第二十九章：關(guān)于楊—米爾斯理論，有100萬的獎(jiǎng)金等著你！
學(xué)習(xí)高等物理的人，都知道楊-米爾斯理論。但還有很多人還是不知道這個(gè)理論講了什么，有多重要，今天我們一起來看看這個(gè)理論。
楊-米爾斯理論是一種基于SU(N)群的規(guī)范理論。在1953年，沃爾夫?qū)づ堇畛鯇懴铝诉@類的規(guī)范理論，概括了五維的卡魯扎-克萊因理論。 但他發(fā)現(xiàn)到無法讓當(dāng)中的規(guī)范玻色子帶有質(zhì)量，所以選擇不發(fā)表他的成果。
雖然這項(xiàng)成果沒有正式寫成論文發(fā)表，但他在之后的演講中談?wù)撨^這個(gè)理論。
1954年，楊振寧與羅伯特·米爾斯寫下了現(xiàn)今使用的楊-米爾斯理論，將原本可交換群的規(guī)范理論（應(yīng)用的量子電動(dòng)力學(xué)）拓展到不可交換群，以解釋強(qiáng)相互作用，因此又稱作非阿貝爾規(guī)范場論。
最初這個(gè)構(gòu)想并不成功。其原因在于楊-米爾斯理論的量子必須質(zhì)量為零以維持規(guī)范不變性。如果其作用粒子質(zhì)量為零，則其作用是長程作用力。然而實(shí)驗(yàn)上沒有觀察到長程力的作用。因此，這個(gè)理論在當(dāng)時(shí)并未受到重視。
一直到1960年代南部陽一郎、杰弗里·戈德斯通、等人開始運(yùn)用對稱性破缺的機(jī)制，從零質(zhì)量粒子的理論中去得到帶質(zhì)量的粒子，楊-米爾斯理論的重要性才顯現(xiàn)出來。
楊-米爾斯（Yang-Mills）理論，是現(xiàn)代規(guī)范場理論的基礎(chǔ)，20世紀(jì)下半葉重要的物理突破，旨在使用非阿貝爾李群描述基本粒子的行為，是由物理學(xué)家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的。這個(gè)理論對今天的標(biāo)準(zhǔn)模型形成起了重要作用。這一理論中出現(xiàn)的楊－米爾斯方程是一組數(shù)學(xué)上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。
首先我們還是對這兩位科學(xué)家做一個(gè)簡單的介紹吧。楊振寧，1922年10月1日出生于安徽合肥，世界著名物理學(xué)家，現(xiàn)任香港中文大學(xué)講座教授、清華大學(xué)教授、美國紐約州立大學(xué)石溪分校榮休教授，他還是中國科學(xué)院院士、美國國家科學(xué)院院士、臺灣“中央研究院”院士、俄羅斯科學(xué)院院士、英國皇家學(xué)會會員，1957年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)；是中美關(guān)系松動(dòng)后回中國探訪的第一位華裔科學(xué)家，積極推動(dòng)中美文化交流和中美人民的互相了解；在促進(jìn)中美兩國建交、中美人才交流和科技合作等方面，做出了重大貢獻(xiàn)。
而另一位科學(xué)家全名是羅伯特·勞倫斯·米爾斯（英文：Robert Laurence Mills，1927年4月15日－1999年10月27日），美國物理學(xué)家，生于新澤西州恩格爾伍德。1956年成為俄亥俄州立大學(xué)的物理學(xué)教授。主要貢獻(xiàn)是與楊振寧合作的楊-米爾斯理論。
1954年，楊—Mills規(guī)范場論（即非阿貝爾規(guī)范場論）發(fā)表。這個(gè)當(dāng)時(shí)沒有被物理學(xué)界看重的理論，通過后來許多學(xué)者于20世紀(jì)60年代到20世紀(jì)70年代引入的自發(fā)對稱破缺觀念，發(fā)展成標(biāo)準(zhǔn)模型。這被普遍認(rèn)為是20世紀(jì)后半葉基礎(chǔ)物理學(xué)的總成就。
楊振寧和Mills的論文，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)講，是從描述電磁學(xué)的阿貝爾規(guī)范場論到非阿貝爾規(guī)范場論的推廣。而從物理觀點(diǎn)上講，是用此種推廣發(fā)展出新的相互作用的基礎(chǔ)規(guī)則。
在主宰世界的4種基本相互作用中，弱電相互作用和強(qiáng)相互作用都由楊—Mills理論描述，而描述引力的愛因斯坦的廣義相對論也與楊—Mills理論有類似之處。楊振寧稱此為“對稱支配力量”。楊—Mills理論是20世紀(jì)后半葉偉大的物理成就，楊—Mills方程與Maxwell方程、Einstein方程共同具有極其重要的歷史地位。
很抱歉，沒有找到一張關(guān)于羅伯特·勞倫斯·米爾斯照片，他由于后來沒有其他的理論發(fā)現(xiàn)，所以沒有楊振寧知名。但是我們依然不應(yīng)該忘記他。
通過上面的介紹，大家知道了，楊—米爾斯理論也是一個(gè)非線性波動(dòng)方程。這個(gè)很重要。他和愛氏的場方程，以及麥克斯韋方程組具有同樣重要的地位，都是劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)。
那么這個(gè)理論最初是為了解決上面問題呢？它起源于對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統(tǒng)一理論，已經(jīng)為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，特別是這理論所預(yù)言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)。
楊－米爾斯理論又為研究強(qiáng)子（參與強(qiáng)相互作用的基本粒子）的結(jié)構(gòu)提供了有力的工具。
楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系。基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。
盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。特別是沒有被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。
不知道大家發(fā)現(xiàn)沒有，看過我物理科普書籍《變化》的朋友一定會想到愛氏的場方程的。愛氏場方程也是很難有確切解，也是非線性波動(dòng)方程。這和楊—米爾斯理論有很大的相似之處。
一貫的想法讓我不認(rèn)為這是偶然，所有描述最根本的宇宙方程，都顯示了其深刻的波動(dòng)性，開放性。這對于前面我們提到的諸多定律，比如波粒二象性，不確定原理等，都有深刻影響。
一起來看看這個(gè)方程吧，雖然我們看不懂它。但看和不看是兩個(gè)概念。一直不看，永遠(yuǎn)看不懂。
再發(fā)一個(gè)愛氏的場方程大家看看。關(guān)于愛氏場方程的基本認(rèn)識，大家可以去看看我的《變化》，會有啟發(fā)的。
有一點(diǎn)值得一提，那就是楊振寧的楊—米爾斯理論，和愛氏的相對論，都影響很大，但兩個(gè)人都沒有因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)。兩個(gè)人都是因?yàn)槠渌碚摣@得諾貝爾獎(jiǎng)的。 楊是因?yàn)楹屠钫捞岢觥叭跸嗷プ饔弥杏罘Q不守恒理論”而獲獎(jiǎng)。愛氏是因?yàn)楣怆娦?yīng)理論獲獎(jiǎng)。
大家也看到了，由于這個(gè)理論的方程是非線性波動(dòng)方程，所以方程沒有能力為大家講，這也是世界性難題。期待中國的學(xué)生，多去研究。
不過為了讓大家理解這個(gè)理論，還要要補(bǔ)充的。上面說了，楊振寧和Mills的論文，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)講，是從描述電磁學(xué)的阿貝爾規(guī)范場論到非阿貝爾規(guī)范場論的推廣。
非阿貝爾規(guī)范場是為了描述原子核里的核子們(當(dāng)時(shí)認(rèn)為就是質(zhì)子和中子)為什么會被緊緊拉在一起，而不會被正電之間強(qiáng)烈的排斥力而炸開(質(zhì)子們帶正電，是互相排斥的)，而設(shè)想的一種作用力場。
電磁力是由電磁場傳播的。電荷及其運(yùn)動(dòng)所形成的電流產(chǎn)生了電磁場，場傳出去后可以作用在遠(yuǎn)處電荷和電流上。于是，楊振寧和Mills也設(shè)想了一種類似電磁場的別的場來傳遞核力，那就是非阿貝爾規(guī)范場。
這個(gè)設(shè)想看似容易，其實(shí)很難。最重要的是，楊振寧和Mills此時(shí)極大地推廣了場和荷的含義。他們設(shè)想了一種更為復(fù)雜的荷(當(dāng)然不能再叫電荷了)和它們所產(chǎn)生的場：這些荷和場都不是普通的實(shí)數(shù)能表示的，它們是一些矩陣。矩陣的乘法是不能交換的，這種乘法的不交換性叫“非阿貝爾”的。因此也叫非阿貝爾規(guī)范場。對那些學(xué)過物理的人應(yīng)該說明的是：學(xué)過量子力學(xué)的人知道，量子理論里力學(xué)變量可以表示成矩陣。但這里說的場和荷表示成矩陣不是由于量子化的結(jié)果，而是在經(jīng)典物理的意義上它們就是矩陣。
楊-Mills的那篇文章是1954年發(fā)表的。那時(shí)這個(gè)理論中還有幾個(gè)關(guān)鍵的問題不能解決（比如質(zhì)量問題，量子化和重整化之類，這是些更為專業(yè)的名詞，只有研究這個(gè)方向的理論物理博士們才學(xué)的）。而且在隨后的六十年代，物理學(xué)界對于用場的觀點(diǎn)描述核力是較為悲觀的，那時(shí)別的觀點(diǎn)在物理學(xué)家中占主流。
不過后來，經(jīng)過幾位物理學(xué)家近二十年左右的持續(xù)探索，解決了所有原來不能解決的問題。而且，后來找到了別的不同的荷（當(dāng)時(shí)還不知道呢）分別能產(chǎn)生強(qiáng)力和弱力（核力就分這兩種力）。但它們用的數(shù)學(xué)形式都是類似的，都是楊-Mills理論。不同的是其中矩陣的大小不一樣：有2乘2的、有3乘3的；如果所用的矩陣是1乘1的，那它就是以前的法拉第和麥克斯韋的電磁理論。到了七十年代末，就知道自然界的所有基本作用力--引力，電磁力，弱力，強(qiáng)力中，除引力外的其它三種力都能用楊-Mills場描述。 這就是可以看出這個(gè)理論對物理學(xué)的影響有多大了。
楊振寧和Mills所設(shè)想的那種古怪的荷叫做"同位旋"。他們把描述電磁場的麥克斯韋理論做了一個(gè)優(yōu)美而且深刻的推廣，得到一個(gè)新方程，后來就叫楊-Mills方程。當(dāng)然比麥克斯韋方程普遍得多也復(fù)雜得多了。至于推廣的方法，是依據(jù)了一個(gè)來自電磁理論的原理，叫做“定域規(guī)范不變原理”。這個(gè)我會在下一章給大家做介紹。
有的物理學(xué)家指出，物理學(xué)基本定律可以寫在一件文化衫上（意思是很簡潔）。從牛頓時(shí)代開始，物理的主要目標(biāo)就是描述物質(zhì)結(jié)構(gòu)、相互作用和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。隨著物理學(xué)的發(fā)展，這個(gè)簡單的目標(biāo)又進(jìn)一步被簡化了。因?yàn)楹髞碇牢镔|(zhì)其實(shí)也是場，不過是所謂的“量子場”的一種。因此物理學(xué)最基本的定律就是描述各種場的運(yùn)動(dòng)和它們之間的作用。現(xiàn)在如果要做那樣一件物理學(xué)文化衫的話，可以肯定地說，楊-Mills方程是一定應(yīng)該寫上的。
有些人提出比如這類質(zhì)疑：有的說楊-Mills理論后面的很多進(jìn)展不是他們做的，是別的物理學(xué)家做的，怎么還說他們的貢獻(xiàn)那么大。還有的說楊-Mills方程最初的出發(fā)點(diǎn)是“錯(cuò)的”，怎么還說那么重要。前一類疑問很容易解釋。確實(shí)，楊-Mills理論在物理上取得這么大的成功，包括了前后好多位物理學(xué)家的貢獻(xiàn)。如Higgs,Veltman,t''Hooft,Gross,Wilczek,Politzer,Weinberg,Salam等。其中好幾位得到了諾貝爾獎(jiǎng)，但Higgs還沒得。還有數(shù)學(xué)家，如量子化楊-Mills場的俄國數(shù)學(xué)家Faddeev和Popov，他們也沒得諾貝爾獎(jiǎng)，同樣楊振寧也不是因?yàn)樘岢鰲?Mills場得的諾貝爾獎(jiǎng)。
如此多人的貢獻(xiàn)，如果整個(gè)是由一個(gè)人作出來的，那他的成就和愛因斯坦一樣大了，甚至可以說是超過愛因斯坦！只有愛因斯坦曾經(jīng)以一人之力建立了相對論。其它的物理理論，如量子力學(xué)，特別是后來的量子場論，都是由很多人，有時(shí)是經(jīng)過幾代人很多年的持續(xù)努力才建立起來的。
此外，關(guān)于楊—米爾斯理論這個(gè)方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究至今還是國際上懸賞最高的幾個(gè)數(shù)學(xué)問題之一。比如你可以搜索“千禧數(shù)學(xué)問題”，它們是美國克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute,CMI）于2000年公布的七個(gè)數(shù)學(xué)難題。根據(jù)克雷數(shù)學(xué)研究所訂定的規(guī)則，每解破一題獎(jiǎng)金100萬美元。這幾個(gè)問題是：
P/NP問題，
霍奇猜想，
龐加萊猜想，
黎曼假設(shè)，
楊-米爾斯存在性與質(zhì)量間隙，
納維-斯托克斯存在性與光滑性，
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想。
解決其中任何一個(gè)問題，你就是擁有最強(qiáng)大腦的人物。知識改變命運(yùn)，從來不是一句謊言。你相信它，它才能改變你。。
摘自獨(dú)立學(xué)者，詩人，作家，國學(xué)起名師靈遁者量子力學(xué)書籍《見微知著》
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