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第34期三角形內(nèi)角平分線與外角平分線相交
角形中,角的數(shù)量關(guān)系一般考慮內(nèi)角和定理,在加上角平分線之后,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多有意思的數(shù)量關(guān)系,讓我們一起去探索吧。
知識(shí)準(zhǔn)備
(1)三角形的內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和為180°。如圖,△ABC中,∠A ∠B ∠C=180°.
(2)三角形的外角的性質(zhì):三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
如圖,∠ 1是△ABC的一個(gè)外角,則∠ 1=∠ A ∠B
(3)鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直,如圖,OE與OF分別是一組鄰補(bǔ)角∠AOC與∠BOC的平分線,則OE⊥OF.
1
兩內(nèi)角平分線相交
例1
如圖,△ ABC中,∠A=80°,∠ABC與∠ ACB的平分線交于O,求∠ BOC的度數(shù).
解析:
想求∠ BOC的度數(shù),考慮使用三角形內(nèi)角和定理,如圖
則只需要求出∠1 ∠2的度數(shù)。
∵OB平分∠ABC,OC平分∠ ACB
∴∠1=1/2∠ ABC,∠2=1/2∠ ACB
∠1 ∠2=1/2(∠ ABC ∠  ACB)
=1/2(180°-∠A),
在△ BOC中,
∠ BOC=180°-(∠1 ∠2)
=180°-[1/2(180°-∠A)]
=90° 1/2∠A
這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意的∠ A都成立,所以此時(shí)∠ BOC=90° 1/2*80°=130°.
這里,我們得出了一個(gè)三角形中,兩內(nèi)角平分線所成的角與另一個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系:
2
一內(nèi)角平分線與一外角平分線相交
例2
如圖,△ABC 的一個(gè)內(nèi)角的平分線PB與一個(gè)外角的的平分線PC交于P,已知,∠ A=60°,求∠P的度數(shù).

解析:
此題很多書(shū)上都介紹了一種證明方法,就是直接利用三角形外角之間的關(guān)系進(jìn)行代換,這里我們介紹另一種辦法,在例1的基礎(chǔ)上,我們已經(jīng)知道了兩內(nèi)角平分線所成的角與另一個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系,
作∠ ACB的平分線與PC交于O,則∠ BOC=90° 1/2∠A,此時(shí)∠ BOC也是△PCO的一個(gè)外角,∠ BOC=∠PCO ∠P,根據(jù)知識(shí)準(zhǔn)備3,∠PCO=90°,則
∠ BOC=90° ∠P,而∠ BOC=90° 1/2∠A,所以∠P=1/2∠A.則∠P=1/2×60°=30°.
這里,巧妙借助第一種情況的結(jié)論,利用三角形外角的性質(zhì)得到了三角形一個(gè)外角的平分線與一個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的角與三角形另一個(gè)角的數(shù)量關(guān)系
3
兩外角平分線相交
例3
△ABC的兩外角∠ CBD與∠ BCE的平分線交于點(diǎn)P,求∠ P與∠A的數(shù)量關(guān)系.
解析:
能否再次借助例1所得的數(shù)量關(guān)系呢?不妨作出∠ABC與∠ACB的平分線,交于O,
則由例1可得∠ BOC=90° 1/2∠A,由知識(shí)準(zhǔn)備3,∠ OBP=∠OCP=90°,在四邊形OBPC中,由內(nèi)角和定理,可得∠P ∠OBP ∠OCP ∠BOC=360°,∠P=90°-1/2∠A.
這里,我們得出了一個(gè)三角形中,兩外角平分線所成的角與另一個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系:
中考直擊
(2013 四川達(dá)州) 
如圖,在△ ABC中,∠ A=m°,∠ ABC與∠ ACD的平分線交于點(diǎn)A1,得∠A1;∠ A1BC與∠ A1CD的平分線交于A2,得∠ A2,……,∠ A2012BC和∠ A2012CD交于點(diǎn)A2013,則∠A2013=________.

后記:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,嘗試從不同的角度去思考同一個(gè)題目,往往會(huì)出現(xiàn)一題多解,而從同一個(gè)角度去解決相關(guān)的題目,體現(xiàn)多題一解的思想。個(gè)人認(rèn)為多題一解比一題多解更好,體現(xiàn)了化歸的思想,把不同的但有些相關(guān)的題目尋求同一種或者類似的方法去解決。學(xué)習(xí)中我們要有意識(shí)地這樣去思考。


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