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廣義相對論的數(shù)學公式有哪些
廣義相對論的數(shù)學公式有哪些

物理

我素新人1292014-11-25

優(yōu)質(zhì)解答: 狹義相對論最著名的推論是質(zhì)能公式,它可以用來計算核反應過程中所釋放的能量,并導致了原子彈的誕生.而廣義相對論所預言的引力透鏡和黑洞,也相繼被天文觀測所證實.
狹義相對論的四維時空觀
狹義相對論是建立在四維時空觀上的一個理論,因此要弄清相對論的內(nèi)容,要先對相對論的時空觀有個大體了解.在數(shù)學上有各種多維空間,但目前為止,我們認識的物理世界只是四維,即三維空間加一維時間.現(xiàn)代微觀物理學提到的高維空間是另一層意思,只有數(shù)學意義,在此不做討論.
四維時空是構(gòu)成真實世界的最低維度,我們的世界恰好是四維,至于高維真實空間,至少現(xiàn)在我們還無法感知.我在一個帖子上說過一個例子,一把尺子在三維空間里（不含時間）轉(zhuǎn)動,其長度不變,但旋轉(zhuǎn)它時,它的各坐標值均發(fā)生了變化,且坐標之間是有聯(lián)系的.四維時空的意義就是時間是第四維坐標,它與空間坐標是有聯(lián)系的,也就是說時空是統(tǒng)一的,不可分割的整體,它們是一種“此消彼長”的關(guān)系.
四維時空不僅限于此,由質(zhì)能關(guān)系知,質(zhì)量和能量實際是一回事,質(zhì)量（或能量）并不是獨立的,而是與運動狀態(tài)相關(guān)的,比如速度越大,質(zhì)量越大.在四維時空里,質(zhì)量（或能量）實際是四維動量的第四維分量,動量是描述物質(zhì)運動的量,因此質(zhì)量與運動狀態(tài)有關(guān)就是理所當然的了.在四維時空里,動量和能量實現(xiàn)了統(tǒng)一,稱為能量動量四矢.另外在四維時空里還定義了四維速度,四維加速度,四維力,電磁場方程組的四維形式等.值得一提的是,電磁場方程組的四維形式更加完美,完全統(tǒng)一了電和磁,電場和磁場用一個統(tǒng)一的電磁場張量來描述.四維時空的物理定律比三維定律要完美的多,這說明我們的世界的確是四維的.可以說至少它比牛頓力學要完美的多.至少由它的完美性,我們不能對它妄加懷疑.
相對論中,時間與空間構(gòu)成了一個不可分割的整體——四維時空,能量與動量也構(gòu)成了一個不可分割的整體——四維動量.這說明自然界一些看似毫不相干的量之間可能存在深刻的聯(lián)系.在今后論及廣義相對論時我們還會看到,時空與能量動量四矢之間也存在著深刻的聯(lián)系.

單位符號單位符號
坐標：m(x,y,z)力：NF(f)
時間：st(T)質(zhì)量:kgm(M)
位移：mr動量:kg*m/sp(P)
速度：m/sv(u)能量:JE
加速度：m/s^2a沖量：N*sI
長度：ml(L)動能：JEk
路程：ms(S)勢能：JEp
角速度：rad/sω力矩：N*mM
角加速度:rad/s^2α功率：WP
一：
牛頓力學（預備知識）
(一)：質(zhì)點運動學基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注：兩式中左式為微分形式,右式為積分形式)
當v不變時,(1)表示勻速直線運動.
當a不變時,(2)表示勻變速直線運動.
只要知道質(zhì)點的運動方程r=r(t),它的一切運動規(guī)律就可知了.
(二)：質(zhì)點動力學：
(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運動.
(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質(zhì)量成反比.
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上.
(4)萬有引力：兩質(zhì)點間作用力與質(zhì)量乘積成正比,與距離平方成反比.
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動量的變化)
動量守恒：合外力為零時,系統(tǒng)動量保持不變.
動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動能的變化)
機械能守恒：只有重力做功時,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋梁,我們的目的是知道物體的運動規(guī)律,即求解運動方程r=r(t),若知受力情況,根據(jù)牛二可得a,再根據(jù)運動學基本公式求之.同樣,若知運動方程r=r(t),可根據(jù)運動學基本公式求a,再由牛二可知物體的受力情況.)
二：
狹義相對論力學：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u為慣性系速度.)
(一)基本原理：(1)相對性原理：所有慣性系都是等價的.
(2)光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關(guān)的常數(shù).
(此處先給出公式再給出證明)
(二)洛侖茲坐標變換：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度變換：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源與探測器在一條直線上運動.)
(七)動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm.
(八)相對論力學基本方程：F=dP/dt
(九)質(zhì)能方程：E=Mc^2
(十)能量動量關(guān)系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注：在此用兩種方法證明,一種在三維空間內(nèi)進行,一種在四維時空中證明,實際上他們是等價的.)
三：
三維證明：
(一)由實驗總結(jié)出的公理,無法證明.
(二)洛侖茲變換：
設(shè)(x,y,z,t)所在坐標系(A系)靜止,(X,Y,Z,T)所在坐標系(B系)速度為u,且沿x軸正向.在A系原點處,x=0,B系中A原點的坐標為X=-uT,即X+uT=0.可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內(nèi)的各點位置是等價的,因此k是與u有關(guān)的常數(shù)(廣義相對論中,由于時空彎曲,各點不再等價,因此k不再是常數(shù).)同理,B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知,兩個慣性系等價,除速度反向外,兩式應取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對于y,z,Y,Z皆與速度無關(guān),可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理,要確定k需用光速不變原理.當兩系的原點重合時,由重合點發(fā)出一光信號,則對兩系分別有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標變換：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度變換：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表達式.
(四)尺縮效應：
B系中有一與x軸平行長l的細桿,則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標),則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)鐘慢效應：
由坐標變換的逆變換可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測量),故△t=γ△T.
(注：與坐標系相對靜止的物體的長度、質(zhì)量和時間間隔稱固有長度、靜止質(zhì)量和固有時,是不隨坐標變換而變的客觀量.)
(六)光的多普勒效應：(注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原點處一光源發(fā)出光信號,A系原點有一探測器,兩系中分別有兩個鐘,當兩系原點重合時,校準時鐘開始計時.B系中光源頻率為ν(b),波數(shù)為N,B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應可知,A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對運動不影響光信號的波數(shù),故光源發(fā)出的波數(shù)與探測器接收的波數(shù)相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
(七)動量表達式:(注：dt=γdτ,此時,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對于動力學質(zhì)點可選自身為參考系,β=v/c)
牛二在伽利略變換下,保持形勢不變,即無論在那個慣性系內(nèi),牛二都成立,但在洛倫茲變換下,原本簡潔的形式變得亂七八糟,因此有必要對牛頓定律進行修正,要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式.
牛頓力學中,v=dr/dt,r在坐標變換下形式不變,（舊坐標系中為（x,y,z）新坐標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變量（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度.牛頓動量為p=mv,將v替換為V,可修正動量,即p=mV=γmv.定義M=γm(相對論質(zhì)量)則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量.（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）
(八)相對論力學基本方程：
由相對論動量表達式可知：F=dp/dt,這是力的定義式,雖與牛二的形式完全一樣,但內(nèi)涵不一樣.（相對論中質(zhì)量是變量）
(九)質(zhì)能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
(十)能量動量關(guān)系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四：
四維證明：
(一)公理,無法證明.
(二)坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內(nèi)都成立.定義dS為四維間隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).則對光信號dS恒等于0,而對于任意兩時空點的dS一般不為0.dS^2〉0稱類空間隔,dS^2<0稱類時間隔,dS^2=0稱類光間隔.相對論原理要求（1）式在坐標變換下形式不變,因此（1）式中存在與坐標變換無關(guān)的不變量,dS^2dS^2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變量.因此在兩個原理的共同制約下,可得出一個重要的結(jié)論：dS是坐標變換下的不變量.
由數(shù)學的旋轉(zhuǎn)變換公式有：（保持y,z軸不動,旋轉(zhuǎn)x和ict軸）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
當X=0時,x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略.
(七)動量表達式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ,V=dr/dτ稱四維速度.
則V=(γv,icγ)γv為三維分量,v為三維速度,icγ為第四維分量.（以下同理）
四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F為三維力)
四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
則f=mdV/dτ=mω
(九)質(zhì)能方程：
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四維力與四維速度永遠“垂直”,（類似于洛倫茲磁場力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v為三維矢量,且Fv=dEk/dt(功率表達式))
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2
xgnmqmcc 2014-11-25

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其他回答: 引力場方程（Einstein's field equation）：
$R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv}$
其中 G 為牛頓萬有引力常數(shù)
加入宇宙學常數(shù)后的場方程為：
$R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lamb...$ 全部展開
fengdemicang 2014-11-25; E=MC2
472910148 2014-11-25

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