典型例題
一、用平方差公式分解因式的題目（體會(huì)換元思想）
例1 把下列各式分解因式：
（1） ； （2） 
解：（1） 可以看作是 
， 
可以看作是 
，則
；
（2） 可以看作是 ，則
點(diǎn)撥：（1）把 看作是 是逆用了冪的乘方公式 ，也就是運(yùn)用了公式 ，而把 看作 ， 看作 是逆用了積的乘方公式 ，而靈活運(yùn)用公式是解題中所必須掌握的基本技巧。
（2）平方差公式中的 可以是數(shù)、字母或數(shù)與字母的乘積，在此進(jìn)一步體現(xiàn)了換元思想的應(yīng)用。
例2 把下列各式分解因式：
（1） ； （2）
解：（1）把 和 分別看作平方差公式中的 和 ，于是
；
（2）由于 ， ，所以 和 分別看作平方差公式中的 ，于是
點(diǎn)撥：利用換元思想，使平方差公式的使用范圍更加廣泛，公式中的 不僅可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，也可以是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積。
例3 把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ；
分析：多項(xiàng)式中有公因式，先提出來(lái)。
解：（3）
；
（2）
點(diǎn)撥：（1）提取公因式后可使括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，所以在對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，提公因式是首先要進(jìn)行的步驟；
（2）分解因式是在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，其結(jié)果是在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再繼續(xù)分解為止，如 ；
（3）有些多項(xiàng)式需多種方法，多個(gè)分解步驟才可完成分解，因此，第一要養(yǎng)成隨時(shí)檢查多項(xiàng)式能否再繼續(xù)分解的解題習(xí)慣；第二要善于綜合運(yùn)用各種方法作因式分解，提高解題能力。
例4 已知 和 滿足方程組 ，求代數(shù)式 的值。
解法1：解方程 得
將 ， 代入 得
解法2：
由②得 ……③
∴
點(diǎn)撥：解法一是最基本的方法，容易想到，但計(jì)算較繁。解法二利用了分解因式的知識(shí)，比較巧妙，但不容易想到。所以，要想解題又快又準(zhǔn)，必須熟練掌握所學(xué)過(guò)的知識(shí)，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。
二、用完全平方公式分解因式的題目
例1 把下列各式分解因式：
（1） ； （2）
（3）
解：（1）由于16可以看作 ，于是有
；
（2）由冪的乘方公式， 可以看作 ， 可以看作 ，于是有
；
（3）由積的乘方公式， 可以看作 ，于是有
點(diǎn)撥：（1）多項(xiàng)式具有如下特征時(shí)，可以運(yùn)用完全平方公式作因式分解：①可以看成是關(guān)于某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式；②其中有兩項(xiàng)可以分別看作是兩數(shù)的平方形式，且符號(hào)相同；③其余的一項(xiàng)恰是這兩數(shù)乘積的2倍，或這兩數(shù)乘積2倍的相反數(shù)。而結(jié)果是“和”的平方還是“差”的平方，取決于它的符號(hào)與平方項(xiàng)前的符號(hào)是否相同。
（2）在運(yùn)用完全平方公式的過(guò)程中，再次體現(xiàn)換元思想的應(yīng)用，可見(jiàn)換元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用。
例2 把下列各式分解因式：
（1） ； （2）
解：（1）先將平方項(xiàng)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，于是有
；
（2）先提出公因式6，于是有
點(diǎn)撥：（1）在使用完全平方公式時(shí)，要保證平方項(xiàng)前的符號(hào)為正，當(dāng)平方項(xiàng)前的符號(hào)是負(fù)號(hào)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)。
（2）多項(xiàng)式若有公因式，則先考慮提取，使多項(xiàng)式簡(jiǎn)化，以便觀察分解策略。
例3 若 是一個(gè)完全平方公式，那么 的值應(yīng)該是（ ）
（A）8 （B）16 （C）－16 （D）16或－16
答（D）因?yàn)橥耆椒绞绞强梢曰癁樾稳?/span> 或 的形式的多項(xiàng)式，故 既然是完全平方式，就可將它化為 或 ，將 ， 展開與 比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可得 或－16。
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