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擴(kuò)展資料

關(guān)于(a+b)²的推廣

　　對(duì)于公式(a+b)²＝a²+2ab+b²，可以從兩方面推廣：一是從指數(shù)推廣；一是從項(xiàng)數(shù)推廣．

　　我們知道，

　　(a+b)²＝a²+2ab+b²． ①

　　由多項(xiàng)式的乘法，可以得到

　　(a+b)³＝(a+b)²(a+b)

　?。?a²+2ab+b²)(a+b)

　?。絘³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³

　　＝a³+3a²b+3ab²+b³． ②

　　從展開(kāi)式①，②中，可以看出如下規(guī)律：

　　項(xiàng)數(shù)與次數(shù)

　　項(xiàng)數(shù)比次數(shù)多1；

　　展開(kāi)式中的字母a按降冪排列，第一項(xiàng)的字母a的指數(shù)就是二項(xiàng)式的次數(shù)；而字母b則按升冪排列，末項(xiàng)b的指數(shù)也是二項(xiàng)式的次數(shù)；

　　各項(xiàng)中a，b指數(shù)的和都等于二項(xiàng)式的次數(shù)．

　　系數(shù)

　　首末兩項(xiàng)的系數(shù)都是1；

　?、谑街械诙?xiàng)的系數(shù)是①式中第一、二項(xiàng)系數(shù)的和；

　　②式中第三項(xiàng)的系數(shù)是①式中第二、三項(xiàng)系數(shù)的和．

　　上述規(guī)律，從下面的表中可以很清楚地展示出來(lái)．

　　按上述規(guī)律，

(a+b)⁴

　　展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)為

1 4 6 4 1

　　再結(jié)合項(xiàng)數(shù)與次數(shù)的規(guī)律，可得

(a+b⁴)＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．③

　　由多項(xiàng)式的乘法驗(yàn)證，③的結(jié)果是對(duì)的．

　　事實(shí)上，由③可以推出(a+b)⁵展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)，等等．當(dāng)二項(xiàng)式的次數(shù)不大時(shí)，我們利用項(xiàng)數(shù)與次數(shù)以及系數(shù)的規(guī)律可以將展開(kāi)式寫出來(lái)．例如

(a+b)⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

　　如果你有興趣，不妨按照上述規(guī)律寫出(a+b)⁶的展開(kāi)式．

　　上述二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)表在我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法》(1261年)一書中用過(guò)．楊輝在注釋中提到，賈憲也用過(guò)上述辦法．因此，我們稱上述系數(shù)表為楊輝三角或賈憲三角．

　　下面看一看(a+b)²項(xiàng)數(shù)推廣的情形．

　　我們用語(yǔ)言表述公式

(a+b)²＝a²+2ab+b²①

　　為：兩數(shù)和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，加上這兩個(gè)數(shù)積的2倍．

　　我們?cè)枚囗?xiàng)式的乘法計(jì)算，得

(a+b+c)²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．②

　　上式同樣可用語(yǔ)言表述為：三數(shù)和的平方，等于這三個(gè)數(shù)的平方和，加上這三個(gè)數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍．下面，我們用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算四數(shù)和的平方．

　　(a+b+c+d)²＝[(a+b)+(c+d)]²

　　＝(a+b)²+2(a+b)(c+d)+(c+d)²

　?。絘²+2ab+b²+2ac+2ad+2bc+2bd+c²+2cd+d²

　　＝a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．③

　　同樣，上式用語(yǔ)言表述為：四數(shù)和的平方，等于這四個(gè)數(shù)的平方和，加上這四個(gè)數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍．

　　同學(xué)們?nèi)缬信d趣，可利用公式②，③計(jì)算下列各題：

　　1．(a+2b-c)²．

　　2．(2x-y+3z)²．

　　3．(a+b-c-d)²．

　　4．(x-2y-z+2w)²．