楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家。在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”，它是世界的一大重要研究成果。我們則來對“楊輝三角” 的規(guī)律進行探討和研究。
1.二項式定理與楊輝三角
與楊輝三角聯(lián)系最緊密的是二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，即二項式定理。
楊輝三角我們首先從一個二次多項式(a+b)2的展開式來探討。
由上式得出： (a+b)2＝a2+2ab+b2 此代數(shù)式的系數(shù)為： 1 2 1
則(a+b)3的展開式是什么呢？答案為：a3+3a2b+3ab2+b3 由此可發(fā)現(xiàn)，此代數(shù)式的系數(shù)為： 1 3 3 1 但似乎沒有什么規(guī)律，所以讓我們再來看看(a+b)4的展開式。
展開式為：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 由此又可發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的系數(shù)為：
1 4 6 4 1 似乎發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)以下呈三角形的數(shù)列：
1 (11^0)
1 1 (11^1)
1 2 1 (11^2)
1 3 3 1 (11^3)
1 4 6 4 1 (11^4)
1 5 10 10 5 1 (11^5)
1 6 15 20 15 6 1 (11^6)
因此可得出二項式定理的公式為：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進了計算數(shù)學。求二項式展開式系數(shù)的問題，實際上是一種組合數(shù)的計算問題。用系數(shù)通項公式來計算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計算，稱作“圖算”。
2.楊輝三角的冪的關(guān)系
首先我們把楊輝三角的每一行分別相加，如下：
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
……
相加得到的數(shù)是1，2，4，8，16，32，64，…剛好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次冪，即楊輝三角第n行中n個數(shù)之和等于2的n-1次冪
3.楊輝三角中斜行和水平行之間的關(guān)系
把斜行(1)中第7行之前的數(shù)字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
把斜行(2)中第7行之前的數(shù)字相加得1+2+3+4+5=15
把斜行(3)中第7行之前的數(shù)字相加得1+3+6+10=20
把斜行(4)中第7行之前的數(shù)字相加得1+4+10=15
把斜行(5)中第7行之前的數(shù)字相加得1+5=6
把斜行(6)中第7行之前的數(shù)字相加得1
將上面得到的數(shù)字與楊輝三角中的第7行中的數(shù)字對比，我們發(fā)現(xiàn)它們是完全相同的。
由上面可得：楊輝三角中n行中的第i個數(shù)是i-1中前n-1個數(shù)之和，即第n行的數(shù)分別為1、(1)中第n行之前的數(shù)字之和、(2)中第n行之前的數(shù)字之和、(3)中第n行之前的數(shù)字之和、(4)中第n行之前的數(shù)字之和、…、(n-3)中第n行之前的數(shù)字之和、1。
總結(jié)楊輝三角對于我們好理解的規(guī)律，如下六點：
1、每個數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。
2、 每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3、 第n行的數(shù)字有n+1項。
4、第n行數(shù)字和為2^(n-1)。（2的(n-1)次方）
5 (a+b)^n的展開式中的各項系數(shù)依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
6、 第n行的第m個數(shù)和第n-m個數(shù)相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，這是組合數(shù)性質(zhì)
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