點球博弈論——射哪里，撲哪里？
作者：大風(fēng)
一場虐心的點球大戰(zhàn)過后，智力離開，巴西留下。賽罷，就連獲勝的內(nèi)馬爾也長蹲而泣。
10個點球，雙方只射進(jìn)5個。
“足球是22個人踢了120分鐘，最后德國人贏得點球的運動。”1990年世界杯半決賽在點球大戰(zhàn)中被當(dāng)時的聯(lián)邦德國隊擊敗之后，英格蘭的當(dāng)家前鋒萊因克爾如是說道。英格蘭和德國似乎是點球大戰(zhàn)上的兩個極端——英格蘭多年來點球成績慘淡，而德國則是常勝將軍。
點球大戰(zhàn)的殘酷和刺激引發(fā)了廣泛的研究。站在球門線上，門將會猜測對方點球手的射門習(xí)慣；但同樣地，站在點球點前的點球手也要猜門將的撲救習(xí)慣。門將心知肚明罰球者知道自己的撲救習(xí)慣，罰球者又知道門將知道自己知道他的撲救習(xí)慣……如此循環(huán)下去。結(jié)果是，究竟在踢點球的時候兩個人如何行動，誰都不知道。
這是一個典型的單次二人零和博弈。參與博弈的點球手和門將，在嚴(yán)格競爭下，一方的收益必然意味著另一方的損失，博弈各方的收益和損失相加總和永遠(yuǎn)為“零”，雙方不存在合作的可能?！扒敉嚼Ь场?wbr>就是一個著名的二人零和博弈的例子。兩名囚徒的策略——互相揭發(fā)——構(gòu)成了所謂的“納什均衡”。無論射向哪里，撲向哪里，都不會成為絕對占優(yōu)的策略。但數(shù)學(xué)家們證明了，球員以一定概率采取特定行動的混合策略納什均衡是存在的。錘子剪子布游戲也是一種二人零和博弈，在納什均衡中，任意一名玩家的策略是，出錘子、剪子和布的概率各為三分之一。大多數(shù)人也的確是這么玩的。
根據(jù)類似的建模方法，美國的三位經(jīng)濟學(xué)家Chiappori,Levitt和Groseclose從博弈論的角度研究了點球手和門將之間的博弈問題。他們認(rèn)為，點球手和門將之間的博弈不存在純策略納什均衡，只存在混合策略納什均衡。但是不同于錘子剪子布游戲，在這個納什均衡中不同策略組合的概率是不一樣的。具體地說，三位經(jīng)濟學(xué)家通過博弈論得到了一些基本的結(jié)論：
一，球員一般不射向球門的中間區(qū)域；二，在出現(xiàn)概率最大的策略組合中，點球手射向自己的“自然方向”（即右腳球員射向左方；左腳球員反之），而門將則撲向點球手的自然方向。
這似乎讓人覺得有些詫異，為什么點球手和門將不約而同地選擇了一個方向呢？但在信息不對稱的情況下，這的確是對對方可能的行為的最好回應(yīng)。數(shù)據(jù)印證了他們的理論：在所有可能的情況中，出現(xiàn)頻率最大的正是點球手射向自己的自然方向，而門將也向這個方向撲救。相對來說，點球手射向中路的次數(shù)少得多，而門將在中路撲球者更是寥寥。
看來，點球手和門將的行為還是有規(guī)律可循的。不過，有兩點必須說明。
首先，在120分鐘的比賽后進(jìn)行一場點球大戰(zhàn)，絕對是綜合性極強的運動，不僅考驗球員的心理和意志品質(zhì)，更考驗球員的射門技術(shù)和體力。英格蘭隊數(shù)次在點球大戰(zhàn)折戟，未必是球員“不按套路出牌”；事實上，即使是門將判斷錯了方向，我們也屢屢能看見點球手罰丟點球的情況——例如那位號稱“把點球當(dāng)門球踢”的西班牙后衛(wèi)拉莫斯。
其次，以上的種種分析都是基于博弈論分析的一些基本假設(shè)，而這些假設(shè)簡而言之，是建立在點球手和門將都是專業(yè)球員，雙方彼此知根知底的情況。如果來了位業(yè)余選手，那上述分析就未必靠得住了。1976年使用“勺子點球”向球門中心射入點球而一戰(zhàn)成名的捷克斯洛伐克球員帕南卡據(jù)說曾經(jīng)在四十余場友誼賽和正式比賽中使用勺子點球，只失手過一次——那是一場與業(yè)余球隊的比賽，對面的門將面對他的勺子點球，根本沒移動。
