陸啟鏗院士與龔昇教授同是華羅庚先生在多復(fù)變函數(shù)論領(lǐng)域的衣缽傳人。陸老深得華老真?zhèn)鳎嘤艘早娂覒c、周向宇為代表的杰出接班人，使得華老開創(chuàng)的中國(guó)多復(fù)變學(xué)派至今方興未艾。陸啟鏗是華派承前啟后的一代宗師，本文將簡(jiǎn)要介紹陸啟鏗先生在傳承華羅庚先生多復(fù)變領(lǐng)域繼往開來(lái)的成就。
陸啟鏗1927年5月17日生于廣東佛山，幼時(shí)因小兒麻痹癥導(dǎo)致雙腿殘疾。家里本就貧寒，1938年日軍侵占廣東，舉家逃往澳門，住貧民窟。那個(gè)年代，面對(duì)如此殘酷的現(xiàn)實(shí)，一般人很可能就向命運(yùn)屈服而聽天由命了。但陸啟鏗身殘志堅(jiān)，以頑強(qiáng)的毅力自學(xué)了小學(xué)和初中的所有課程，以同等學(xué)力考入高中并獲得清貧獎(jiǎng)學(xué)金。1945年，陸啟鏗以優(yōu)異成績(jī)高中畢業(yè)，并以第一名的成績(jī)被中山大學(xué)提前招生的先修班錄取。但由于家里經(jīng)濟(jì)困難無(wú)力負(fù)擔(dān)學(xué)費(fèi)，他不得不放棄入學(xué)機(jī)會(huì)，先去小學(xué)教書。次年，陸啟鏗又被中山大學(xué)數(shù)學(xué)天文系錄取，他從此開始了半工半讀的四年本科生涯。他的任課老師中有后來(lái)著名的幾何學(xué)家和教育家黃用諏（1913—2004）。
1950年，陸啟鏗大學(xué)畢業(yè)，因品學(xué)兼優(yōu)而留校任教。陸啟鏗的畢業(yè)論文是關(guān)于單復(fù)變模函數(shù)的讀書筆記。他從文獻(xiàn)得知，單復(fù)變自守函數(shù)（包括模函數(shù)為特殊情形）理論已經(jīng)十分完備，但對(duì)多復(fù)變的自守函數(shù)，國(guó)內(nèi)只有華羅庚一人研究，因此他寫信給華羅庚，表達(dá)了想追隨華先生學(xué)習(xí)的希望。華羅庚慧眼識(shí)英，次年就把陸啟鏗調(diào)到新成立的中科院數(shù)學(xué)所工作，陸啟鏗因此成為華羅庚1950年自美回國(guó)后的首批學(xué)生之一。
華羅庚在晚年寫給朋友H. Halberstam的信中說(shuō)，40歲到50歲之間的十年（1950-1959）是他人生中的黃金時(shí)代。這主要是因?yàn)椋谀莻€(gè)煥發(fā)著生機(jī)的美好時(shí)代，他的思想成熟了，開創(chuàng)了高水平的數(shù)學(xué)研究（主要是多復(fù)變），并通過(guò)組織討論班而培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的人才。陸啟鏗和龔昇追隨他研究多復(fù)變（重點(diǎn)在調(diào)和分析），萬(wàn)哲先、曾肯成追隨他研究代數(shù)（典型群），王元、陳景潤(rùn)在他指導(dǎo)下研究數(shù)論（哥德巴赫猜想）。這期間華羅庚出版了三部著作：《堆壘素?cái)?shù)論》（1953年，1940年就寫好，但直到解放后才出版，陳景潤(rùn)正是因?yàn)樽x這本書發(fā)現(xiàn)有可以改進(jìn)的地方而被華羅庚調(diào)到中科院數(shù)學(xué)所工作），《數(shù)論導(dǎo)引》（1957年，國(guó)內(nèi)近代第一本高等數(shù)論教科書），《多復(fù)變函數(shù)論中典型域的調(diào)和分析》（1958年出版，1955年華羅庚憑借這方面的貢獻(xiàn)而獲得了國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)，同年獲得一等獎(jiǎng)的還有吳文?。菍?duì)始于1952年的多復(fù)變研究工作——部分與陸啟鏗合作完成——的全面總結(jié)，正是它（以下簡(jiǎn)稱《典型域的調(diào)和分析》），奠定了華羅庚在國(guó)際數(shù)學(xué)界的地位，并先后被譯成俄文和英文。
調(diào)和分析，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，就是用李群的表示論來(lái)研究具有某種對(duì)稱性的空間上的函數(shù)。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子是我們熟知的傅里葉分析，傳統(tǒng)上理解為將一個(gè)周期（比如說(shuō)為2π）函數(shù)分解為正余弦函數(shù)的組合，而近代的觀念則視為單位圓旋轉(zhuǎn)群U(1)的表示論，此時(shí)正余弦函數(shù)的復(fù)數(shù)版本指數(shù)函數(shù)作為群的特征標(biāo)出現(xiàn)。調(diào)和分析因此也稱作傅里葉分析。
從單位圓旋轉(zhuǎn)群（可以視為最簡(jiǎn)單的李群）到一般的李變換群，是挪威數(shù)學(xué)家李（S. Lie）的杰出工作；他提出的李群是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念。而將調(diào)和分析從單位圓群推廣到一般的李群，則要追溯到外爾（H. Weyl）1920年代的工作（部分與他的學(xué)生F. Peter 合作完成）。自外爾以后，在華羅庚之前，調(diào)和分析的進(jìn)一步發(fā)展歸于嘉當(dāng)（E. Cartan）與韋伊（A. Weil）在1930-1950年間的工作。
華羅庚在調(diào)和分析方面的工作與嘉當(dāng)和外爾的工作密切相關(guān)，華羅庚從嘉當(dāng)?shù)墓ぷ髦刑崛〕隽硕鄰?fù)變函數(shù)論的演出舞臺(tái)——不可約有界對(duì)稱域，并仿照外爾“典型群”的提法，將其中的四大類命名為“典型域”。典型域可以視為典型群的齊性空間；一個(gè)自然的問(wèn)題是，像外爾對(duì)典型群的調(diào)和分析一樣，完成典型域的調(diào)和分析，這是華羅庚的最大成就。從這個(gè)意義上講，華羅庚師承外爾。
事實(shí)上，在1946年訪問(wèn)普林斯頓高等研究院（以下簡(jiǎn)稱IAS）之前，華羅庚早在1940年就開始與外爾通信，表達(dá)了想要去IAS跟隨外爾、特別是西格爾（C. L. Siegel）研究自守函數(shù)的愿望。華羅庚的許多文章曾直接寄給外爾評(píng)閱，外爾對(duì)華羅庚的指導(dǎo)要遠(yuǎn)甚于今天普通的導(dǎo)師—研究生之誼。華羅庚在一封信中曾請(qǐng)教外爾，學(xué)習(xí)拓?fù)淙涸撊绾沃??？梢韵胍?，外爾向他推薦了自己的書《典型群及其不變量和表示》（下簡(jiǎn)稱《典型群》），可以從華羅庚的弟子馮克勤那里得到佐證：
華羅庚在討論班和日常談話中有許多觀點(diǎn)是大家熟知的,例如他把“班門弄斧”反其道而行之,主張“弄斧一定到班門”,即研究工作一定要與大師交手,才會(huì)有所提高。他主張讀書要“從薄變厚,再?gòu)暮褡儽 ?并舉例說(shuō)他花了兩年的功夫念Weyl的《典型群》,終于弄懂了其中的精髓。我們?cè)谒闹鳌兜湫陀虻恼{(diào)和分析》中看到他是如何把群表示加以消化,用自己獨(dú)特的矩陣技巧表達(dá)出來(lái)。
限于筆者學(xué)識(shí)，這里我們現(xiàn)在只簡(jiǎn)要介紹華羅庚先生本人在典型域的調(diào)和分析方面的一項(xiàng)工作。首先要指出，典型域是很具體的，都可用矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，“典型”的含義即在此。原則上講，四類典型域幾乎是平行的，因此只要看其中一類。筆者猜測(cè)，華老最感興趣的是第一類典型域
這是單復(fù)變所熟悉的單位圓盤（m=n=1 ）的推廣。我們這里采取華老在其名著《從單位圓談起》所建議的方法，先講講這個(gè)經(jīng)典結(jié)果。
調(diào)和分析中一個(gè)重要的不變微分算子是Laplace-Beltrami算子，它是通常的Laplace算子的（不變）推廣，所以調(diào)和分析中一個(gè)基本的問(wèn)題是，求解Laplace方程。比如單位圓盤的Dirichlet問(wèn)題（即Laplace方程的邊值問(wèn)題）。這在歷史上是有名的問(wèn)題，其解通過(guò)著名的Poisson公式得到，而第一個(gè)予以嚴(yán)格證明的是德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨（H. Schwarz）。
華羅庚與陸啟鏗合作完成的一個(gè)重要工作，就是對(duì)四類典型域求解Dirichlet問(wèn)題，這相當(dāng)將于Schwarz工作從單位圓延拓到典型域。華羅庚注意到，正如單位圓盤的邊界（即單位圓周）是一個(gè)李群，（方陣情況下的）第一類典型域的邊界恰好是酉群U(n) （unitary group，將unitary譯為酉是華羅庚首創(chuàng)，類似的，還有辛群的譯名）。既然開單位圓的Poisson公式給出了關(guān)于連續(xù)周期函數(shù)的Weierstrass逼近定理（連續(xù)周期函數(shù)可以用三角多項(xiàng)式一致逼近）的一個(gè)證明（Abel求和），類似地， 的Poisson公式也可以給出酉群上的連續(xù)函數(shù)的Peter-Weyl定理的一個(gè)證明。這個(gè)洞察一定令華羅庚特別激動(dòng)，因?yàn)檫@是對(duì)他的老師外爾代表成就的繼承與發(fā)揚(yáng)，可惜外爾在1955年已經(jīng)去世，無(wú)法看到他的學(xué)生取得的成就了。
然而，到這里故事還只講了一半，要講另一半就必須提到華羅庚在多復(fù)變的另一位弟子龔昇。龔昇原本是復(fù)旦大學(xué)陳建功門下的大弟子，因緣際會(huì)轉(zhuǎn)至華羅庚門下搞多復(fù)變。龔昇在三角級(jí)數(shù)方面有背景，所以他能從華羅庚的上述觀察中得到進(jìn)一步的啟發(fā)。
要說(shuō)清楚，我們還是先回到單位圓周上連續(xù)函數(shù)的Weierstrass定理，除了借助Poisson公式的Abel求和法（Schwarz的證明），該定理在歷史上還有一個(gè)更美妙簡(jiǎn)單的證明，這就是匈牙利數(shù)學(xué)家費(fèi)耶（L. Fejér）1900年提出的平均求和法，這是通常出現(xiàn)在當(dāng)今數(shù)學(xué)分析教材中的證明。簡(jiǎn)而言之，其要點(diǎn)是，雖然一般來(lái)說(shuō)，連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)未必一致收斂到該函數(shù)，但若對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的部分和取平均，則得到的新序列一致收斂到原來(lái)的函數(shù)。順便提一句，費(fèi)耶恰好是施瓦茨最得意的學(xué)生。
費(fèi)耶定理是華羅庚本人所熟悉的，1950年他曾作為中國(guó)的代表參加匈牙利為慶祝費(fèi)耶和黎斯（F. Riesz）70大壽而組織的學(xué)術(shù)會(huì)議，并跟費(fèi)耶分享了費(fèi)耶平均化在他的數(shù)論工作中的應(yīng)用，這令費(fèi)耶非常高興。然而，也許是華羅庚的想法比較噴發(fā)（eruptive，外爾在比較華羅庚與陳省身時(shí)的用語(yǔ)），以至于當(dāng)1958年他考慮用Abel求和法重新證明酉群的Peter-Weyl定理時(shí)，并沒有立即聯(lián)想到應(yīng)用更簡(jiǎn)單的費(fèi)耶平均求和法的可能。
而龔昇看出了這一可能，從而將費(fèi)耶的經(jīng)典工作從單位圓群推廣到酉群?！拔母铩敝?，他進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生將這些結(jié)果延伸到正交群和酉辛群，并將這些成果總結(jié)在1983年出版的《典型群上的調(diào)和分析》一書中。華老親自為此書作序，這大概是華老唯一一次為他人的著作寫序（還有一次是為他的精神導(dǎo)師——蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫——的《數(shù)論基礎(chǔ)》之中譯本寫導(dǎo)讀）。當(dāng)然，這其中可能有歷史原因，隨著“大躍進(jìn)”運(yùn)動(dòng)的到來(lái)，從1958年開始，華羅庚離開了中科院數(shù)學(xué)所，出任同年成立的中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)（以下簡(jiǎn)稱科大）副校長(zhǎng)。（科大后來(lái)培養(yǎng)了如此多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才與此關(guān)系很大。）龔昇隨華羅庚一起調(diào)到科大工作，而陸啟鏗則留在了數(shù)學(xué)所（也許是考慮到其行動(dòng)不便）。由于當(dāng)時(shí)整個(gè)大環(huán)境是提倡應(yīng)用數(shù)學(xué)，華羅庚在理論方面的許多工作都中止了。龔昇帶領(lǐng)學(xué)生完成這方面的工作，自然令他欣喜。
可以想見，在為龔昇的書作序時(shí)，華羅庚一定非常懷念外爾，甚至?xí)氲?，如果?dāng)年外爾能為他的《典型域的調(diào)和分析》作序該有多好！從華羅庚的《典型域的調(diào)和分析》到龔昇的《典型群上的調(diào)和分析》，代表著從華羅庚到外爾的回歸（毋寧說(shuō)是回饋吧）！
到此為止，這個(gè)故事才算講完了，大致說(shuō)來(lái)，施瓦茨、費(fèi)耶師徒對(duì)單位圓盤和單位圓周所做的工作，被華羅庚、陸啟鏗、龔昇等推廣到典型域和典型群。我們以下還會(huì)提到施瓦茨，華羅庚、陸啟鏗、龔昇的先行者。
龔昇的學(xué)生鄭學(xué)安等后來(lái)進(jìn)一步研究了緊李群和緊齊性空間的調(diào)和分析，這總結(jié)在2000年出版的《緊致齊性空間上的調(diào)和分析》一書中。龔昇在《繼承與發(fā)揚(yáng)華羅庚先生在多復(fù)變函數(shù)方面的工作》一文中曾感嘆：
從1958年華老發(fā)表群上調(diào)和分析的第一篇文章，到2000年鄭學(xué)安的書出版，先后42年，經(jīng)歷了三代人的努力，才大致完成了華老在1964年“修訂版序”中所說(shuō)的“酉群尚且如此，就不要說(shuō)酉群之外的其它緊致群和齊性空間的推廣了?！笨上У氖牵A羅庚已經(jīng)看不到這些工作了……
跟龔昇一樣，陸啟鏗也是華派中承前啟后繼往開來(lái)的中流砥柱。
1959年，受華羅庚委托，陸啟鏗接受程民德的邀請(qǐng)，到北大數(shù)學(xué)系為包括鐘家慶、殷慰萍、陳志華、石赫在內(nèi)的10名五年級(jí)學(xué)生開一門多復(fù)變函數(shù)課程，其講義形成兩部著作：教材《多復(fù)變數(shù)函數(shù)引論》（1961年）和研究專著《典型流形與典型域》（1963年）。
1958年“大躍進(jìn)”運(yùn)動(dòng)一來(lái)，北大提出了“打倒歐家店，火燒柯西樓”的口號(hào)（歐指歐幾里得），多復(fù)變也有柯西公式，殃及到陸啟鏗。學(xué)生質(zhì)問(wèn)他，多復(fù)變是如何產(chǎn)生的。陸啟鏗說(shuō)，最初是由推廣單復(fù)變的一些結(jié)果產(chǎn)生的。學(xué)生接著問(wèn)，多復(fù)變有什么實(shí)際應(yīng)用，他說(shuō)到目前為止還不知道。學(xué)生說(shuō)，毛主席教導(dǎo)我們說(shuō)，真正的理論是從實(shí)際中來(lái)，又可以反過(guò)來(lái)指導(dǎo)實(shí)際，多復(fù)變違反了毛主席對(duì)理論的論述，它不是科學(xué)的理論；換句話說(shuō)，是偽科學(xué)。陸啟鏗感覺壓力很大。
幸好后來(lái)數(shù)學(xué)所的理論物理學(xué)家張宗燧告訴他，多復(fù)變函數(shù)正在應(yīng)用于量子場(chǎng)論中色散關(guān)系的證明。這令陸啟鏗轉(zhuǎn)憂為喜，于是他請(qǐng)戴元本為他講量子場(chǎng)論。他由此而了解了1958年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上蘇聯(lián)數(shù)學(xué)物理學(xué)家提出的著名的“擴(kuò)充未來(lái)光管猜測(cè)”。并由此將其興趣延伸到數(shù)學(xué)物理。
此后的工作，陸啟鏗基本上都是獨(dú)立完成的，我們僅選三項(xiàng)有代表性的略加介紹。
一 、施瓦茨引理的推廣（1957年）。
眾所周知，在單復(fù)變中，為確定單位圓盤的自同構(gòu)群，需要用到著名的施瓦茨引理。1938年，芬蘭數(shù)學(xué)家阿爾福斯（L. Ahlfors）揭示了單復(fù)變中的施瓦茨引理與微分幾何中曲率之間的深刻聯(lián)系。1957年，陸啟鏗在《多復(fù)變數(shù)函數(shù)的Schwarz引理》一文中成功地將施瓦茨引理推廣到多復(fù)變，并引入了以他命名的著名不變量——陸啟鏗不變量。由此可立即推出，卡拉西奧多里（Carathéodory）微分度量不超過(guò)伯格曼（Bergman）度量。在回顧華老對(duì)他的影響時(shí)，他曾特別提這一點(diǎn)：
華老對(duì)我的研究工作，在思想方法上、在技巧運(yùn)用上的影響，在我的論文中是到處可見的。我在20世紀(jì)50年代中期，曾花了幾年的時(shí)間想把單復(fù)變函數(shù)的Schwarz引理推廣到多復(fù)變函數(shù)，花了許多氣力，證明要差一個(gè)與曲率有關(guān)的常數(shù)因子才能成立。華老一聽我說(shuō)這個(gè)結(jié)果，便說(shuō)這個(gè)因子可能就是一個(gè)解析不變量。經(jīng)華老一語(yǔ)道破之后，我果然很容易就證明它確是一個(gè)解析不變量，所以我在發(fā)表的文章中特別說(shuō)明，這是由華羅庚教授所啟發(fā)的靈感。不久?？怂?/span>（B. A.Fuks）把這結(jié)果放進(jìn)他新出版的專著中，有的人稱之為“陸啟鏗不變量”，其實(shí)應(yīng)該說(shuō)是由華羅庚所啟發(fā)的不變量。
20年后的1977年，美國(guó)數(shù)學(xué)家哈恩（K. T. Hahn）重新發(fā)現(xiàn)了陸啟鏗的結(jié)果并發(fā)表。在加州伯克利大學(xué)一次數(shù)學(xué)家報(bào)告會(huì)上，哈恩和另一個(gè)美國(guó)人布比（J. Burbea）還為此互爭(zhēng)優(yōu)先權(quán)。丘成桐站起來(lái)當(dāng)場(chǎng)指出：“你們講的都不對(duì)，這個(gè)結(jié)果是陸啟鏗的?！币凰查g，兩人頓失滔滔。值得指出的是，龔昇在1957年也完成了施瓦茨引理的部分推廣，而丘成桐本人在1975年對(duì)施瓦茨引理的推廣也做出了貢獻(xiàn)，因此他深知其歷史。繼丘成桐之后，陸啟鏗與陳志華、鄭紹遠(yuǎn)合作，進(jìn)一步推廣了施瓦茨引理。
二、規(guī)范場(chǎng)與纖維叢上的聯(lián)絡(luò)（1974年）。
1972年6月，諾貝爾物理獎(jiǎng)得主楊振寧第二次回國(guó)，他在北京大學(xué)對(duì)自己正在研究的規(guī)范場(chǎng)理論作了報(bào)告。在討論中回答問(wèn)題時(shí)，楊振寧提到國(guó)外有人（當(dāng)指紐約州立大學(xué)石溪分校數(shù)學(xué)系主任賽蒙斯）說(shuō)過(guò)，規(guī)范場(chǎng)可能與纖維叢有關(guān)，但他還不清楚其含義。對(duì)數(shù)學(xué)物理敏感的陸啟鏗捕捉到這一信息。于是他夜以繼日奮戰(zhàn)兩星期，終于弄清規(guī)范場(chǎng)就是聯(lián)絡(luò)，并列舉出規(guī)范場(chǎng)與纖維叢兩者相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，證明規(guī)范場(chǎng)的積分定義相當(dāng)于用平行移動(dòng)來(lái)定義的聯(lián)絡(luò)，寫出了一份《纖維叢與規(guī)范場(chǎng)》的講義，并在物理所與高能所做了報(bào)告。由于這是第一篇研究這個(gè)問(wèn)題的經(jīng)典文獻(xiàn)，因而被一些大學(xué)復(fù)印多次，一時(shí)成為理論物理學(xué)界頗為流傳的讀物。此后陸啟鏗正式寫出了這個(gè)主題奠基性論文《規(guī)范場(chǎng)與主纖維叢上的聯(lián)絡(luò)》，于1973年投稿，1974年刊于新復(fù)刊的《物理學(xué)報(bào)》上。而楊振寧與吳大峻的合作論文《不可積相因子的概念和規(guī)范場(chǎng)的整體表述》則于次年發(fā)表在美國(guó)的《物理評(píng)論》（Physics Review）上。因?yàn)闂钫駥幒蛥谴缶恢狸憜㈢H的這一工作，所以他們的文章中沒有引用陸啟鏗的文章。吳大峻與楊振寧在文中提出的“吳—楊字典”建立了纖維叢與規(guī)范場(chǎng)之間的一一對(duì)應(yīng)，并賦予著名的Yang-Mills方程自然的幾何含義，在數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界引起的非凡轟動(dòng)，造就了此后數(shù)學(xué)物理的繁榮復(fù)興（以Witten、Atiyah、Donaldson和丘成桐為代表）。陸啟鏗也活躍在規(guī)范場(chǎng)論研究的前沿陣地。2008年，在慶祝中科院理論物理所成立30周年暨戴元本80大壽時(shí)，陸老曾特別回憶起這一研究歷程：
1971年上半年的一天，朱洪元先生叫我到他家里，交給我一份楊振寧先生寄來(lái)的英文稿，是準(zhǔn)備不久后再到北京時(shí)要作的學(xué)術(shù)報(bào)告的內(nèi)容。朱先生叫我把它翻譯成中文，說(shuō)將用大字印刷供中央領(lǐng)導(dǎo)同志參考。我一看，文章的題目是“規(guī)范場(chǎng)的積分定義”，才明白大概因?yàn)槔锩嬗玫臄?shù)學(xué)較多，所以叫我翻譯。這是中央交下來(lái)的任務(wù)，我無(wú)論如何要用最大努力完成。因此，我逐字逐句鉆研楊先生的論文，必定要弄清楚、完全理解他論文的每一段意思才動(dòng)手翻譯。我不知道中央領(lǐng)導(dǎo)同志從我的譯文中得到什么參考價(jià)值，但我自己卻在翻譯過(guò)程中得到巨大收獲。我領(lǐng)悟到楊先生的“規(guī)范場(chǎng)的積分定義”實(shí)則是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)沿一曲線的平行移動(dòng)。所以，在1971年7月1日楊振寧先生在北京大學(xué)禮堂作完題為“規(guī)范場(chǎng)：一個(gè)新定義”的報(bào)告之后不到一個(gè)月，我就寫了一份《規(guī)范場(chǎng)與纖維叢》的講義，從微分幾何、李群和纖維叢的最基本知識(shí)講起，用聯(lián)絡(luò)論及平行移動(dòng)來(lái)詮釋楊振寧的報(bào)告。記得當(dāng)時(shí)13室的同志也感到很興奮，陳時(shí)、安瑛、張歷寧等同志主動(dòng)為講義刻臘紙油印。李根道也從數(shù)學(xué)所跑來(lái)，為我報(bào)告講義時(shí)作輔導(dǎo)，參加聽我報(bào)告講義的人，除13室的同志外，還有天文臺(tái)、物理所、高能所的一些人。油印的講義份數(shù)不多，十分搶手。外地的一些高校甚至翻印了講義。
我們要特別指出的是，楊振寧先生固然是早在1954年就與米爾斯（Mills）一起猜出了規(guī)范場(chǎng)的基本公式、建立了Yang-Mills方程，但直到1970年代他才明白規(guī)范場(chǎng)作為帶聯(lián)絡(luò)的纖維叢的幾何涵義。規(guī)范場(chǎng)的思想始自外爾（1918年），因而楊振寧被視為外爾在規(guī)范場(chǎng)方面的衣缽傳人。1985年，在紀(jì)念外爾誕辰100周年的會(huì)議上，楊振寧曾說(shuō)：
如果他們（奧本海默和泡利）告訴了他（外爾），或者他偶然發(fā)現(xiàn)了我們的文章，那么我能想象得到，他一定會(huì)非常高興，而且會(huì)非常激動(dòng)，因?yàn)槲覀儼阉钫鋹鄣膬蓸訓(xùn)|西——規(guī)范場(chǎng)和李群——放在一起了。
同樣可以想見，如果外爾知道華羅庚的學(xué)生陸啟鏗揭示出了規(guī)范場(chǎng)的幾何含義，他一定會(huì)為自己的徒孫驕傲的！由此就更可以理解，為何陸老那么看重這一工作了，那是他的師爺外爾一生都為之著迷而終究沒能完全領(lǐng)悟的思想！
三、典型域與典型流形的格林函數(shù)與熱核（1985年以來(lái)）
陸啟鏗對(duì)典型域的調(diào)和分析研究很自然地將他引向Green函數(shù)。大致可以這樣理解，微分方程可分三大類，橢圓、雙曲和拋物。Laplace方程是典型的橢圓方程，而熱方程則是典型的拋物方程，波動(dòng)方程則是典型的雙曲方程。Laplace方程的基本解引出格林函數(shù)，它是熱核（熱方程的基本解）的積分。因此，考慮格林函數(shù)與熱核是自然的。陸啟鏗很早的時(shí)候就求出了球體的格林函數(shù)，但無(wú)法將結(jié)果推廣到一般的對(duì)稱空間，這個(gè)問(wèn)題一直困擾著他。1980年，陸啟鏗訪問(wèn)IAS，普林斯頓大學(xué)的調(diào)和分析大家斯坦（E. M. Stein）送他一本專著，其中用表示論的辦法求出了球體的格林函數(shù)，這重新喚起了他對(duì)格林函數(shù)的興趣。得知斯坦也不知道怎么求雙圓柱的格林函數(shù)后，陸啟鏗回國(guó)后把這個(gè)問(wèn)題留給了研究生施皖雄。但不久施皖雄被丘成桐選中出國(guó)，這一問(wèn)題又?jǐn)R下了。1984年，陸啟鏗再度訪問(wèn)IAS，他從斯坦那里得知，雙圓柱的格林函數(shù)依然沒有結(jié)果。陸啟鏗斗志煥發(fā)，集中精力考慮這一問(wèn)題。后來(lái)他從斯坦的書中得到啟發(fā)，借用華羅庚1944年論文中提出的超圓概念（準(zhǔn)確的說(shuō)，是內(nèi)切球坐標(biāo)和內(nèi)切超圓坐標(biāo)，A. Borel告訴他這相當(dāng)于李群的Iwasawa分解），構(gòu)造出第一類典型域的熱核。推廣到其它典型域的工作由其學(xué)生李慶忠完成。陸老對(duì)這一研究的回顧可見他的長(zhǎng)文《非緊對(duì)稱空間的熱核》之后記部分。
2006年6月6日，在慶祝陸啟鏗先生80大壽（虛歲）的宴會(huì)上，他的學(xué)生殷慰萍曾以下述詩(shī)句概括其成就：
調(diào)和函數(shù)典型域（Established the harmonic functions on classical domain）
主纖維叢規(guī)范場(chǎng)（Using the principal bundles to Yang-Mills fields firstly）
曲率刻畫單位球（Constant holomorphic curvature characterized unit ball）
陸氏引理不變量（Lu’s Lemma introduced the analytic invariants）
對(duì)稱空間解熱核（Got the explicit heat kernels on symmetric spaces）
愛楊方程求顯式（Computed the solution for Einstein-Yang-Mills equation）
偏芭方程積分表（Obtained an integral representation of solutions of the -equation）
波馬公式邊值得（Got a Plemelj formula to the Bochner-Martinelli integral）
卡度不如柏度大（Bergman metric dominated the Carathéodory metric）
門徒廿六傳佳話（26 disciples had a much-told story）
先生八十壽辰將（While Mr. Lu’s 80th birthday is coming）
無(wú)愧人民無(wú)愧黨（He has no sorry for his party and people）
前面九句是談?wù)撈?項(xiàng)代表性工作（我們前面涉及到一、二、四、五、九這5款），現(xiàn)在我們?cè)龠x取他的“門徒廿六”中的代表談一談。前面已經(jīng)提到了李慶忠關(guān)于典型域的熱核的工作。在陸啟鏗的26名研究生中，鐘家慶和周向宇最為典型地體現(xiàn)了外爾—華羅庚—陸啟鏗這一傳承體系。
鐘家慶1962年從北大畢業(yè)后進(jìn)入數(shù)學(xué)所，師從華羅庚，但主要是陸啟鏗負(fù)責(zé)指導(dǎo)。1964年，鐘家慶被華羅庚召喚到科大，接下來(lái)的一年半，鐘家慶深入學(xué)習(xí)了外爾的《典型群》。1965年他被下放“接受鍛煉”，直到1978年才回到數(shù)學(xué)所工作。對(duì)外爾《典型群》的學(xué)習(xí)，為他以后的研究打下了基礎(chǔ)，像Weyl群、Schur函數(shù)、Schubert演算等與群表示論密切相關(guān)的關(guān)鍵詞，經(jīng)常出現(xiàn)在他早期的論文中。寫到這里，筆者不由得想起當(dāng)代數(shù)學(xué)家納坦松（M. B. Nathanson）講的一個(gè)故事，雖然不能完全肯定這個(gè)故事就是在說(shuō)鐘家慶，但在概率的意義下，幾乎是肯定的。
納坦松在發(fā)表于2011年《數(shù)學(xué)情報(bào)員》（Math. Intelligencer）的一篇題為“一與多：數(shù)學(xué)中的個(gè)人主義與團(tuán)體主義（One, two, many: Individuality and collectivity in mathematics）”的文章中提到：
1972-1973年我在莫斯科跟蓋爾范德（I. M. Gelfand）做博士后。一次在聊天中，他跟我說(shuō)，在全世界，真正懂得表示論的人只有十個(gè)，并開始提名。這是一個(gè)有趣的清單，包含了某些不大有名的人，也排除了某些聲名顯赫的人?！盀槭裁碭不在清單上？”我問(wèn)他，提到一個(gè)確實(shí)有名的表示論專家的名字。“他只不過(guò)是個(gè)工匠”，這是蓋爾范德的輕蔑回答。不過(guò)清單上的第十個(gè)并不是一個(gè)名字，而是一個(gè)描述：“在中國(guó)的某個(gè)地方”，蓋爾范德說(shuō)，“有個(gè)年輕人，獨(dú)自工作，懂表示論?！?/span>
想必讀者跟我一樣，都很好奇蓋爾范德清單上最后所描述的中國(guó)年輕人到底是誰(shuí)。幾乎可以推定，這個(gè)人是鐘家慶。
改革開放以后，鐘家慶迎來(lái)了他數(shù)學(xué)研究的新階段。1980年，鐘家慶到斯坦福大學(xué)訪問(wèn)李偉光（陳省身的博士生），他們對(duì)緊黎曼流形上的拉普拉斯算子的第一特征值的估計(jì)（順便一提：1911年，外爾正是憑借對(duì)物理學(xué)家洛倫茲于1910年提出的一個(gè)特征值猜想的證明而嶄露頭角）取得了重大進(jìn)展，其工作得到丘成桐的高度肯定?；貒?guó)后，鐘家慶與楊洪蒼合作，趁熱打鐵乘勝追擊，不久他們得到了他之前猜測(cè)的最佳結(jié)果。1983—1984年，鐘家慶訪問(wèn)IAS，期間與莫毅明合作，在復(fù)幾何領(lǐng)域取得重大成果。然而令人遺憾的是，1987年4月12日，鐘家慶因心臟病突發(fā)而于睡夢(mèng)中悄然辭世。
陸啟鏗的另一個(gè)得意弟子是周向宇，他在1998年解決了懸疑40年的擴(kuò)充未來(lái)光管猜測(cè)，在數(shù)學(xué)物理學(xué)界引起轟動(dòng)。1988年，陸啟鏗訪問(wèn)蘇聯(lián)Steklov數(shù)學(xué)所，所長(zhǎng)弗拉基米羅夫(Vladimirov)向他提出了這個(gè)問(wèn)題，并表達(dá)了對(duì)華派弟子解決這一猜想的殷切期盼。陸啟鏗回國(guó)后將這一問(wèn)題交給了周向宇，功夫不負(fù)有心人，十年之后，周向宇最終攻克了這一著名猜想。陸老知人識(shí)才的眼光由此可見一般。
除了鐘家慶、周向宇、楊洪蒼和李慶忠，陸啟鏗的研究生還有殷慰萍、洪毅等。洪毅考慮了典型流形的熱核，殷慰萍則與陸啟鏗合作，考慮了de-Sitter空間的波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題。陸啟鏗的影響在這些學(xué)生的工作中清晰可見。
除了研究和指導(dǎo)學(xué)生，陸啟鏗還寫了許多清晰易懂的通俗文章，介紹華羅庚學(xué)派在多復(fù)變方面的工作。在這方面，他的用心與筆力直追師爺外爾。外爾曾寫過(guò)一篇有名的文章《半個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)》，陸老曾推薦給數(shù)學(xué)所研究數(shù)學(xué)史的李文林研究員，建議翻譯成中文（胡作玄完成，見《數(shù)學(xué)史譯文集續(xù)集》）。陸啟鏗本人寫過(guò)兩篇關(guān)于中國(guó)多復(fù)變研究的精彩報(bào)告，第一篇《典型域的調(diào)和函數(shù)論：1949—1959》，與華羅庚合作完成，以慶祝新中國(guó)成立十周年（蘇聯(lián)有這種傳統(tǒng)，他們的標(biāo)志性起始年份是1917）；第二篇《多復(fù)變函數(shù)論在中國(guó)：1949—1989》寫在華羅庚與鐘家慶逝世后，回顧了自建國(guó)以來(lái)40年的多復(fù)變工作。1999年，陸啟鏗在中科院數(shù)學(xué)所做了主題為“華羅庚在多復(fù)變數(shù)函數(shù)論方面的工作與思想及其對(duì)數(shù)學(xué)與物理的影響 ”的華羅庚數(shù)學(xué)講座，這對(duì)任何想要對(duì)華羅庚的思想精髓與早期多復(fù)變工作獲得了解的人來(lái)說(shuō)，都是一個(gè)極好的指引。正是在這篇報(bào)告中，陸啟鏗寫道：
筆者跟隨華羅庚工作35年，深刻領(lǐng)悟到華羅庚的學(xué)術(shù)思想是：從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象。
2010年，華羅庚誕辰100周年，中科院華羅庚數(shù)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室編輯出版了《華羅庚文集》，將華羅庚的論文、教材與研究專著分卷出版。陸啟鏗負(fù)責(zé)審?！抖鄰?fù)變函數(shù)論I》，其內(nèi)容就是華老的代表作《典型域的調(diào)和分析》。筆者留意到，在最后一頁(yè)，新添了一個(gè)附注，用比正文略小的字號(hào)排版：
校者注：定理4.6.3是錯(cuò)誤的，主要是因?yàn)椤?/span>
陸老做學(xué)問(wèn)的一絲不茍，由此可見一斑。據(jù)筆者查閱，在有些多復(fù)變函數(shù)論的教材中，從華老書中抄來(lái)的這個(gè)錯(cuò)誤至今都未注意到。
對(duì)一般讀者來(lái)說(shuō)，華老為研究生所寫的著作（比如《從單位圓談起》）并不好讀，因?yàn)樗形姆浅＞珶?。相比而言，陸啟鏗（和龔昇）的著作則鋪墊比較充分，更容易懂。
正如印度數(shù)學(xué)家V. S. Varadarajan（在談?wù)揌arish-Chandra時(shí)）所說(shuō)，“科學(xué)并非一堆無(wú)關(guān)個(gè)人的發(fā)現(xiàn)。它是由人類創(chuàng)造的，它的進(jìn)展是一些非常有天分的個(gè)人的高度個(gè)性化的行動(dòng)和反應(yīng)的產(chǎn)物。在研究一個(gè)大人物的工作時(shí)，如果你對(duì)其個(gè)性了解得越多，那么其樂趣就會(huì)越大?！币雽?duì)華羅庚、陸啟鏗的工作了解得更深入，我們需要了解其個(gè)性。
對(duì)陸啟鏗先生，筆者無(wú)緣親密接觸，但至少有一點(diǎn)是明確的，跟外爾的導(dǎo)師希爾伯特（Hilbert）以及他本人的導(dǎo)師華羅庚一樣，陸啟鏗信奉利希滕貝格（G. C. Lichtenberg，1742—1799，德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和作家）的名言“天才即勤奮（Genius is industry）”。陸老身后留下的豐厚數(shù)學(xué)遺產(chǎn)就是明證。
后記：我為什么寫這篇文章？
2013年我發(fā)郵件給陸先生請(qǐng)求探訪：
陸先生：
您好！
我是首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)院的一名博士研究生，數(shù)學(xué)物理方向，量子計(jì)算與信息專業(yè)，導(dǎo)師費(fèi)少明。
最近對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化發(fā)生了興趣，例如，附件中有我一篇介紹華羅庚先生關(guān)于矩陣標(biāo)準(zhǔn)型理論的工作的文章（已被臺(tái)灣《數(shù)學(xué)傳播》接收），審稿老師建議將該文用英文縮寫，投稿到Notices of the AMS，以便西方學(xué)者了解華先生在這方面的貢獻(xiàn)。
我想，你可能是華先生的弟子中最重視他這方面工作的一位（拙文引用您的一句話作為開始，特表感謝?。院芟雭?lái)拜訪您。也希望能從您那里了解到華派在標(biāo)準(zhǔn)型方面的更多工作。
雖然我聽說(shuō)您每周一到周五都在辦公室，但我還是希望能夠事先得到您的允許，再來(lái)拜訪您。
祝您身體健康！
學(xué)生：林開亮
結(jié)果他給我回復(fù)了電話號(hào)碼，讓我直接打電話。于是我在電話中問(wèn)起華羅庚在矩陣方面的工作，他說(shuō)在華老的多復(fù)變工作中，最要緊的是“極坐標(biāo)”（相當(dāng)于李群中的某種分解），然后他給我指引了《典型域的調(diào)和分析》以及他的《典型域和典型流形》中的論述。后來(lái)我把電話采訪的內(nèi)容補(bǔ)充到正式發(fā)表在《數(shù)學(xué)傳播》2015年第1期的通俗文章《華羅庚在矩陣標(biāo)準(zhǔn)型方面的工作》一文中，為拙文增色不少。
2015年，在我從IAS檔案館得到的Weyl與華羅庚的全部通信——這些通信表明，Weyl實(shí)際上一直在提攜幫助華羅庚（包括邀請(qǐng)華羅庚訪問(wèn)IAS），華羅庚也在Weyl面前稱“您最聽話的學(xué)生（Your most obedient student）”之后，我突然領(lǐng)悟到，陸啟鏗原來(lái)是Weyl的第三代傳人。這再度引發(fā)了我對(duì)華羅庚和陸啟鏗的工作的興趣，于是通過(guò)正在為陸老寫傳的楊靜表達(dá)了想要拜訪一下他老人家的愿望。后來(lái)陸先生打電話告訴我，實(shí)在抱歉，他已患絕癥，到晚期了，只能躺在醫(yī)院病床上，恕不能見……
2015年8月3日，陸啟鏗先生仙逝，這成了我作為一名數(shù)學(xué)史愛好者、一名華羅庚的忠實(shí)粉絲的終身遺憾。
注：除陸啟鏗先生本人的文章，本文主要參考了下述文獻(xiàn)：
【1】龔昇：繼承與發(fā)揚(yáng)華羅庚先生在多復(fù)變數(shù)方面的工作，收入《傳奇數(shù)學(xué)家華羅庚——紀(jì)念華羅庚誕辰100周年》，丘成桐等主編，高等教育出版社，2010年。（陸啟鏗先生本人也有一篇文章收入該書。）
【2】殷慰萍：著名數(shù)學(xué)家陸啟鏗學(xué)部委員——慶賀陸啟鏗教授65壽辰，《數(shù)學(xué)季刊》，1992年第3期。
【3】馮克勤：我怎樣走上學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論之路，收入《新世紀(jì)代數(shù)學(xué)》，張繼平主編，北京大學(xué)出版社，2002年。
編者按：本文經(jīng)作者授權(quán)發(fā)布，原文曾發(fā)表于《中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊》2016年第2期，作者感謝清華大學(xué)高等研究院楊振寧先生、中科院數(shù)學(xué)所周向宇院士、天津大學(xué)理學(xué)院物理系戴伍圣教授、四川大學(xué)數(shù)學(xué)所羅懋康教授對(duì)初稿提出了有價(jià)值的意見和建議。
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