集合論的發(fā)現(xiàn)的悖論動搖了數(shù)學的根基，伯特蘭·羅素的邏輯主義似乎能穩(wěn)固數(shù)學基礎(chǔ)，為數(shù)學提供必要的根基。然而隨著鴻篇巨制的《數(shù)學原理》第二卷的出版，邏輯主義開始衰落，盡管這套書備受推崇，但讀的人很少。通過各種方法，羅素的邏輯主義避開了各種悖論，但不能確保其體系不再產(chǎn)生矛盾。
20世紀的早期，希爾伯特在不變量理論和變分法方面做出了開創(chuàng)性的工作，并出版了一本極具影響的幾何學著作。因此被多國選為科學院院士，并榮獲德國政府的樞密院顧問頭銜，可謂聲名卓著。
形式主義的開端
希爾伯特受邀在第一屆巴黎國際數(shù)學大會上做演講，在演講中他談到當時最富挑戰(zhàn)性的10個問題，開頭三個都是關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的。
第一個問題，證明康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設。
第二個問題，尋求算術(shù)公理一致性的證明一一也就是說，證明用基于這些公理的有限邏輯步驟永遠不會導致矛盾的結(jié)果。
第三個問題，公理化那些數(shù)學在其中扮演重要角色的物理科學。
對于數(shù)學的基礎(chǔ)本身，正如他在演講中所說：“證明(算術(shù))公理的相容性的同時，也是在證明實數(shù)或連續(xù)統(tǒng)的完備系的數(shù)學存在?！?/p>
然而直到4年后第二次國際數(shù)學大會的時候，出現(xiàn)了各種悖論，面對數(shù)學基礎(chǔ)問題，很多數(shù)學家已經(jīng)產(chǎn)生了不確定的感覺。希爾伯特看到：“事情的現(xiàn)狀是難以忍受的。只要想想，每一個人在數(shù)學中學的、教的和用的定義和演繹方法一一確定性的典范和真理一一都將導致謬論，這是多么可怕的現(xiàn)實！如果數(shù)學思考是有缺陷的，我們到哪里去找真理和確定性？”
希爾伯特基于自己在幾何公理化上的成功，期望把同樣的方法用到所有的數(shù)學中去。于是對大會建議：“我相信，我所設計的所有問題都是可以征服的，通過我稱之為公理化的方法，能夠得到一個完全會讓人滿意的數(shù)字概念基礎(chǔ)?！?/p>
希爾伯特企圖建立一個更普遍的公理化體系，也即算術(shù)公理體系和從它們開始的推導步驟。同時，他認為羅素的悖論是由語句的模糊造成的。在這樣的背景下，希爾伯特的形式主義學派誕生了。
在后來，在以形式主義者著稱的人的工作基礎(chǔ)上，包括如龐加萊和庫蒂拉特在內(nèi)的其他人也做過一些早期的工作。這些零散的成果被希爾伯特匯集起來，從而產(chǎn)生了由一個名人和一批追隨者組成的學派。那時，希爾伯特是歐洲最重要的數(shù)學家之一，他的主張自然很受重視。
但在20世紀早期，形式主義還只是一些粗糙的，沒有明確闡述的觀念。然而在數(shù)學的基礎(chǔ)研究中，那些領(lǐng)先的成果開始從英國傳到德國，從羅素傳到希爾伯特。這種發(fā)展勢頭引發(fā)了一個問題：有些人會超范圍使用自己吸取的一個觀點。在夸張的形式下，形式主義成了一種諷刺：認為數(shù)學僅僅是一種處理未標記的和未經(jīng)詮釋的符號的方法，因此它不過是一種沒有多大意義的游戲。因此，希爾伯特給他“未經(jīng)詮釋的”幾何符號加上了額外的詮釋因素，使其符號能用形式規(guī)則處理。
然而，荷蘭數(shù)學家魯伊茲·E·J·布勞威爾有一個與希爾伯特針鋒相對的立場，他正是后來被稱為直覺主義學派的旗手。
希爾伯特
在20世紀的頭10年，希爾伯特是當時最偉大的數(shù)學家。1862年，他生于柯尼斯的郊區(qū)，并在那里接受早期的教育。1880年，進入柯尼斯堡大學，5年后，獲得博士學位，1895年，成為哥廷根大學的正教授。在那時，希爾伯特展現(xiàn)出在數(shù)學方面的廣泛興趣和卓越能力。在他整個學術(shù)生涯中，其原創(chuàng)性貢獻幾乎涵蓋所有的數(shù)學領(lǐng)域。
在某種程度上得益于希爾伯特日益增長的聲譽，哥廷根大學的聲譽也在急速地增長，同時該校一直吸引著其他正在成長中的重要數(shù)學家、教員、學生。比如：赫爾曼·閔可夫斯基，希爾伯特聘他做教員，后來成了希爾伯特親密的朋友和同事；大學在1899年招策梅洛作無薪講師；18歲的“農(nóng)村小伙子”赫爾曼·外爾在1903年來到哥廷根。后來，在新澤西州普林斯頓高等研究院工作時，外爾寫道：“那一個學期，希爾伯特宣布開設關(guān)于數(shù)字的概念和求圓的面積的課，我擅自去聽了。對我來說，大部分課都太難了，但一扇新世界的大門為我打開了?！?/p>
希爾伯特早期的作品《幾何基礎(chǔ)》將他引回這個數(shù)學領(lǐng)域，該書是他運用皮亞諾的原理，用一種嚴格的公理化方式重新構(gòu)造歐幾里得幾何的嘗試，盡管沒有使用皮亞諾復雜的符號系統(tǒng)。皮亞諾意在將數(shù)學用形式語言來表達，而不借助直覺。而希爾伯特認為用歐幾里得幾何作為幾何的模板和基礎(chǔ)是錯誤的；歐幾里得幾何有演繹式的結(jié)構(gòu)，但充滿隱藏的假定、不準確的定義和邏輯錯誤。希爾伯特希望為幾何建立一個更穩(wěn)固的基礎(chǔ)，同時也消除對直覺的依賴。
希爾伯特也注意到了幾何學的其他進展。19世紀早期，尼古拉·羅巴切夫斯基、雅諾什·波爾約、本哈德·黎曼和卡爾·高斯已經(jīng)著手非歐幾何的工作。從而為了整合幾何，再整合數(shù)學，使之更明確，希爾伯特認為，剔除某些假設是有必要的。
希爾伯特因為支持康托爾，卷入了沖突。他還認為克羅內(nèi)克的執(zhí)著威脅了數(shù)學的進展?？肆_內(nèi)克想將數(shù)學與高度主觀的直覺基礎(chǔ)緊密聯(lián)系起來，通過逐步建構(gòu)，將數(shù)學限制在一個真切實在的世界里。而希爾伯特只要求邏輯表達的一致性。他確信，對于克羅內(nèi)克極力反對的無理數(shù)，不應該排除在數(shù)字的世界之外，否則分析領(lǐng)域?qū)S為不毛之地。
此外，希爾伯特還認為：“對無窮的性質(zhì)進行最后的澄清已經(jīng)變得很有必要，這不僅是為了各門科學的專門利益，也是為了人類對自身理智的尊嚴?！睘榱思訌姅?shù)學的基礎(chǔ)，支持康托爾在無窮上的觀念將是必要的。
布勞威爾
魯伊茲·埃格伯圖斯·簡·布勞威爾通常以簡稱L·E·J·布勞威爾聞名。1881年2月27日生于奧威斯切。阿姆斯特丹大學本科時，在四維空間的連續(xù)運動上做出了原創(chuàng)性工作。這使得位于阿姆斯特丹的皇家科學院在他還未畢業(yè)時就出版了他的著作。從1904至1907年，他從事哲學和神秘主義的研究。1905年，他寫了一本書，名為《生命，藝術(shù)和神秘主義》。作為一個神秘主義者，他否認準確交流的可能性和語言的作用。這使他對形式主義帶有感情色彩。
布勞威爾是個天才是不容置疑的，同時憤世嫉俗、自私自利、神經(jīng)過敏、情緒化和頑固這樣的詞也是人們對他的描述和評價。在布勞威爾的傳記中，范·達倫寫道：“布勞威爾是一個神經(jīng)過敏的人，壓力之下，他很容易夸大事實。另外，他對正義有種極端的熱情。正如路德維希·比貝爾巴赫所說，他是一個正義狂。結(jié)果，他會在一種完全像是戰(zhàn)爭的情勢中遭遇不正義一一不管是針對誰?！?/p>
作學生的布勞威爾，不善與人相處，回避社交。在朋友指引下，學會了參加社會活動。慢慢地，他極度渴望結(jié)交朋友，而且高談闊論成癖。1907年，他獲得阿姆斯特丹大學數(shù)學和物理學博士學位。在那里，他的興趣延伸到了拓撲學和數(shù)學基礎(chǔ)，而且在其一生中，都作出重要貢獻。
關(guān)于龐加萊和羅素間的爭論，他認為：雖然邏輯主義可能在某些場合有用，但不能為數(shù)學提供一個穩(wěn)固的基礎(chǔ)。羅素宣揚數(shù)學依賴于邏輯，而布勞威爾主張邏輯依賴于數(shù)學。另外，盡管希爾伯特還沒有完全發(fā)展出形式主義的觀點，但他了解到希爾伯特有足夠多他不喜歡的東西。作為天才的使者，他怎么可能做得到無視，要無視也是無視希爾伯特的地位，于是他批評希爾伯特的觀點。
有趣的是，盡管布勞威爾激烈批評希爾伯特的計劃，但似乎不影響希爾伯特對布勞威爾的感覺。也可能是因為布勞威爾的論文是用荷蘭文寫的，流傳不廣。在1909年，在迷人的海濱度假勝地席凡寧根，布勞威爾和希爾伯特成功的晤談，布勞威爾向希爾伯特展現(xiàn)了他的語言和數(shù)學水平。在一封給朋友的信中，還形容希爾伯特為“世界上首屈一指的數(shù)學家?！?912年，希爾伯特不僅幫布勞威爾推薦了阿姆斯特丹大學的一個教授職位；1919年，希爾伯特還給他提供了哥廷根大學的一個教授職位一一這絕對是一個晉升。但布勞威爾拒絕了，直到退休，他一直呆在阿姆斯特丹大學。
在拓撲學上的成就和基礎(chǔ)數(shù)學上的觀念為布勞威爾贏得了聲譽，但他在直覺主義上的觀點在一開始的時候還是不被廣為接受。1912年，他被選為荷蘭皇家科學院成員。此后，柏林的普魯士科學院、美國哲學會、倫敦的皇家學會都選他為成員。還獲得了幾個榮譽博士學位。此時的布勞威爾也有了一定的地位和聲譽。
1908年，一篇名為《關(guān)于邏輯原理的不可靠性》的論文認為：運用排中律的數(shù)學證明是不合理的。排中律是一個基本的、常用的邏輯定律。排中律宣稱每一個數(shù)學表述要么對，要么錯，其他可能性都是不允許的。
布勞威爾認為排中律是用得過于自由的邏輯原理的典型。這個原理是所謂間接證明方法的基礎(chǔ)，這種方法允許用常規(guī)邏輯或利用矛盾的反證法。在這里，如果某命題不正確，就可以通過實證產(chǎn)生一個邏輯矛盾來證明某些命題正確。布勞威爾拒絕接受排中律，堅持認為第三種情況是存在的。他使用“未決的”這個詞來稱呼那些通過有限的推導步驟還不能決定是對還是錯的表述。他經(jīng)常置疑建立在排中律基礎(chǔ)上的數(shù)學證明，并稱其是“所謂的證明“。
1920年，他聲稱：“將排中律用作數(shù)學證明的一部分，是不允許的……（它）只具有學理和啟發(fā)的價值，因此那些在證明中不能避免使用這個原理的定理是缺乏數(shù)學內(nèi)涵的?！?/p>
希爾伯特回應道：“把排中律排除在數(shù)學之外就像……禁止拳手使用拳頭一樣。”
布勞威爾的限制顯得有些極端，要知道很多人都難以接受，尤其是經(jīng)常使用排中律的數(shù)學家和科學家。
第二年，布勞威爾開始宣傳他的觀點，這開始成為他余生的事業(yè)。盡管在1909和1913年，布勞威爾在拓撲學領(lǐng)域取得了優(yōu)異的成果，但他沒有發(fā)表拓撲學方面的任何演講。上過他課的巴特爾·L·范德瓦爾登說：“看起來，他不再確信他在拓撲學中的成果，因為從直覺主義的觀點來說，它們不是正確的。他以前所做的工作、他最偉大的成就和他的錯誤，他都按照他的哲學來作評判。他是一個很奇怪的人，瘋狂地愛著他的哲學?！?/p>
布勞威爾在1919年的論文《直覺主義的集合論》中指出：他早期的拓撲學研究從直覺主義觀點來看是不正確的。他接著說，這些工作中的大部分都可以用直覺主義框架來補救。他列舉了不動點定理等例子來說明：直覺主義形式如何得到證明。
1917至1920年，布勞威爾進一步發(fā)展直覺主義觀點，包括沿著直覺主義思路發(fā)展集合論。1920年后，他向外界發(fā)布了自己關(guān)于直覺主義的成果，直接挑戰(zhàn)希爾伯特的工作。更糟的事情是，發(fā)表過一篇關(guān)于分析基礎(chǔ)方面的名為《連續(xù)統(tǒng)》的論文的外爾，這時轉(zhuǎn)變了立場。1921年，外爾又發(fā)表一篇新文章對自己的新立場進行解釋，說在某種程度上，希爾伯特的方法將所有的東西都簡化成了一種游戲。要知道，希爾伯特曾指望自己這位優(yōu)秀的學生能成為一個忠實的追隨者。1920年春天，在外爾寫的一份稿件上，布勞威爾寫了這樣的評論：“你毫無保留的支持給了我無窮的快樂……在一些小地方，我們有不同意見，這只會給我們更多激勵?！?/p>
反擊
1922年希爾伯特通過一篇針對外爾和布勞威爾兩人的文章開始反擊：首先陳述了他對數(shù)學基礎(chǔ)比當前所取得的成就更需要深入研究的信念。接著寫道：“杰出的、成就卓著的數(shù)學家外爾和布勞威爾正在通過肯定是錯誤的途徑來尋找這些問題的解決方法?！比缓蠼忉屃诉@樣說的原因，并陳述他的觀點。
希爾伯特謹慎地指出，他針對連續(xù)統(tǒng)基礎(chǔ)的方法“并不與直覺相悖。我們從直覺中得出的外延量概念不依賴于數(shù)的概念，因此如果我們在數(shù)與質(zhì)量數(shù)或數(shù)量之間做一個基本的區(qū)分，它就會與直覺完全一致?！彼又鴮懙?，其他人都曾經(jīng)仔細研究過這個問題，“如果外爾在這里看到了一個'基礎(chǔ)的內(nèi)部不穩(wěn)定，而整個（數(shù)學）帝國都建立在這個基礎(chǔ)上?！绻麚摹治鲶w系的瓦解即將到來’，那么他是見著鬼了?！?/p>
希爾伯特接著說：
當然，證明公理一致性的問題出現(xiàn)了。這是一個很出名的問題，幾十年來我一直關(guān)注它。這個報告就是關(guān)于這個問題的解決方法的。
外爾和布勞威爾所做的基本上是沿著以前克羅內(nèi)克所走的老路。拋棄所有令他們不快的現(xiàn)象，并按照克羅內(nèi)克的方式建立專政來加以禁止，他們尋求通過這種方式來為數(shù)學樹立基礎(chǔ)。但這意味著肢解并毀壞我們的科學，如果我們追隨這些改革者，我們將冒失去很大一批最寶貴財富的危險……我相信，就像克羅內(nèi)克在當年不能消除無理數(shù)一樣……今天，外爾和布勞威爾也將行不通他們的計劃。不，布勞威爾不是外爾所相信的那樣是一個革命者，而是一個重復者，他用著舊工具，嘗試在當時用橫沖直撞的方法發(fā)動一場政變，但還是徹底失敗了。現(xiàn)在弗雷格、戴德金和康托爾加入了進來，這個陣營有了更多的武裝，力量更強了，這種政變注定要失敗。
在文中，為回應外爾和布勞威爾的抨擊，他提出了要為形式主義的學派樹立了一個更新、更牢固的基礎(chǔ)。并提出了對分析公理一致性的證明的大概想法，把數(shù)論建立在數(shù)“1”和符號“+”的基礎(chǔ)上。“當我們用這種方法發(fā)展數(shù)論時，不需要公理，也不可能有任何矛盾產(chǎn)生?！倍嗄暌院蟮?936年，杰出的德國數(shù)學家格哈德·根岑最終成功地找到了關(guān)于超限過程完整而正確的分析方法?！崩酶男路椒?，人們認識到希爾伯特的證明論是一個極有力的數(shù)學工具，尤其對計算機科學有幫助。
面對“叛變”的外爾，希爾伯特把他與布勞威爾當作一個團伙來抨擊，無視兩人對對直覺主義的詮釋等觀點的不同。大約1925年，外爾開始稍微遠離布勞威爾的直覺主義。從那時起，希爾伯特主要集中火力在布勞威爾的身上，同時無視外爾的轉(zhuǎn)變。比如1928年，希爾伯特提起“他的學派將一切都簡化為一個游戲”這個批評，并做出回應。
希爾伯特與布勞威爾的爭端存在于兩個水平面上，且兩人都認識到這點，理解這一點很重要。除此之外，也有個人競爭，都在一個更廣的意義上把自己看作救世主。另外，希爾伯特的擔心：“如果數(shù)學失敗了，人類的精神也會失敗?！?/p>
1928年，在對希爾伯特新方法的一個回應中寫道：“所有這些表明，形式主義從直覺主義那里沒有直接接受任何東西，但卻從中受啟發(fā)多，而且它還有望受益更多。”因此形式主義學派應該給直覺主義點贊，而非輕蔑、攻擊。并且指出形式主義應該認識到一個事實：在形式主義的框架內(nèi)，迄今為止，正確的數(shù)學知識沒有哪一樣得到了保護。
“在另一方面，直覺主義……已經(jīng)建立了有著不可置疑確定性的數(shù)學新基礎(chǔ)。”對布勞威爾來說，包括形式主義者的語言在內(nèi)的任何語言，都是有用的，但僅限于交流。布勞威爾的一個博士生阿倫德·海廷在1930年恰當?shù)貙懙溃骸敖⒁惶着c直覺主義的數(shù)學等同的規(guī)則系統(tǒng)在理論上是不可能的，因為思考的可能性不能簡化為有限幾步預先建立的規(guī)則?！?/p>
無情的攻擊
盡管布勞威爾沒有希爾伯特那么有名，但在數(shù)學界也樹立了牢固的聲譽。1925年和1926年，他開始在諸如《數(shù)學年鑒》這樣的雜志上發(fā)表論文。1914年，被光榮地任命為該雜志編輯部的成員，從此，他謹慎并慢條斯理地為雜志工作著。
布勞威爾暴躁的脾氣在雜志的編輯中產(chǎn)生了負面影響。費利克斯·克萊因是該雜志的主編之一，他因為和布勞威爾發(fā)生爭執(zhí)而決定辭職。事實上，這場爭執(zhí)中，布勞威爾是對的，但他表現(xiàn)得太粗魯了。這著實讓人震驚，因為克萊因已經(jīng)為《數(shù)學年鑒》工作多年，在某種程度上，他已成為總編輯，為雜志的成功作出了巨大的貢獻。
同時，希爾伯特也是《數(shù)學年鑒》的主要編輯之一，這對布勞威爾來說很不幸。在克萊因辭職之后，希爾伯特接手了大部分的工作，這使得該雜志開始有了“屬于”哥廷根大學數(shù)學家的名聲。
《數(shù)學年鑒》之戰(zhàn)
在1928年10月底，布勞威爾收到一封來自希爾伯特的信：
親愛的同事：
既然我們倆在基礎(chǔ)問題上的觀點無法調(diào)和，我和你合作是不可能的了。我已經(jīng)就授權(quán)問題征求過《數(shù)學年鑒》執(zhí)行編輯部成員們的意見，布魯門薩爾和卡拉西奧多里（奧托和康斯坦丁，是另外兩位執(zhí)行編輯，阿爾伯特·愛因斯坦是第四位）已經(jīng)授權(quán)我通知你，從今往后，我們將放棄與你在編輯《年鑒》上的合作，因此也把你的名字從刊名頁上刪去。同時，我感謝你以《年鑒》的名義，為我們雜志的利益在過去所做的努力！ 敬禮！ D·希爾伯特
希爾伯特這么做的主要的原因似乎是希爾伯特：1925年11月，他已經(jīng)被診斷出有惡性貧血，他想確保自己死后，布勞威爾的觀點不會繼續(xù)在《年鑒》成員中間潛移默化。還有一個個人的原因：希爾伯特認為布勞威爾剛愎自用、難以捉摸、飛揚跋扈；希爾伯特擔心自己離開了編輯部，布勞威爾可能會迫使編輯部屈從他的意志。
因為第一次世界大戰(zhàn)，德、法兩國數(shù)學家之間的關(guān)系緊張。希爾伯特認為，早先用來緩和這種緊張關(guān)系的機會被布勞威爾破壞了。如1926年，他們已經(jīng)計劃出版一本紀念本哈德·黎曼的文集，來紀念他誕辰100周年。希爾伯特曾想收入一位重要的法國數(shù)學家保羅·潘勒韋寫的論文。然而在1918年，潘勒韋曾激烈地譴責德國的科學界。希爾伯特和其他人認為潘勒韋后來已經(jīng)不再抱有敵意，但布勞威爾堅定地認為收入潘勒韋的作品是對德國數(shù)學成就的侮辱。但是雜志運作的民主程序，使得這本書最終沒有收入任何法國數(shù)學家的文章。
在雜志清理門戶事件中，希爾伯特同樣需要獲得其他執(zhí)行編輯的默許。他從布魯門薩爾和卡拉西奧多里那里得到了不同程度的默許。同時，希爾伯特寫信給愛因斯坦，請求他作為編輯的一員允許他給布勞威爾發(fā)一封辭退信。在他給出的理由中，有一條是：布勞威爾在以前一封信函中不僅侮辱了他（希爾伯特），而且還侮辱了大部分德國數(shù)學家;布勞威爾持有“對同情外國數(shù)學家有鮮明的敵對立場。他（希爾伯特）認為把哥廷根大學當作《年鑒》主要基地是一個好主意”。但愛因斯坦回信拒絕了他：做你認為該做的，但我不能在這樣一封辭退信上簽名。
希爾伯特精心謀劃弄了一封辭退信，布勞威爾把這封辭退信當作一種巨大的侮辱，這一打擊讓他“神經(jīng)發(fā)作”，并且發(fā)燒病了好幾天。盡管他沒有立即做出反擊，但也夠快的了。事后他寫信給卡拉西奧多里：
親愛的同事： 經(jīng)過細致的考慮和廣泛的咨詢，我不得不采取這樣的態(tài)度：你發(fā)出的對我的要求（最先的辭退信是卡拉西奧多里發(fā)出的）一一它是在希爾伯特在頭腦不健全的時候發(fā)出的一一是無效的，除非這封信是希爾伯特夫人和節(jié)爾伯特的醫(yī)生寫的。
敬禮 L·E·J·布旁威爾
在勾心斗角的某種游戲中，這封信可能是個很聰明的反擊。但在這種情勢下，正如布魯門薩爾所說的，它會被看成是封“可怕而惹人憎惡的信”。
布勞威爾不屈不撓，寫信給希爾伯特夫人，請求她給丈夫吹吹枕邊風。并送了一份抄件給編輯部的另一名成員理查德·柯朗?？吕示尤蝗グ菰L了希爾伯特夫人，事后回復布勞威爾：在這件事上，希爾伯特不受任何人的影響。
于是布勞威爾在更大的范圍向所有的編輯們傾訴：希爾伯特關(guān)于缺少合作的說法是一個煙幕，因為他們之間已有多年沒有通信；直到那時，還沒有人對他提出過任何反對意見；執(zhí)行編輯們把希爾伯特的健康狀況看得比他（布勞威爾的）的權(quán)利和尊嚴還重，這是不公平的；這次事件，使《年鑒》正在以它的權(quán)威性和科學內(nèi)容為代價做出犧牲。
在這場沖突中，除了愛因斯坦之外的編輯們都站在了希爾伯特一邊。布勞威爾是僅有的三個非德籍編輯中的一個，多少算是個圈外人。這或許是其中一個原因。但他給卡拉西奧多里的信中說希爾伯特“頭腦不健全”，最有可能決定了他的命運。
于是，布勞威爾和編輯部的一個普通編輯路德維?！け蓉悹柊秃找黄鸬桨亓秩ヒ姵霭嫔藤M迪南德·斯普林格。同時兩人發(fā)出警告說，如果辭退令被執(zhí)行，《年鑒》和斯普林格出版社的利益都會受損。布勞威爾還威脅說要創(chuàng)辦一個競爭性的雜志，但斯普林格不在意這種威脅。
原先與希爾伯特不合的布魯門薩爾現(xiàn)在堅定地站在希爾伯特一邊，他也拿出了一封信給整個編輯部傳閱，以此答復布勞威爾的指責。他指出這樣一點：布勞威爾確實是一個非常盡責和活躍的編輯，但他和執(zhí)行編輯們的關(guān)系相處得很不好，他還常常讓作者們處于難以忍受的困境。
盡管如此，辭退還不能生效，還需要愛因斯坦的同意。愛因斯坦的同事馬克思·波恩極力以個人的名義勸說愛因斯坦。在11月27日的回信中，愛因斯坦清楚地表明他嚴格中立的立場。同時寫信給布勞威爾和布魯門薩爾說：“很遺憾，我像一只無知的羔羊甩入了數(shù)學的'狼群’……因此，請允許我保持我的'既不噓又不呸’的態(tài)度，也請允許我扮演一個對他們的行為感到不可思議的角色?！?/p>
布勞威爾給編輯們發(fā)了一封信：指責希爾伯特和布魯門薩爾在《年鑒》編輯部里有“侵占”行為。德克·范·達倫解釋說，在這里，布勞威爾使用這個詞（侵占）有著隱含的寓意。布勞威爾認為，因為信任，《年鑒》交付給了以（御國）數(shù)學家群體為主的編輯們托管，而因為希爾伯特的行為，這種信任被破壞了。在此信之后，布勞威爾接著來了最后一擊：一封長信談了他對為什么他不應該被解雇的基本看法，包括對克萊因事件的另一種解釋。
最后辭退生效，解散老編輯部，組成一個明顯不同地新班子。正如1929年新的封面上所顯示的，只有出版者的名字，沒有編輯成員的名字，至少沒有顯示在封面上，但希爾伯特的名字還保留在封面上。
勝利者和新支持者
看上去，希爾伯特贏了。德克·范·達倫曾仔細研究過這場戰(zhàn)爭，他稱這整個事件是一場因錯誤而造成的悲劇，雖然他認為希爾伯特對布勞威爾很惱火是可以理解的。希爾伯特擔心，一旦有機會，布勞威爾就會把《年鑒》變成直覺主義的堡壘，有趣的是布勞威爾自己的期刊《數(shù)學論文集》也沒有發(fā)揮這種功能。
在余下的36年里，布勞威爾做了很多旅行和演講，但主要集中在數(shù)學的其他領(lǐng)域。對基礎(chǔ)問題來說，他自我孤立、反復無常。
布勞威爾同幾個追隨者一起在直覺主義上做了一些研究，但激動人心的時刻已經(jīng)過去了。盡管作為一個學派的直覺主義不大可能成為一個主導力量，但如果他能夠繼續(xù)堅韌不拔地走下去，直覺主義可能會有更大的影響。作為一個競爭者，形式主義看起來非常受人歡迎。但希爾伯特的勝利并沒有維持多長時間，因為在1930一1931年，年輕的奧地利邏輯學家哥德爾提出了一個證明，該證明在根本上表明希爾伯特的形式主義計劃不可能得到實施。哥德爾的成果震動了整個數(shù)學界，也擊垮了希爾伯特對解決所有數(shù)學問題的樂觀信念。
但希爾伯特堅定的樂觀心態(tài)使他不愿相信這一切。1931年，他在最后的廣播講話中說：“Wir mussen wissen．Wir mussen wissen”（我們必須知道，我們應該知道。）這句話也刻在了他的墓碑上。1943年，他去世了。
頗有意味的長期結(jié)果就是：哥德爾的論文幾乎徹底摧毀了形式主義，于是只有仍然活著的直覺主義者能夠高昂著頭說：“我告拆過你這些?！钡且话愣?，數(shù)學家們傾向于避開基礎(chǔ)問題和數(shù)學哲學問題。
在《數(shù)學雜志》的一篇文章中，恩斯特·斯萊帕寫道：
不過，三個學（邏輯主義、形式主義、直覺主義）仍然有很強大的影響，既然他們曾給我們很多新穎和美妙的數(shù)學知識。這些數(shù)學知識主要關(guān)注集合論，直覺主義和建構(gòu)主義者對它的各種修正，以及數(shù)學邏輯和它的很多分支（包括為計算機發(fā)展所作的基礎(chǔ)研究)。但是，雖然這種數(shù)學經(jīng)常被稱為“數(shù)學的基礎(chǔ)”，但是不能因為我們在這些領(lǐng)域之一工作，我們就可以宣稱，我們在改進數(shù)學哲學。同幾何或分析一樣，現(xiàn)代數(shù)學邏輯、集合論和修正過的直覺主義，現(xiàn)在是數(shù)學的技術(shù)分支。如果我們不直接轉(zhuǎn)回到數(shù)學哲學上來，我們就不要指望能為我們的科學找到一個堅實的基礎(chǔ)。很明顯，對于技術(shù)型的數(shù)學研究來說，這樣一個基礎(chǔ)是不必要的，但在我們中間，還是有很多人渴望找到它。
確實，基礎(chǔ)而統(tǒng)一的數(shù)學理論仍然是難以界定的。斯萊帕相信：“數(shù)學基礎(chǔ)的關(guān)鍵隱藏在邏輯主義、直覺主義和形式主義的哲學根基之中。'
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