一、 數(shù)感：
《標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！蔽覀儚囊韵聨讉€(gè)方面體會(huì)如何幫助學(xué)生建立和形成“數(shù)感”。
數(shù)感和其他核心概念一樣，也是通過(guò)學(xué)習(xí)一系列數(shù)學(xué)的內(nèi)容逐步實(shí)現(xiàn)的，這里我們選擇“數(shù)與數(shù)量”最基本的概念“單位”，通過(guò)對(duì)“單位”的分析，討論“數(shù)感”與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。體會(huì)如何在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容過(guò)程中認(rèn)識(shí)、發(fā)展“數(shù)感”。
首先，“單位”是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要數(shù)學(xué)概念，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要作用，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思考、解決實(shí)際問(wèn)題中，也發(fā)揮重要作用?！皵?shù)”和“量”是不可分割的兩個(gè)基本數(shù)學(xué)概念，在小學(xué)階段我們總是通稱為“數(shù)量”。理解一些蘋(píng)果、一些桌子、一些人等的數(shù)量時(shí)，我們需要引入數(shù)字符號(hào)：l，2，3，……，其中“1”是最重要的，它是數(shù)的基本單位，數(shù)數(shù)就是從“1”開(kāi)始的，接著我們又接收一些新的單位：“10”(十)、“l(fā)00”(百)、“l(fā)000”(千)、“l(fā)0000”(萬(wàn))，等等，對(duì)這些單位認(rèn)識(shí)是認(rèn)識(shí)數(shù)量多少的基礎(chǔ)，這種感覺(jué)也是“數(shù)感”的基礎(chǔ)。在實(shí)際情境中，經(jīng)常需要度量一些量，對(duì)單位的感覺(jué)就變得更加重要了，例如，度量桌子的長(zhǎng)度，度量北京到上海的距離，度量地球到太陽(yáng)的距離，這些量雖然都是長(zhǎng)度，但是“數(shù)量“的含義完全不同，選擇合適的單位無(wú)疑是最重要的，度量桌子一定不會(huì)選擇千米，一般會(huì)選擇厘米，度量北京到上海的距離，一定不會(huì)選擇厘米或米為單位，選擇千米是比較合適的。在具體的情境中，選擇適當(dāng)?shù)膯挝慌c對(duì)數(shù)量的感覺(jué)密不可分，也是需要積累的經(jīng)驗(yàn)。這樣的實(shí)例在日常生活中是經(jīng)?？梢?jiàn)的。引入新的單位也與數(shù)量聯(lián)系密切，例如，“弧度”引入是對(duì)“角大小認(rèn)識(shí)”的一次飛躍。
在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)“數(shù)量級(jí)”的認(rèn)識(shí)，這是依托“單位”概念建立“數(shù)感”的另一個(gè)載體，在義務(wù)教育階段，不僅需要從數(shù)學(xué)上對(duì)“整數(shù)——大的”有認(rèn)識(shí)和理解，例如，“個(gè)、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)”等“單位”，也需要對(duì)“小數(shù)——小的”有理解和認(rèn)識(shí)，還需要結(jié)合實(shí)際建立“數(shù)量級(jí)”觀念，例如，超級(jí)城市的人口是以“千萬(wàn)”為單位的，大城市是以“百萬(wàn)”為單位，中等城市是以“十萬(wàn)”為單位，等等，有了這樣一些觀念，對(duì)于討論人口問(wèn)題會(huì)有很大幫助。對(duì)每一個(gè)量都存在這樣問(wèn)題，再例如，長(zhǎng)度，桌子長(zhǎng)度，家離學(xué)校的距離(長(zhǎng)度)，北京到上海的距離(長(zhǎng)度)，地球到太陽(yáng)的距離(長(zhǎng)度)，這些量都是長(zhǎng)度，這些都存在“選擇單位”和“建立數(shù)量級(jí)”的問(wèn)題，這些也是建立“數(shù)感”的載體，在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中，“數(shù)感”會(huì)發(fā)揮重要作用。在高中和大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在函數(shù)中研究“變化”和“變化趨勢(shì)”成為函數(shù)的重要內(nèi)容，如“對(duì)數(shù)函數(shù)變化”，“整數(shù)冪函數(shù)變化”，“指數(shù)函數(shù)變化”，等等；在極限理論中“無(wú)窮大的級(jí)別”“無(wú)窮小的級(jí)別”是“極限理論”的主要內(nèi)容，這些都將成為“數(shù)感”——“數(shù)量級(jí)”認(rèn)識(shí)的新載體。
隨著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容不斷增加，對(duì)“單位”作用的認(rèn)識(shí)也在不斷拓展，在“運(yùn)算”過(guò)程中，在處理“數(shù)量關(guān)系”過(guò)程中，使我們對(duì)“單位”的認(rèn)識(shí)不斷深入，再舉一個(gè)例子，“數(shù)軸”是建立“數(shù)感”的另一個(gè)載體，直線稱為“數(shù)軸”有三要素：原點(diǎn)、方向、單位。其中單位是非常重要的，在建立直角坐標(biāo)系時(shí)也是一樣的。在“向量”學(xué)習(xí)中，“基”的概念是最重要的概念，“基”的概念是“單位”概念的重要推廣，在整個(gè)數(shù)學(xué)中也是最重要概念之一。
由于篇幅關(guān)系，在這里我們僅舉一個(gè)與“數(shù)感”有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，希望教師在教學(xué)中進(jìn)一步思考“數(shù)感”與數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。
在前面分析中，一方面，可以體會(huì)到“數(shù)感”形成的過(guò)程離不開(kāi)“抽象、推理和模型”，離不開(kāi)這些數(shù)學(xué)基本思想；另一方面，“數(shù)感”形成的過(guò)程，離不開(kāi)實(shí)踐——離不開(kāi)親自去做，去經(jīng)歷、體會(huì)、感悟、積累，積淀成為認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。
希望教師抓住三個(gè)方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等，這主要是基于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的范圍并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際作出的要求，有利于教師在教學(xué)中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線，有利于教師把數(shù)感的培養(yǎng)納入到教學(xué)目標(biāo)。
希望教師開(kāi)發(fā)出一些好的具體事例，讓學(xué)生更具體體會(huì)和建立“數(shù)感”。例如，教師在教學(xué)指數(shù)冪的意義時(shí)，提出一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題：將一張紙對(duì)折32次，它的厚度有多大呢?教師給出的結(jié)論使學(xué)生在感到驚訝之余，更表示出強(qiáng)烈的質(zhì)疑。該問(wèn)題的結(jié)論是：其厚度可以超過(guò)世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。毫無(wú)疑問(wèn)，這樣的問(wèn)題會(huì)像磁石一樣，緊緊吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生一種“不見(jiàn)結(jié)果不信服”的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。
現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，與學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)密切相連，不僅能夠?yàn)閷W(xué)生提供真實(shí)自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)的認(rèn)知上經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的思維。反之，學(xué)生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)學(xué)的眼光看周圍世界，正如《標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》所說(shuō)：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！?div style="height:15px;">
建立“數(shù)感”需要重視過(guò)程，應(yīng)結(jié)合每一學(xué)段的具體數(shù)學(xué)內(nèi)容與教學(xué)實(shí)際，逐步提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。比如在第二學(xué)段應(yīng)結(jié)合學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實(shí)素材感受大數(shù)的意義，并能對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行估算；能了解負(fù)數(shù)的意義，用負(fù)數(shù)表示日常生活的問(wèn)題，建立起對(duì)負(fù)數(shù)的數(shù)感。在第三學(xué)段，隨著對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的擴(kuò)大以及數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，可以引導(dǎo)學(xué)生在較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。
1．?dāng)?shù)感
1、理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋。
數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟。“‘感’是外界刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過(guò)肢體（如感官等）而不是通過(guò)大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)性的成分?！颉侵黧w自身的，是通過(guò)大腦思維而產(chǎn)生的?！形颉羌韧ㄟ^(guò)肢體又通過(guò)大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分?！?div style="height:15px;">
學(xué)生基于實(shí)際操作（將紙對(duì)折若干次）所建立起來(lái)的對(duì)2的27次方的直觀感覺(jué)與數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算得出的結(jié)果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設(shè)出一個(gè)生動(dòng)的極富吸引力的學(xué)習(xí)環(huán)境。這一實(shí)例說(shuō)明，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，其固有的數(shù)感是在起作用的。
《標(biāo)準(zhǔn)》將這種對(duì)數(shù)的感悟歸納為三個(gè)方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢？
數(shù)學(xué)本身是抽象的，但數(shù)學(xué)所反映的內(nèi)容又是非?，F(xiàn)實(shí)的。理解數(shù)的標(biāo)志是能把這些數(shù)的概念與它們所表示的實(shí)際意義建立聯(lián)系，即把數(shù)的概念運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)的生活情景中。因此我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)時(shí)應(yīng)該把數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系起來(lái)，在現(xiàn)實(shí)生活中理解數(shù)，運(yùn)用數(shù)。
如:在一節(jié)一年級(jí)數(shù)學(xué)課上，老師在教學(xué)“0”的認(rèn)識(shí)。老師讓學(xué)生在身邊找一找“0”在哪里。適時(shí)出示溫度計(jì)，演示學(xué)生認(rèn)知溫度計(jì)上“0”表示溫度分界點(diǎn)。
在現(xiàn)實(shí)的生活中，學(xué)生切實(shí)感受到“0”的存在，并結(jié)合具體事物和事實(shí)理解了“0”的含義。在教學(xué)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)時(shí)，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生走出課堂，來(lái)到超市商場(chǎng)，了解電器的各類價(jià)錢(qián)，然后回到課堂進(jìn)行交流，這樣對(duì)于數(shù)逐步有了感性的認(rèn)識(shí)。為了使學(xué)生體會(huì)到萬(wàn)究竟有多大，通過(guò)多媒體讓學(xué)生觀看國(guó)慶閱兵儀式，感受一下人多的氣氛，然后說(shuō)明天安門(mén)廣場(chǎng)拼圖方陣有大約一萬(wàn)名學(xué)生。再算一算，我們學(xué)校有30個(gè)班，每班平均40人，大約要有多少個(gè)學(xué)校的人數(shù)才能坐滿。通過(guò)這樣看一看、算一算、比一比，使學(xué)生感受到一萬(wàn)是個(gè)大數(shù)目。
再比如在教學(xué)面積時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生對(duì)面積大小的感知，讓學(xué)生建立直觀的表象，有了面積的大小“感覺(jué)”，可以使學(xué)生終生受益。
脫離情境的數(shù)的比較是枯燥無(wú)味的。因此在教學(xué)中我常常通過(guò)饒有趣味的游戲，將數(shù)的比較融于具體生活情境中，比一比，猜一猜、擺一擺，讓學(xué)生在樂(lè)中學(xué)習(xí)。在探索知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、抽象、概括、猜測(cè)、嘗試、合作、實(shí)踐、創(chuàng)新等能力。比如教學(xué)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的大小比較，1000大還是??？
數(shù)、符號(hào)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要語(yǔ)言。如果我們用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)和交流信息，并把它作為解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，我們就能從中感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值。比如一個(gè)郵政編碼就可以了解到具體的什么地方，電話號(hào)碼、身份證號(hào)碼等，一個(gè)號(hào)碼隱藏了許多的信息，因此要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息。在教學(xué)“數(shù)字編碼”時(shí)，我事先布置學(xué)生收集幾個(gè)家人的身份證號(hào)碼，在觀察和比較中發(fā)現(xiàn)不同數(shù)字所代表的地域、年齡、性別等信息，然后出示一個(gè)身份證號(hào)，引發(fā)學(xué)生主人的相關(guān)信息的分析。最后，給出一個(gè)新生寶寶的出生地、出生日期和性別，請(qǐng)他們?yōu)閷殞殧M編一個(gè)身份證號(hào)碼。結(jié)果學(xué)生不僅學(xué)的有興趣，而且真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。
再如，一位老師設(shè)計(jì)結(jié)合火車票上的車次號(hào)設(shè)計(jì)了如下練習(xí)：車次號(hào)有兩個(gè)含義，一是數(shù)字越小表示車速越快，1~98次為特快車，101~198次為直快車，301~398次為普快車，401~598次為普客車；二是單數(shù)表示從北京開(kāi)出，雙數(shù)表示開(kāi)往北京，現(xiàn)在有一張車票的車次號(hào)為122，它能給你什么信息？這樣與生活密切相關(guān)的問(wèn)題更是能讓學(xué)生感到，建立良好的數(shù)感，對(duì)數(shù)字信息作出合理解釋與推斷是如此重要。
現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，與學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)密切相連，不僅能夠?yàn)閷W(xué)生提供真實(shí)自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)的認(rèn)知上經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的思維。反之，學(xué)生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周圍世界，正如《標(biāo)準(zhǔn)》所說(shuō)：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系?！?div style="height:15px;">
