如何借助幾何直觀將復(fù)雜的數(shù)學問題變得簡單，明了？

說起來很輕松，這其實是個大問題。從數(shù)學教育的角度來看，它實際是數(shù)學教育所要形成的核心素養(yǎng)之一：直觀想象。

直觀想象主要指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題。主要包括利用圖形描述數(shù)學問題,啟迪解決問題的思路,建立形與數(shù)的聯(lián)系,加深對事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律的理解和認知。

直觀想象，在實際教學中，通常表現(xiàn)為以下四個方面的能力：

• 利用圖形描述數(shù)學問題
  

• 利用圖形理解數(shù)學問題?
  
• 利用圖形探索和解決數(shù)學問題
  
• 構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型

要想借助幾何直觀將復(fù)雜的數(shù)學問題變得簡單，明了，必須具備以上這四方面的能力。

一。利用圖形描述數(shù)學問題

有時候，一些數(shù)學問題（特別是應(yīng)用型問題）是用文字進行描述的，就需要把文字轉(zhuǎn)化為圖形（畫圖）。將問題通過幾何直觀描述出來，加深對問題的理解，獲得解決思路。

我們看一個簡單的例子。

快遞小哥從公司出發(fā)，先向西騎行5km到達A地，繼續(xù)向西騎行3km到達B地，然后又向東騎行10km到達C地，然后回到公司。問A，B，C三地各相距多遠？快遞小哥騎行的距離是多少？

通過分析題意，發(fā)現(xiàn)用數(shù)軸模型來直觀描述題意是個好想法（如下圖1）。

圖1

將問題用數(shù)軸描述，即以向東方向為正方向，以公司為原點O，建立數(shù)軸。則按題意獲得A，B，C三點的坐標點，從而求三點之間距離，騎行距離就是求三條線段OB,BC,OC之和。

二。利用圖形理解數(shù)學問題

利用幾何圖形，理解解釋數(shù)學問題，通常獲得數(shù)學問題的幾何意義。

比如，初中所學完全平方公式（a+b）^2=a^2+b^2+2ab，作為初中代數(shù)中的重要公式，其幾何含義是什么？就可以用下列圖形解釋：邊長為a+b的正方形，用兩條互相垂直的直線分割為四部分：邊長分別為a，b的正方形各1個和2個長寬分別為a，b的矩形（如下圖2）。根據(jù)其分割前后的面積相等，即得（a+b）^2=a^2+b^2+2ab。

利用幾何圖形對代數(shù)公式作出解釋是初中數(shù)學中常用的方法。

三。利用圖形探索和解決數(shù)學問題

用圖形探索數(shù)學問題的數(shù)量關(guān)系，空間關(guān)系及其變化規(guī)律，是獲得問題解決的常用手段，并且解決問題的過程直觀明了，有時甚至是出奇制勝。請看下圖3：

圖3

我相信很多人明白下圖所表達的含義：用兩個（綠色，紅色）正方形可以拼成一個大正方形，

用字母表示就是：a^2+b^2=c^2，其中a，b，c分別是三個正方形的邊長，同時也是直角三角形的三邊。這個圖叫“青朱出入圖”，魏晉時期劉徽發(fā)明的，它是勾股定理的無字證明。

四。構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型

直觀想象，直觀是基礎(chǔ)，想象是延伸。它是一種思維形式，更是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的常用手段。通過直觀想象探尋解決思路，進行數(shù)學推理，構(gòu)建數(shù)學模型，可以把看似毫無關(guān)聯(lián)的事物聯(lián)系起來。

比如這樣一個數(shù)學問題：任意說出三個正數(shù)，以這三個數(shù)為邊長構(gòu)成三角形的概率是多少?該三角形是鈍角三角形的概率有多大？

這個問題好像沒辦法直接去求，但我們可以通過一系列的分析，借助幾何直觀，建立數(shù)學模型，直接計算，并設(shè)計數(shù)學試驗來驗證。

一般人都知道以下兩個數(shù)學事實：

• 事實1 不是任意長度的三條線段就可以構(gòu)成三角形的；
  

• 事實2 不是任意三角形都是鈍角三角形的；

這兩個事實說明，無論是構(gòu)成三角形，還是構(gòu)成的三角形是鈍角三角形，都是要有條件的。要解決這個問題就必須先要弄清楚這些條件，這些條件是什么呢？

以下兩個條件，一般初中生都知道：

設(shè)任意三個正數(shù)為a，b，c，且a≤b≤c，則以這三個數(shù)為邊長能夠構(gòu)成鈍角三角形的條件是

• 條件1 a+b>c（構(gòu)成三角形）

• 條件2 a^2+b^2<c^2（構(gòu)成的三角形是鈍角三角形）
  

這兩個條件必須同時滿足，缺一不可！

進一步分析知道，這兩個條件等價于：a/c+b/c>1且（a/c）^2+（b/c）^2<1，

設(shè)x=a/c，y=b/c，這進一步簡化為x+y>1且x^2+y^2<1，此處0<x≤1,0<y≤1。

而x+y>1且x^2+y^2<1，給我們的直觀想象是什么？

如果你不能想象的話，就想象一下x+y=1且x^2+y^2=1表示的圖形（象）吧。

直線和圓唄！

因而x+y>1表示直線x+y=1的上方，x^2+y^2<1表示圓x^2+y^2=1的內(nèi)部，而0<x≤1,0<y≤1表示一個正方形的內(nèi)部。這樣正方形的一條對角線將正方形等分，如下圖4，其右上區(qū)域，表示滿足條件1，弓形區(qū)域表示條件1和條件2同時滿足。

因而建立計算模型：

所求概率=相應(yīng)區(qū)域與單位正方形的面積之比。

因為單位正方形的面積=1,

計算模型簡化為：

所求概率=相應(yīng)區(qū)域的面積。

因此，以任意三個正數(shù)為邊長，構(gòu)成三角形的概率=0.5，構(gòu)成鈍角三角形的概率

=(π-2)/4≈0.285。

圖4

設(shè)計數(shù)學試驗進行驗證：

a，b，c是隨機正數(shù)，則x，y就是0~1之間隨機數(shù)，因而點（x，y）就是單位正方形內(nèi)隨機點，當隨機點落在正方形右上區(qū)域時，滿足條件1，可以構(gòu)成三角形；當這些隨機點，落在弓形區(qū)域內(nèi)時，同時滿足條件1，2,可以構(gòu)成鈍角三角形。下圖是按照此原理設(shè)計的數(shù)學試驗?zāi)Ｐ?，可以來驗證計算結(jié)果，甚至可以利用此模型來測量圓周率PI的值。這種測量圓周率PI的方法，在數(shù)學上叫做蒙的卡羅方法。

需要說明的是這個試驗，可以用擲骰子來替代隨機點。因而看似風馬牛不相及的兩件事：構(gòu)成三角形的概率與擲骰子，通過直觀想象建立適當?shù)膸缀文Ｐ吐?lián)系在一起獲得解決。

結(jié)語

數(shù)學中形與數(shù)之間的聯(lián)系具有高度的抽象性，通過幾何直觀，數(shù)形結(jié)合，將復(fù)雜的數(shù)學問題變得簡單，明了，不僅是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一：直觀想象在解決數(shù)學問題中體現(xiàn)，更是其他五個核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學建模，數(shù)學運算，數(shù)據(jù)分析的綜合作用，所以將數(shù)學六大核心素養(yǎng)落實于數(shù)學教學中，以數(shù)學問題為載體，關(guān)鍵還是在培養(yǎng)學生的思維能力、綜合分析問題和解決問題能力。