研究流形和流形上的物體的數(shù)學(xué)分支叫作微分幾何。在本文中，我們將研究其中的四種對(duì)象——標(biāo)量、逆變向量、1-形式（也稱為協(xié)變向量）和張量。
實(shí)際上，標(biāo)量、逆變向量和協(xié)變向量都是不同類型的張量，但我們首先要把它們看作獨(dú)立的實(shí)體
大多數(shù)作者似乎更喜歡用“1-形式”這個(gè)詞，而不是“協(xié)變向量”，所以這就是我們從現(xiàn)在開(kāi)始要用的。而且，許多作者將逆變向量簡(jiǎn)單地稱為向量。事實(shí)上，我們會(huì)更草率地使用“向量”作為逆變向量和1-形式的通用術(shù)語(yǔ)。希望當(dāng)我特別提到逆變向量的時(shí)候，以及同時(shí)提到逆變向量和1-形式的時(shí)候，上下文環(huán)境能讓你們明白。回想一下逆變向量有一個(gè)上標(biāo)
1-形式有個(gè)下標(biāo)
張量可以沒(méi)有上下標(biāo)，也可以有一個(gè)或多個(gè)標(biāo)。稍后，我們將學(xué)習(xí)張量代數(shù)的規(guī)則，包括張量的scaling等運(yùn)算，一個(gè)張量
乘以一個(gè)標(biāo)量S得到一個(gè)新的張量
一個(gè)張量
對(duì)上 下標(biāo) 求和得到另一個(gè)張量
微分幾何是這些規(guī)律的理論基礎(chǔ)。然而，就像你不需要成為一名汽車工程師來(lái)駕駛一輛車一樣，如果你想操作張量，你也不需要知道所有的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，本文的一些內(nèi)容都是“引擎蓋下”的細(xì)節(jié)——有用但不是必需的。但是，當(dāng)我們開(kāi)始在廣義相對(duì)論中使用張量的時(shí)候，它應(yīng)該能讓你更深入地理解張量是什么。
我們知道，表示大小和方向的量的簡(jiǎn)單矢量，比如速度。我們可以把這些矢量畫成有向線段——一條一端有箭頭的線，箭頭指向矢量的方向。用笛卡爾坐標(biāo)，我們知道向量V由它的分量的乘積組成
以及基向量的集合
得到
因?yàn)檫@些坐標(biāo)軸是很簡(jiǎn)單的直線， 基 向量不需要改變方向。這就是為什么笛卡爾向量很容易使用，因?yàn)?基 向量不會(huì)改變。這類基是常量，稱為非坐標(biāo)基（即它們不隨坐標(biāo)變化）。
在狹義相對(duì)論中，時(shí)空是平的，也可以用笛卡爾坐標(biāo)系來(lái)描述。在狹義相對(duì)論中，我們已經(jīng)看到了幾個(gè)四維向量的例子，包括：
四維位置
四維速度
四維動(dòng)量
四維力
不幸的是，廣義相對(duì)論中使用的矢量并不是空間中從一點(diǎn)延伸到另一點(diǎn)的有向線段。相反，每個(gè)矢量都位于時(shí)空中的一個(gè)點(diǎn)上。事實(shí)上，時(shí)空中的每個(gè)點(diǎn)本身就是一個(gè)矢量空間，并且是無(wú)數(shù)個(gè)矢量的家園。這個(gè)向量空間既是一個(gè)切空間（ 包含 那些被稱為1-形式的對(duì)象）。
逆變向量和1-形式應(yīng)被認(rèn)為是同一幾何物體在時(shí)空中某一點(diǎn)的不同表示。下面將詳細(xì)介紹，但是對(duì)于一個(gè)逆變向量，考慮一個(gè)參數(shù)化曲線的切向量；對(duì)于1-形式，考慮標(biāo)量場(chǎng)的梯度。我們稍后會(huì)看到度規(guī)張量是如何將一個(gè)向量轉(zhuǎn)換成它相應(yīng)的1-形式的，反之亦然。簡(jiǎn)單向量和我們現(xiàn)在討論的更抽象的向量都被稱為“向量”的原因是它們都遵守定義向量空間的規(guī)則。簡(jiǎn)而言之，向量空間由一組對(duì)象（例如稱為群X）組成，這些對(duì)象可以加在一起并乘以一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果將是群X的另一個(gè)成員。
到目前為止，指標(biāo)（上下標(biāo)）都是指特定的坐標(biāo)系：x, y, z表示笛卡爾坐標(biāo)系；r， θ， φ代表球面，等等。微分幾何要求更抽象地使用指標(biāo)，它們可以指任何允許的坐標(biāo)系統(tǒng)。類似地，在廣義相對(duì)論中，因?yàn)槲覀兲幚淼氖菑澢臅r(shí)空，所以沒(méi)有首選的坐標(biāo)系，我們需要能夠從任何一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到任何其他坐標(biāo)系（術(shù)語(yǔ)是，使用的是廣義坐標(biāo)系）。
因此，如果
式1
是舊坐標(biāo)，
式2
是新的坐標(biāo)（μ = 0，1，2，3），那么任何連接式1和式2的函數(shù)都是允許的，只要：
函數(shù)是可微的
時(shí)空中的每一個(gè)點(diǎn)都由一組4個(gè)數(shù)字唯一地標(biāo)記出來(lái)
利用逆變矢量和1-形式的變換性質(zhì)（包括坐標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)），我們可以在不同的坐標(biāo)系之間自由移動(dòng)。
逆變基向量和1-形式的基向量也定義為坐標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。我們不需要詳細(xì)講，但是可以注意到逆變基向量與坐標(biāo)曲線相切（沿著它只有一個(gè)坐標(biāo)改變），1-形式的基向量是坐標(biāo)曲面的梯度（在這個(gè)曲面上只有一個(gè)坐標(biāo)保持不變）。這類基（不像笛卡爾坐標(biāo)系中常存在的非坐標(biāo)基）隨坐標(biāo)變化，稱為坐標(biāo)基。
然而，向量和1-形式（通常是張量的分量的變換性質(zhì)是基無(wú)關(guān)的，這意味著我們通常不需要太擔(dān)心基向量和基1-形式。關(guān)鍵的是，基無(wú)關(guān)意味著如果一個(gè)張量方程在一個(gè)坐標(biāo)系中成立，那么它在所有坐標(biāo)系中也成立。因?yàn)槲覀儍A向于只引用向量的分量，1-形式，等等。
雖然，在廣義相對(duì)論的背景下，我們不能有意義地討論空間中從一點(diǎn)延伸到另一點(diǎn)的有向線段（因?yàn)闀r(shí)空是彎曲的），但我們可以定義時(shí)空中的一個(gè)無(wú)限小位移矢量：
數(shù)學(xué)的力量在于，它允許我們操縱并最終得到物理可測(cè)量的量（時(shí)間、距離、速度、動(dòng)量等）。
任何逆變向量或1-形式都是它的分量和某種基 的 乘積。逆變四維向量通常用字母上的箭頭表示，所以用愛(ài)因斯坦求和約定
式中
分別是的分量和 基向量 。1-形式通常由字母上的波浪線表示，如
所以我，再次使用愛(ài)因斯坦求和約定
其中
分布是分量和基的1-形式。逆變向量線性作用于1-形式（反之亦然），從而得到一個(gè)標(biāo)量（一個(gè)實(shí)數(shù)）。這是可行的，因?yàn)?基 向量和基1-形式之間的關(guān)系是由方程定義的
因此，對(duì)于任何一種形式的向量
這是一個(gè)標(biāo)量。
在研究逆變向量和1-形式的變換性質(zhì)之前，我們先看看當(dāng)我們從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系時(shí)標(biāo)量場(chǎng)會(huì)發(fā)生什么。 這 是下一篇文章的內(nèi)容了。
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