e?
c，a
e?1。如設a?0,a?R，則拋物線y?4ax2的焦點坐標為________（答：(0,
1
； )）
16a
22x0y0x2y2
5、點P(x0,y0)和橢圓2?2?1（a?b?0）的關系：（1）點P(x0,y0)在橢圓外?2?2?1；（2）點P(x0,y0)
abab
22
x0y0
在橢圓上?2?2
ab22
x0y0
＝1；（3）點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?2?2?1
ab
6．直線與圓錐曲線的位置關系：
0?直線與橢圓相交； ??0?直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有??0，當直線與雙曲線的
漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故??0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；??0?直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有??0，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故??0也僅是
（1）相交：?
直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x-y=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是
2
2
_______（答：(-
x2y2??1恒有公共點，則m的取值范圍是_______（答：[1，5）∪（5，,-1)）；（2）直線y―kx―1=0與橢圓
5m3
x2y2
1的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（答：3）+∞））；（3）過雙曲線； 12
0?直線與橢圓相切；??0?直線與雙曲線相切；??0?直線與拋物線相切；
（3）相離：??0?直線與橢圓相離；??0?直線與雙曲線相離；??0?直線與拋物線相離。
（2）相切：?
特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,
x2y2直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線2?2
ab
＝1外
一點P(x0,y0)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如
x2y2
（1）過點(2,4)作直線與拋物線y?8x只有一個公共點，這樣的直線有______（答：2）；（2）過點(0,2)與雙曲線??1有且僅有
916
2
4y2?2
一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______
（答：??,；（3）過雙曲線x??1的右焦點作直線l交雙曲線于）
32????
兩點，若
A、B
22；（4）對于拋物線C：y?4x，我們稱滿足y0?4x0的點M(x0,y0)在AB?4，則滿足條件的直線l有____條（答：3）
拋物線的內(nèi)部，若點M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：y0y
2
；（5）過拋?2(x?x0)與拋物線C的位置關系是_______（答：相離）
物線y?4x的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則
11
；（6）設雙??_______（答：1）
pq
x2y2
1的右焦點為F曲線
169
，右準線為l，設某直線m交其左支、右支和右準線分別于P,Q,R，則?PFR和?QFR的大小
關系為___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求橢圓7x2?4y2?28上的點到直線3x
2y?16?0的最短距離（答：
22
）；（8）直線y?ax?1與雙曲線3x?y?1交于A、B兩點。①當a為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？②當a為何值時，以AB
為直徑的圓過坐標原點？（答：①
； ；②a??1）
7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑r?ed
，
x2y2
其中d表示P到與F所對應的準線的距離。如（1）已知橢圓??1上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為
2516
____（答：
352
）；（2）已知拋物線方程為y?8x，若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于____；（3）若3
x2y2
該拋物線上的點M到焦點的距離是4，則點M的坐標為_____（答：7,(2,?4)）；（4）點P在橢圓??1上，它到左焦點的距
259
離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_______（答：
252
）；（5）拋物線y?2x上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段12
x2y2
AB的中點到y(tǒng)軸的距離為______（答：2）；（6）橢圓F為右焦點，在橢圓上有一點M，使MP?2MF??1內(nèi)有一點P(1,?1)，
43
之值最小，則點M的坐標為_______（答：(
26
； ,?1)）
3
8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線
上的一點
P(x0,y0)到兩焦點F1,F2的距離分別為r1,r2，焦點?F1PF2
的面積為
S
，則在橢圓
x2y2
1中， ①?a2b2
＝
2b2
1)，且當r1?r2即P為短軸端點時，?
r1r2
P
為短軸端點時，
b2?c2
最大為?max＝a2
；②S
b2tan
2
c|y0|，當|y0|?b即
Smax的最大值為
bc；對于雙曲線
2b2x2y2
1??2?1的焦點三角形有：①??arccos?2?r1r2ab?
；
②S?
1?2
r1r2sin??b2cot。如（1）短軸長為，離心率e?223
的橢圓的兩焦點為F1、F2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點，
則?ABF2的周長為________（答：6）；（2）設P是等軸雙曲線x2F1、F2是左右焦點，若PF2?F1F2?0，?y2?a2(a?0)右支上一點，
x2y2→→
1的焦點為F1、|PF1|=6，則該雙曲線的方程為x?y?4）；（3）橢圓F2，點P為橢圓上的動點，當PF 2PF 94
2
2
2
1
<0時，點P的橫坐標的取值范圍是
（答：(6）；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝2
，F(xiàn)1、F2是它
的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且
AB是AF2
與
BF2
等差中項，則
；AB＝__________
（答：（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且?F1PF2
60?，S?PF1F2?．求該雙曲線的標準方
x2y2
1）程（答：； 412
9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A1，B1，若P為A1B1的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。
10、弦長公式：若直線
y?kx?b與圓錐曲線相交于兩點A、B，且x1,x2分別為A、B的橫坐標，則AB
＝
1?x2y1?y2
，
若
B的縱坐標，則ABy1,y2分別為A、
1
y1?y22k
，若弦AB所在直線方程設為x?ky?b，則AB
。
特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）過拋物線
； y2?2x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ΔABC重心的橫坐標為_______（答：3）
x2y2
11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓2?2?1中，以P(x0,y0)為中點
ab
的弦所在直線的斜率
b2x0
k=－2
ay0
x2y2
；在雙曲線2?2?1中，以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率
ab
b2x0k=2
ay0
；在拋物線
y?2px(p?0)中，以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=
2
py0
x2y2
1弦被點A（4，2）平分，那么。如（1）如果橢圓
369
x2y2
這條弦所在的直線方程是 （答：x?2y?8?0）；（2）已知直線y=－x+1與橢圓2?2?1(a?b?0)相交于A、B兩點，
ab
且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______
2x2y2
）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓??1
43
上有不同的兩點關于直線
特別提醒：因為?
； y?4
x?m對稱（答：??）
0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗??0！
12．你了解下列結論嗎？
2222
yyxx（1）雙曲線?2?1的漸近線方程為2?2?0； 2
abab
⑤參數(shù)法：當動點P(x,y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x,y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點P，使|OP|?|MN|，求點P的軌跡。（答：x的軌跡方程是____（答：
2
y2?a|y|）；（2）若點P(x1,y1)在圓x2?y2?1上運動，則點Q(x1y1,x1?y1)
1
y2?2x?1(|x|?)）；（3）過拋物線x2?4y的焦點F作直線l交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M
2
2
的軌跡方程是________（答：x?2y?2）；
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。如已知橢圓
x2y2
2?1(a?b?0)的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），2ab
Q是橢圓外的動點，滿足
|F1|?2a.點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且?TF2?0,|TF2|?0.（1）設x
為點P的橫坐標，證明
2
滿足
|F1|?a?
c
x；（2）求a
點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=b.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存
b2b2
a時不存在；當?a時存在，此時∠F1MF2＝2） 在，請說明理由. （答：（1）略；（2）x?y?a；（3）當cc
2
2
2
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
③在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數(shù)形結合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.
④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉化. 14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1） 給出直線的方向向量u（2）給出?與
1,k?或u??m,n?；
AB
的中點;
AB相交,等于已知?過
的中點;
（3）給出??0,等于已知P是MN
（4）給出?
,等于已知P,Q與AB的中點三點共線;
實數(shù)
//；②存在
,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三點共線.
（5） 給出以下情形之一：①（6） 給出??
,使??；③若存在實數(shù)
，等于已知P是的定比分點，?為定比，即??
1??
MB
,即?AMB是直角,給出??
（7） 給出??0,等于已知MAm?0,等于已知?AMB
是鈍角, 給出
MA?MB?m?0,等于已知?AMB
是銳角,
（8）給出???MP,等于已知MP
（9）在平行四邊形
是?AMB的平分線/
ABCD中，給出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;
（10） 在平行四邊形ABCD中，給出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;
（11）在?ABC中，給出OA三邊垂直平分線的交點）；
2
OB?OC
22
，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形
（12） 在?ABC中，給出OA?OB?OC； ?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）
（13）在?ABC中，給出OA?OB?OB?OC點）；
OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交
ABAC??????)(??R?)等于已知AP通過?ABC的內(nèi)心； （14）在?ABC中，給出OP?OA??(???
|AB||AC|
（15）在?ABC中，給出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；
1????????
AB?AC（16） 在?ABC中，給出AD?2
,等于已知AD是?ABC中BC邊的中線;
求解圓錐曲線問題的幾種措施
圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎知識、采用多種數(shù)學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。 一. 緊扣定義，靈活解題
靈活運用定義，方法往往直接又明了。
y2
1，P為雙曲線上一點。 例1. 已知點A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線x?3
1
求|PA|?|PF|的最小值。
2
2
解析：如圖所示，
雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點，由第二定律知
1
|PF|即點P到準線距離。 2
|PA|? ?
15
|PF|?|PA|?|PE|?AM? 22
二. 引入?yún)?shù)，簡捷明快
參數(shù)的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。 例2. 求共焦點F、共準線l的橢圓短軸端點的軌跡方程。
解：取如圖所示的坐標系，設點F到準線l的距離為p（定值），橢圓中心坐標為M（t，0）（t為參數(shù)）
b
，而c?t c2
b?pc?pt
2
p?
再設橢圓短軸端點坐標為P（x，y），則
x?c?t
y?b?pt
2
消去t，得軌跡方程y?px
三. 數(shù)形結合，直觀顯示
將“數(shù)”與“形”兩者結合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結合使用，能使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。 例3. 已知x,y
R，且滿足方程x2?y2?3(y?0)，又m?
y?3
，求m范圍。 x?3
解析：?m?
y?322
的幾何意義為，曲線x?y?3(y?0)上的點與點（－3，－3）連線的斜率，如圖所示 x?3
kPA?m?kPB
3?33??m? 22
四. 應用平幾，一目了然
用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質就和“平幾”知識相關聯(lián)，要抓住關鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。
OQ|的值為________。 ?y2?4和直線y?mx的交點為P、Q，則|OP||
解：??OMP~?OQN
OQ|?|OM||?ON|?5 |OP||
例4. 已知圓(x?3)
五. 應用平面向量，簡化解題
向量的坐標形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。
2
xyx2y2
1，直線l：??1，P例5. 已知橢圓：
1282416
|OQ||?OP|?|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程。
是l上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足
解：如圖，OQ，OR，OP?
OP?(?x，?
y)
分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。
共線，設OR??OQ???
，OP??OQ，OQ?(x，y)?
，則OR?(?x，?y)
，
2|OQ||?OP|?|OR| ?
2?2
2
|OQ|??|OQ|
2
點R在橢圓上，P點在直線l上 ?
2x2
24
2y2
16
1，
x
12
y
8
1
x2y2xy??? 即
2416128
化簡整理得點Q的軌跡方程為：
2(x?1)2(y?1)2
1（直線y??x上方部分） 323
六. 應用曲線系，事半功倍
利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。 例6. 求經(jīng)過兩圓x
2
y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交點，且圓心在直線x?y?4?0上的圓的方程。
解：設所求圓的方程為：
x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0
22
(1??)x?(1??)y?6x?6?y?(28??4)?0
3?3?
，)，在直線x?y?4?0上 則圓心為(
1??1??
解得???7
22
故所求的方程為x?y?x?7y?32?0
七. 巧用點差，簡捷易行
在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。
y2
1相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。 例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線x?2
解：設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則
2
2y12x??1??12?2
x2?y2?12?2?
(x2?x1)(x1?x2)?
1?
2?
<2>－<1>得
(y2?y1)(y1?y2)
2
y2?y12(x1?x2) 即 ?
x2?x1y1?y2
設P1P2的中點為M(x0，y0)，則
y2?y12x0
kPP? ?12
x2?x1y0y0?1
又kAM?，而P1、A、M、P2共線
x0?2
y0?12x0
kPP?kAM，即 ?12
x0?2y0
P1P2中點M的軌跡方程是2x
2
y2?4x?y?0
解析幾何題怎么解
高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊
扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,這點值得考生在復課時強化.
例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形AA?B?B，使
AA?垂直且等于
BB?垂直且等于BT，A?B?交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.
(1)寫出直線A?B?的方程； （2）計算出點P、Q的坐標；
AT，使
（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q. 講解: 通過讀圖, 看出A,B點的坐標. (1 ) 顯然A
'
‘
于是 直線A?B? ?1,1?t?, B??1，1?t?，
'
'
的方程為y??tx?1；
x2?y2?1,2t1?t2
,)； （2）由方程組?解出P(0,1)、Q(22
1?t1?t?y??tx?1,
1?01
, kQT
0?tt
1?t2
021?t21. ???22tt(1?t)?t
1?t2
（3）kPT?
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q.
需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?
x2y2
例2 已知直線l與橢圓2?2?1(a?b?0)有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩
ab
2r11?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c24a2?4c24a2?4c2
cos?F1PF2????1??1?1?2e?0，
r?r2r1r22r1r22r1r2
2(12)2
2
解出 e?
2 .2
（2）考慮直線l的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當k存在時，設l的方程為
y?k(x?c)??????①
x2y22 得 a2?2c2,b2?c2. 橢圓方程為 由??1,A(x,y),B(x,y)e?.1122a2b22
于是橢圓方程可轉化為 將①代入②，消去
x2?2y2?2c2?0??????②
y得 x2?2k2(x?c)2?2c2?0,
整理為x的一元二次方程，得 (1?2k2)x2?4ck2x?2c2(k2?1)?0.
22c?k2，22c(1?k2)， 2
|AB|??k|x2?x1|?
1?2k21?22
也可這樣求解：
AB邊上的高h?|FF|sin?BFF?2c?|k|,
1212
1?k2
S?|F1F2|?|y1?y2|
2
11?k2|k|S?22c()2c 2
21?2k?k2 ?c?|k|?|x1?x2|
則x1、x2是上述方程的兩根．且|x2?x1|? ?2
.2
ii) 當k不存在時，把直線x??c代入橢圓方程得y??
c,|AB|?,S?2 2由①②知S的最大值為
2c2 由題意得2c2=12 所以c2?62?b2 a2?2
x212?y262
1.
故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣： 設過左焦點的直線方程為：x
my?c????①
（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）
22
橢圓的方程為：x?y?1,A(x1,y1),B(x2,y2)
22
ab
由e?
2得：2
a?2c2,b2?c2,于是橢圓方程可化為：x2?2y2?2c2?0??② .
2
把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的兩根.
|AB|??y2?y1|?
AB邊上的高h?
m
2
4m2c2?4c2(m2?2)
m2?222c(1?m2), ?
m2?2
2c?m
2
,
13
2
1?m22從而S?1|AB|h?1?22c(1?m)?2c?22c2
22m2?2(m?2)2?2c?m2
1
m2?1?
1
2m?1
2
2c2.
當且僅當m=0取等號，即Smax
2c2.
由題意知2c2?12, 于是 b2?c2?62,a2?2. 故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：
x22
y262
1.
x2y2
例5 已知直線y??x?1與橢圓2?2?1(a?b?0)相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l:x?2y?0上（１）.
ab
求此橢圓的離心率；
（2 ）若橢圓的右焦點關于直線l的對稱點的在圓x
2
y2?4上，求此橢圓的方程.
y??x?1，
講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2).則由?x2 得 y2
2?2?1
b?a(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0,
根據(jù)韋達定理，得
2a22b2
x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2,
a?b2a?b2
）.
a2b2
∴線段AB的中點坐標為（2,2
2
a?ba?b2
2a22b2222222
由已知得2，故橢圓的離心率為e???0,?a?2b?2(a?c)?a?2c
2a?b2a2?b2
（2）由（1）知
.
b?c,
從而橢圓的右焦點坐標為
F(b,0),
設
F(b,0)
關于直線
l:x?2y?0
的對稱點為
(x0,y0),則
y0?01x?by34
1且0?2?0?0,解得 x0?b且y0?b
55x0?b222
2
由已知得
3242x2y22
x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的橢圓方程為??1 .
5584
2
例6 已知⊙M：x
2
(y?2)2?1,Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于
A，B
兩點，
（1）如果|
AB|?
423
，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.
14
講解:（1）由|
AB|?
423
，可得
|MP|?MA|2?(
中，
|AB|22221
)?2?()?,由射影定理，得 |MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在233
Rt△MOQ
|OQ|?MQ|2?|MO|2?32?22?，故a?5或a??，
所以直線AB方程是2x?
y?25?0或2x?y?25?0;
2y?2
,(*) ?ax
（2）連接MB，MQ，設P(x,y),Q(a,0),由點M，P，Q在一直線上，得
2
由射影定理得|MB|
|MP|?|MQ|,即x2?(y?2)2?a2?4?1,(**)
71
y?2，可得x2?(y?)2?(y?2).
416
把（*）及（**）消去a，并注意到
適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變. （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線E的方程；
2
2
。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設
DM
，試確定實數(shù)?的取值范圍． DN
講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |
y=
22
22?()2?22∴動點22
x2
y2?1 . 2
P
的軌跡是橢圓∵a?b?1,c?1∴曲
線E的
方程是
（2）設直線L的方程為
y?kx?2, 代入曲線
E的方程
x2?2y2?2，得
(2k2?1)x2?8kx?6?0設M1（x1,y1),
(8k)2?4(2k?1)?6?0,?
8k?
, ?x1?x2??2
2k?1?
6?
xx?.12?2k2?1?
i) L與y軸重合時，?15
N(x2,y2), 則
①
② ③
|DM|1
|DN|3
ii) L與y軸不重合時， 由①得
x3DMxD?xM
k2?. 又∵????1
2DNxD?xNx2
,
∵x2?x1?0, 或 x2?x1?0,∴0＜?＜1 ,
(x?x2)2(x1?x2)2x1x264k2321
∴ ?????2????2∵2
1x1?x26(2k?1)x1?x2x2x1?3(2?2)k
而k
2
31
, ∴6?3(2?2)?8.∴ 4?2k
323(2?
1
)k2
16116, ∴ 4????2?,
33
0???1,?
110?1
2????,????2,
3??
110????,??3?
1?1?
1.∴?的取值范圍是?,1? . 3?3?
值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕. 例8 直線l過拋物線 （1）求證：4x1x2
y2?2px(p?0)的焦點，且與拋物線相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點.
p2;（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.
2
講解: （1）易求得拋物線的焦點F(P,0). 若l⊥x軸，則l的方程為x?P,顯然xx?P.若l不垂直于x軸，可設y?k(x?P),代入
12
2242
22
拋物線方程整理得x2?P(1?2P)x?P?0,則xx?P. 綜上可知
122
k44
4x1x2?p2.
2
2p
4p
2222
（2）設C(c,c),D(d,d)且c?d，則CD的垂直平分線l?的方程為y?c?d??c?d(x?c?d)
2p2p
假設l?過F，則0?c?d??c?d(p?c?d)整理得 (c?d)(2p2?c2?d2)?0 ?p?0
22
22p24p
2
2p2?c2?d2?0，?c?d?0. 這時l?的方程為y=0，從而l?與拋物線y?2px只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交
點，因此l?與l不重合，l不是CD的垂直平分線. 本！
例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點，設這樣的點PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？ 為M，則|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
22xy?|AB|?,∴M在雙曲線2?2?1的右支上. 2525?6
此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課
故曲線右側的土石層經(jīng)道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經(jīng)道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.
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