13. 四維時空
在科學史上，恐怕沒有哪一個理論，像相對論這樣引發(fā)了這么多的“佯謬”。除了雙生子佯謬之外，還有滑梯佯謬、貝爾的飛船佯謬、轉盤佯謬等等，以及它們的許許多多變種。這些佯謬的產(chǎn)生，根本原因是出于對同時性、時鐘變慢、長度收縮、相對性原理、不同參考系的觀察者、統(tǒng)一時空等等概念的思考和質疑。時間和空間到底是什么？正如公元四世紀哲學家圣·奧古斯丁對“時間”概念的名言：“Ifno one asks me, I know what it is. If I wish to explain it to him who asks, Ido not know.”我把它翻譯成如下兩句：“無人問時我知曉，欲求答案卻茫然?！毕鄬φ撌欠癫糠值鼗卮鹆诉@個問題？盡管眾口難調(diào)，見仁見智，但相對論起碼為我們提供了一種科學的思路和方法，使我們能從物理數(shù)學的理論上較為詳細地詮釋這些概念，何況還有上百年大量實驗結果及天文觀測數(shù)據(jù)的驗證和支持呢。修正尚可，否定不易，起碼不是詆毀謾罵之輩能做到的。
像雙生子佯謬一樣，盡管佯謬本身往往涉及到加速度參考系，但分析和理解這些佯謬并不一定需要廣義相對論，許多相關的問題也并非一定要使用彎曲時空來解釋。況且，正如我們在介紹黎曼幾何時提到的，黎曼流形的每一個局部看起來都是一個歐氏空間。那么，對廣義相對論研究的彎曲時空而言，它的每一個局部看起來便都是一個閔可夫斯基空間。閔可夫斯基4維時空的性質對廣義相對論至關重要，是理解彎曲時空、分析黑洞等奇異現(xiàn)象的基礎。因此，我們有必要在介紹愛因斯坦的引力場方程之前，首先多了解一些閔氏時空。
閔可夫斯基時空是歐氏空間的推廣，仍然是平坦的。閔氏空間與歐式空間的區(qū)別，是在于度規(guī)張量的正定性。在黎曼流形上局部歐氏空間中定義的度規(guī)張量場gij，是對稱正定的。如果將時間維加進去之后，度規(guī)張量便不能滿足“正定”的條件了。將非正定的度規(guī)張量場包括在內(nèi)的話，黎曼流形的概念被擴展為“偽黎曼流形”。比較幸運的是，之前我們所介紹的列維-奇維塔聯(lián)絡及相關的平行移動、測地線、曲率張量等等概念，都可以相應地推廣到偽黎曼流形的情形。
度規(guī)張量是一個二階張量，可以被理解為我們更為熟悉的方形“矩陣”。在矩陣中也有“對稱正定”的概念。所謂對稱矩陣，是指行和列對換后仍然是原來矩陣的那種矩陣。度規(guī)張量的對稱性，是由它的定義決定的：
ds2 = gijdxidxj
實際上，任何矩陣都可以分解成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。根據(jù)以上度規(guī)的定義可知，gij的反對稱部分對ds2的貢獻為0，所以，度規(guī)張量可以被認為是一個對稱矩陣。
矩陣為“正定”的意思可以理解為這個矩陣的所有特征值都是“正”的。歐氏空間度規(guī)的正定性意味著實際空間中的距離（弧長）的平方是一個正實數(shù)ds2= dx2 + dy2 +dz2。因而，歐氏空間的度規(guī)是一個對稱正定的d函數(shù)，
閔可夫斯基時空的度規(guī)仍然是對稱的，但卻不是正定的：dt2= dt2 - dx2 - dy2 - dz2，其度規(guī)記為h函數(shù)。上式中的t是時間，x、y、z是3個空間維坐標，而dt取代了弧長ds，被稱為固有時。
細心的讀者可能會問：時間間隔和空間距離的量綱是不一樣的，怎么把它們的平方加減到一塊兒去了呢？這兒也是使用了一個約定俗成的原則：將光速定義成了1。也就是說，四維時空的度規(guī)本來應該表示成如下形式：c2dt2 = c2dt2 -dx2 - dy2 - dz2，c=1的原則使公式看起來簡潔明了，但我們務必隨時記住這點。
比較歐氏空間和閔氏空間，將它們的度規(guī)d函數(shù)和h函數(shù)寫成矩陣形式：
公式（2-13-2）中，第一維的本征值1對應于時間，其它本征值為-1的3個維度對應于3維空間。
時間和空間統(tǒng)一在4維時空中，是為了數(shù)學上的方便。愛因斯坦的狹義相對論揭示了時間空間的相對性及它們之間通過洛倫茨變換的互相關聯(lián)。然而，時間和空間畢竟是不同的物理概念，時間用時鐘來度量，空間用尺子來度量，將它們在4維時空中分別對應于本質不同的實數(shù)和虛數(shù)，這也反映了“時鐘”和“米尺”不能互變的物理事實。
圖2-13-1a的4維時空圖實際上只畫了3維，包括1個豎直方向的時間維和2個水平空間維。時間軸往上的方向表示未來，向下便代表過去。圖中的圓錐被稱為光錐。以時空中的一點為錐頂?shù)墓忮F將這個點附近的時空分成類時、類光、類空三個部分。
四維時空中的一個點，有時間有地點，按照通常的意義把它叫做一個“事件”。例如，圖2-13-1b中的A點，表示粒子初始時刻t1的空間坐標為(x1,y1)這個“事件”，后來，在時刻t2，粒子運動到了空間位置(x2,y2)，即粒子最后在時空中的位置，這個“事件”用點B(t2,x2,y2)來表示。圖中從A到B的曲線，叫做粒子的“世界線”。
圖2-13-1：四維時空和世界線
世界線，用以描述一個點粒子在時空中的運動軌跡。如果考慮的對象不是一個點，比如說，一條線蟲，它在時空中的軌跡就成為了“事件面”，而要描述像阿扁那樣的2維生物隨時間長大的過程，就是個“世界體”了，見圖2-13-1b。
在上一節(jié)中解讀雙生子佯謬時，將雙生子的兩次相遇當作2維時空中的兩個事件點，然后，便可分別計算兩條世界線的“固有時”再加以比較而得到答案。2維閔氏時空中兩個任意事件之間直線路徑的距離可表示為：
t2 = t2- x2
這個表達式右邊的數(shù)值為正、零、負，分別定義了兩個事件之間的相對關系：是類時、類光、還是類空。如果兩事件的關系是類時的，t代表的才是固有時。類時關系說明兩個事件之間可以有因果關聯(lián)。比如雙生子中的“劉天出生”（事件O），和“劉天返回地球”（事件D）這兩個事件，一定是O在前，D在后，劉天不可能先返回地球再出生，無論從哪個參考系觀察，這個結論都不會改變，這是“類時”的特點和物理意義。如果兩個事件的關系是“類光”，t2 =0，說明它們互相位于另一個的光錐上，只有速度最快的光才能將它們聯(lián)系起來。那么，類空（t2 <0）又是什么意思呢？在類空的情形下，兩個事件之間的間隔無法叫做“固有時”了，因為它的本質已經(jīng)不是時間，而更像空間。它可以被另一個物理量，即“固有距離”s來表征：s2= x2- t2?！邦惪铡闭f明兩個事件之間不可能具有因果關系，除非存在超光速的信號，才能將它們互相聯(lián)系起來，但這是違反狹義相對論的基本假設的。所以，兩個類空事件點之間不可能有真實粒子的“世界線”，真實粒子世界線的位置一定在光錐以內(nèi)，是類時的。類空的兩個事件互相位于對方的光錐之外。
圖2-13-2：二維閔可夫斯基時空中事件之間的關系
如圖2-13-2a中，很容易看出事件之間的關系：相對于事件O而言，事件B、G、F是類時的；事件E是類光的；事件A、C、D是類空的。圖2-13-2b中的事件1和事件2互為類空，類空事件的時間順序可以用坐標變換來改變。比如，從圖2-13-2b中可見，事件1和事件2在Bob的坐標系（黑色）和Alice的坐標系（紅色）中，發(fā)生的時間順序不一樣。在黑色（假設為靜止）坐標系中的Bob看來，發(fā)生在t=0的事件1先于發(fā)生在t=1的事件2。紅色坐標系相對于黑色作勻速直線運動，在其中的觀測者Alice看起來，事件1仍然發(fā)生在t’=0處，但事件2卻是發(fā)生在t’=-1的地方，發(fā)生時間早于事件1發(fā)生的時間。因而，這兩個類空相關的事件不可能有因果關系。
現(xiàn)在，我們再來看看作勻速直線運動的粒子和作勻加速直線運動的粒子的世界線在2維時空中看起來是個什么樣子？圖2-13-2c畫出了它們的曲線形狀。
對于作勻速直線運動粒子的情況，我們早就打過交道，因為洛倫茨變換將靜止的坐標系變換成相對運動的坐標系。比如說，圖2-13-2b中紅色坐標系的時間t’軸，實際上就是（t=0，x=0）的粒子，朝著x方向作勻速運動v的世界線。圖c中的三條紅線，則分別表示t=0時，位于x上不同位置的3個粒子的世界線。也就是說，勻速直線運動粒子的世界線和牛頓力學中將粒子的軌跡表示成時間的函數(shù)是一致的，是一條直線。
下面考慮運動粒子作勻加速直線運動的情況，根據(jù)牛頓力學中x方向的勻加速運動公式：x=(1/2)at2，應該是一條拋物線，但拋物線很快就跑到了光錐的外面，說明速度增加到超過了光速，這顯然不滿足狹義相對論光速極限的假設，見圖2-13-2c。用相對論可以證明，2維閔氏時空中的勻加速運動粒子的世界線不是拋物線，而是無限靠近光錐的雙曲線。“無限靠近光錐”，說明粒子的運動速度越來越大，無限地接近光速，但永遠不等于光速。圖c中的3條藍色曲線，便分別對應于3個不同粒子的世界線。但是，讀者對此可能又有疑問：不是說的是勻加速運動嗎？勻加速運動的加速度應該為常數(shù)，如果速度永遠不能超過光速的話，這“勻加速”又體現(xiàn)在哪兒呢？這點解釋起來有點復雜，不過大家需要明白的是，相對論的關鍵思想是：觀察同一個物理量，不同的參考系將得到不同的數(shù)值。這兒的“加速度不變”，是對于作勻加速運動的參考系中的觀測者自己而言，是他們自已感覺到的加速度，所謂的“固有加速度”不變。當我們坐在加速運動的汽車上的時候，會感到反方向的慣性力，加速度越大，慣性力也越大，人也越會有不舒服的感覺。那條雙曲線表示“勻加速”的意思就是說：沿著這條世界線運動的人將始終保持同樣程度的不舒服感。
閔可夫斯基空間中的勻加速運動坐標系叫做倫德勒（Rindler）坐標。倫德勒坐標有許多有趣的性質，是使用平坦的閔氏空間來分析黑洞附近物理的一個強有力的工具，在倫德勒空間中存在類似于黑洞附近的“視界”之類的概念，甚至于還有與“霍金輻射”相類似的“安魯效應”等量子物理相關的現(xiàn)象。首先弄明白倫德勒空間，對理解真正的黑洞物理有很大幫助，因此，我們將在下一節(jié)中介紹它。
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