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皮耶·德·費(fèi)馬(Pierre de Fermat)是一個17世紀(jì)的法國律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。之所以稱業(yè)余，是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作。

費(fèi)爾馬點(diǎn)就是三角形內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)。 對于一個頂角不超過120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120度的點(diǎn)。 對于一個頂角超過120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)就是最大的內(nèi)角的頂點(diǎn)。

費(fèi)爾馬是如何找到費(fèi)爾馬點(diǎn)的呢？

我們先來解決下面的問題：

問題1：如圖1，已知點(diǎn)P是邊長為1的等邊△ABC內(nèi)的點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值。

分析：由于PA，PB，PC三線共點(diǎn)，它們和的大小不利于與其它線段的大小進(jìn)行比較，先設(shè)法將它們轉(zhuǎn)化為三條首尾相接的折線，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定三條線段的位置關(guān)系。

保持線段PA不動，考慮將PB、PC變換到新的位置，因此，將△PBC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，到△QBD，則PB=BQ，PC=QD，∠PBQ=60°，

連接PQ，AD。則△PBQ是等邊三角形，

所以PB=PQ，

所以PA+PB+PC=AP+PQ+QD≥AD，

所以當(dāng)A、P、Q、D四點(diǎn)共線時，

PA+PB+PC最小=AD，此時，

因?yàn)椤螧PQ=∠BQP=60°，

所以∠APB=∠BQD=120°，

所以∠BPC=∠BQD=120°，

所以∠APC=360°-120°-120°=120°，

所以點(diǎn)P為正△ABC的中心，

所以PA+PB+PC=3PA=2√3.

所以PA+PB+PC的最小值為2√3.

問題2：如圖2，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，P是△ABC內(nèi)的點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值。

分析：仿照問題1的思路，將△PBC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，到△QBD，則PB=BQ，PC=QD，∠PBQ=60°，

連接PQ，AD。則△PBQ是等邊三角形，

所以PB=PQ，

所以PA+PB+PC=AP+PQ+QD≥AD，

所以當(dāng)A、P、Q、D四點(diǎn)共線時，

PA+PB+PC最小=AD，此時，

因?yàn)椤螧PQ=∠BQP=60°，

所以∠APB=∠BQD=120°，

所以∠BPC=∠BQD=120°，

所以∠APC=360°-120°-120°=120°，

所以△PAC≌△PBC，

所以PA=PB，

所以∠PAB=∠PBA=30°，

延長CP交AB于E，則AE=BE=CE=√2/2，

所以PA=PB=√2/2÷√3/2=√6/3，PE=√6/6，

所以PC=√2/2-√6/6，

所以PA+PB+PC的最小值為2√6/6+√2/2-√6/6=√6/6+√2/2.

有了問題1、問題2的解決方法，對于尋找費(fèi)爾馬點(diǎn)是不是不需要費(fèi)吹灰之力就可以找到了呢？