[摘 要] 初三后期的復習課時間緊任務重，本文從分析2015年浦東新區(qū)一模卷第25題的部分課堂實錄出發(fā)，淺談如何進行一題多解和一題多變，從中探討應用模型教學和題組教學，逐漸挖掘解題教學中的育人價值.
　　[關鍵詞] 壓軸題；教學；一題多解；一題多變
　　章建躍博士指出：解題的目標應聚焦于加深和理解雙基. 學會思考，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力；查缺補漏，培養(yǎng)良好的學習習慣，培養(yǎng)創(chuàng)造力等. 這些目標的實現(xiàn)，極大程度上依靠“好題”. “好題”能夠反映數(shù)學本質(zhì)，與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關，能夠體現(xiàn)基礎知識的聯(lián)系性，解題的方法自然多樣，具有發(fā)展性等等. 命制一道好題需要對數(shù)學本質(zhì)具有深刻的理解，研究一道好題需要熟悉考點、清楚設計意圖、開放解題思路. 同樣的，一節(jié)優(yōu)質(zhì)的試卷講評課，教師應該清楚出題意圖，靈活解題思路，促進學生數(shù)學思維發(fā)展. 接下來筆者以2015年上海市浦東新區(qū)一模第25題為例談談如何挖掘壓軸題中的數(shù)學元素，提升學生數(shù)學學習品質(zhì).
　　試題呈現(xiàn)
　?。?015年浦東新區(qū)一模25題）如圖1，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M.
　　初步思考
　　此題圍繞滬教版教材九年級第一學期重要教學內(nèi)容并緊扣“相似”這一重要考點，能夠較好地檢測基礎知識和基本技能的掌握情況. 第（1）題的難度期望值大概為0.6-0.8，接下來的第（2）題難度期望值約為0.4-0.5.
　　反思分析
　　這道題目是一道典型的以正方形為背景的動點問題，是中考壓軸題的常見題型. 本題設計出不同層次的三個問題，既由淺入深、風格不同，又相互關聯(lián)、前后呼應，屬于“并列式”結構. 這道題目圍繞著上海教育出版社九年級第一學期教材的“主干”和“核心”內(nèi)容，緊扣相似三角形和四邊形的相關考點，能夠在檢測基礎知識的同時檢測邏輯思維能力、計算能力和綜合應用能力，具有一定的思維量. 第（1）問考查相似三角形的判定定理，第（2）問利用第（1）問的結論研究兩條線段之間的函數(shù)解析式，第（3）問在分類討論的基礎上利用第（2）問的結論進行三角形面積的計算.
　　在第（1）問的基礎上分析圖形中邊和角之間的關系，通過添加過點G的兩條垂線構造矩形GQDH，利用矩形對邊相等，從各種等量關系求出長度，或讓用字母x來表示的線段聚集在直角三角形EQG中，通過勾股定理得到線段AE和EG的函數(shù)關系式.
　　那么有沒有其他方法可以求解線段AE和EG的函數(shù)關系式呢？
　　一題多解
　　仔細審閱這題的題干部分“點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M. ”不難發(fā)現(xiàn)，整個圖形的運動過程中，點E是主動點，而點G和點M是從動點，它們的位置是隨著點E位置變化而變化的. 聯(lián)想到第一種解法中是過從動點G添加垂線，那么是否可以過主動點E添加垂線呢？
　　再次審視這道題目的第（2）問，再次回顧解決此題的方法一，過點G添加線段AD和CD的垂線，構造一個矩形GQDH，那么能不能過點G添加BE的垂線呢？方法三隨之產(chǎn)生了.
　　方法三：如圖6，過點G作GK⊥BE，K為垂足.
　　和方法一、方法二相比，方法三的不同之處在于將目光從添加垂線構造直角三角形逐漸轉向了分析三角形EGB的特征，通過相似三角形的判定，發(fā)現(xiàn)三角形EGB是一個等腰直角三角形，進而根據(jù)EG和EB的線段長度比值求出線段AE和EG的函數(shù)關系式.
　　課堂上教師引導學生反思前面三種解答過程，提出問題：在分析三角形EGB典型特征的過程中是否一定需要通過添加輔助線構造相似三角形呢？回答顯然是否定的. 此時課堂上學生的思維活躍起來，學生的語言也豐富了.
　　追本溯源
　　不添輔助線的方法四無疑是這幾種解法當中最簡單的一種，為什么想到這種方法的同學不多呢？追本溯源這是一個典型的“蝶形問題”，或者說是“四點共圓”問題. 如圖8，“已知∠BAO=∠CDO，問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO·OC=OB·DO，問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO·OB=OC·DO，問圖中有幾對相似三角形？”
　　在上海教育出版社出版的數(shù)學教材九年級第一學期25頁例題1中出現(xiàn)的就是這樣的一個“蝶形”相似，無獨有偶，在同一本課本第8頁的例題2，九年級第一學期的教參30頁上歸納整理的幾個基礎圖形中的最后一個也是以這個蝶形作為基礎圖形展開教學的.
　　類似這樣一些簡單問題，學生是否能夠從復雜的圖形中抽象出“蝶形問題”或者說是“四點共圓問題”就成為其能否順利解決第（2）問的關鍵. 怎樣才能使學生在復雜圖形中輕而易舉地看出對解題有幫助的基礎圖形呢？
　　解題啟示
　　1. 重視“基本模型”構建能力的培養(yǎng)
　　羅增儒教授指出：如果能夠辨別題目屬于熟悉的類型，就用該類型相應的方法去解決（模型識別）；如果遇到不熟悉和費解的習題，不能直接轉化為熟悉的類型，那我們可以“分解”， 既使得每個小問題都是熟悉的，又可以揭示問題的深層結構，使問題的實質(zhì)是熟悉的，同時還可以不間斷地改變習題，最終化歸為已經(jīng)解決的問題. 各地歷年中考題中都有“基礎圖形”的痕跡，其重要程度可見一斑.
　　初三畢業(yè)班的數(shù)學教師對這一教學內(nèi)容相當重視，每一位有經(jīng)驗的數(shù)學教師憑借著自己的理解和概括都能總結和提煉出一個又一個的模型，上課時教師講授得頭頭是道，學生聽得津津有味，可是當學生獨立面對綜合題的時候往往顯得束手無策. 這種對于基礎圖形“識而不會”的情況為何屢屢發(fā)生呢？究其根源，最主要的原因就是缺乏構建的數(shù)學能力. 大多數(shù)綜合題中的基礎圖形都是“潛伏”在大段敘述性的文字或者復雜的圖形中的，需要適當添加輔助線構建基礎圖形才能逐漸清晰明朗.