22.2.3 公式法教學(xué)內(nèi)容
1．一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教學(xué)目標(biāo)
理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程．
復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo)．
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老師點(diǎn)評） （1）移項(xiàng)，得：6x2-7x=-1
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2-
x=-
配方，得：x2- x+（
）2=- +（
）2
（x- ）2=
x- =± x1= + =
=1
x2=- + =
=
（2）略
總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評）．
（1）移項(xiàng)；
（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；
（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；
（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；
（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解．
二、探索新知
如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題．
問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1= ，x2=
分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．
解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+ x=-
配方，得：x2+ x+（
）2=- +（ ）2
即（x+ ）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴ ≥0
直接開平方，得：x+ =±
即x=
∴x1= ，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，將a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．
（2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x1= ，x2=
（2）將方程化為一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=
x1=2，x2=-
（3）將方程化為一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=
∴x1= ，x2=
（3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，所以方程無實(shí)數(shù)根．
三、鞏固練習(xí)
教材P42 練習(xí)1．（1）、（3）、（5）
四、應(yīng)用拓展
例2．某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列問題．
（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出．
你能解決這個(gè)問題嗎？
分析：能．（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時(shí)還要滿足（m+1）≠0．
（2）要使它為一元一次方程，必須滿足:
① 或② 或③
解：（1）存在．根據(jù)題意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
當(dāng)m=1時(shí)，m+1=1+1=2≠0
當(dāng)m=-1時(shí)，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）
∴當(dāng)m=1時(shí)，方程為2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，該方程是一元二次方程時(shí)，m=1，兩根x1=1，x2=- ．
（2）存在．根據(jù)題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0滿足題意．
②當(dāng)m2+1=0，m不存在．
③當(dāng)m+1=0，即m=-1時(shí)，m-2=-3≠0
所以m=-1也滿足題意．
當(dāng)m=0時(shí)，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
當(dāng)m=-1時(shí)，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，當(dāng)m=0或-1時(shí)，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時(shí)，其根為x=-1；當(dāng)m=-1時(shí)，其一元一次方程的根為x=- ．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
（1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；
（2）公式法的概念；
（3）應(yīng)用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情況．
六、布置作業(yè)
1．教材P45 復(fù)習(xí)鞏固4．
2．選用作業(yè)設(shè)計(jì):
一、選擇題
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）．
A．x1= ，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2 ，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空題
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________．
2．當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4．
3．若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____．
三、綜合提高題
1．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=- ，x1·x2= ；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個(gè)月用電量不超過A千瓦時(shí)，那么這戶居民這個(gè)月只交10元電費(fèi)，如果超過A千瓦時(shí)，那么這個(gè)月除了交10元用電費(fèi)外超過部分還要按每千瓦時(shí) 元收費(fèi)．
（1）若某戶2月份用電90千瓦時(shí)，超過規(guī)定A千瓦時(shí)，則超過部分電費(fèi)為多少元？（用A表示）
（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況
月份
用電量（千瓦時(shí)）
交電費(fèi)總金額（元）
3
80
25
4
45
10
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．x= ，b2-4ac≥0 2．4 3．-3
三、1．x= =a±│b│
2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，
∴x1= ，x2=
∴x1+x2= =- ，
x1·x2= · =
（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的兩根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3．（1）超過部分電費(fèi)=（90-A）·
=- A2+ A
（2）依題意，得：（80-A）·
=15，A1=30（舍去），A2=50
22.3 實(shí)際問題與一元二次方程(1)
教學(xué)內(nèi)容
由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或分解因式法解決實(shí)際問題．
教學(xué)目標(biāo)
掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題．
通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題，引入用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）問題1：列方程解應(yīng)用題
下表是某一周甲、乙兩種股票每天每股的收盤價(jià)（收盤價(jià)：股票每天交易結(jié)果時(shí)的價(jià)格）：
星期
一
二
三
四
五
甲
12元
12.5元
12.9元
12.45元
12.75元
乙
13.5元
13.3元
13.9元
13.4元
13.75元
某人在這周內(nèi)持有若干甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價(jià)計(jì)算（不計(jì)手續(xù)費(fèi)、稅費(fèi)等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙股票各多少股？
老師點(diǎn)評分析：一般用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，即設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張，由于從表中知道每天每股的收盤價(jià)，因此，兩種股票當(dāng)天的帳戶總數(shù)就是x或y乘以相應(yīng)的每天每股的收盤價(jià)，再根據(jù)已知的等量關(guān)系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．
解：設(shè)這人持有的甲、乙股票各x、y張．
則 解得
答：（略）
二、探索新知
上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數(shù)量關(guān)系建立的數(shù)學(xué)模型，那么還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學(xué)過的一元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解應(yīng)用題呢？請同學(xué)們完成下面問題．
（學(xué)生活動(dòng)）問題2：某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機(jī)是1萬臺，第一季度生產(chǎn)電視機(jī)的總臺數(shù)是3.31萬臺，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率是多少？
老師點(diǎn)評分析：直接假設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長率為x．因?yàn)橐辉路菔?萬臺，那么二月份應(yīng)是（1+x）臺，三月份應(yīng)是在二月份的基礎(chǔ)上以二月份比一月份增長的同樣“倍數(shù)”增長，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易從第一季度總臺數(shù)列出等式．
解：設(shè)二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率為x，則1+（1+x）+（1+x）2=3.31
去括號：1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理，得：x2+3x-0.31=0
解得：x=10%
答：（略）
以上這一道題與我們以前所學(xué)的一元一次、二元一次方程（組）、分式方程等為背景建立數(shù)學(xué)模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立數(shù)學(xué)模型來分析實(shí)際問題和解決問題的類型．
例1．某電腦公司2001年的各項(xiàng)經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個(gè)增長率．
分析：設(shè)這個(gè)增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關(guān)系．
解：設(shè)平均增長率為x
則200+200（1+x）+200（1+x）2=950
整理，得：x2+3x-1.75=0
解得：x=50%
答：所求的增長率為50%．
三、鞏固練習(xí)
（1）某林場現(xiàn)有木材a立方米，預(yù)計(jì)在今后兩年內(nèi)年平均增長p%，那么兩年后該林場有木材多少立方米?
（2）某化工廠今年一月份生產(chǎn)化工原料15萬噸，通過優(yōu)化管理，產(chǎn)量逐年上升，第一季度共生產(chǎn)化工原料60萬噸，設(shè)二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為__________．
四、應(yīng)用拓展
例2．某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．
分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x·80%，其它依此類推．
解：設(shè)這種存款方式的年利率為x
則：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2=
=0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
利用“倍數(shù)關(guān)系”建立關(guān)于一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并利用恰當(dāng)方法解它．
六、布置作業(yè)
1．教材P53 復(fù)習(xí)鞏固1 綜合運(yùn)用1．
2．選用作業(yè)設(shè)計(jì)．
作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．2005年一月份越南發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場100家，后來二、三月份新發(fā)生禽流感的養(yǎng)雞場共250家，設(shè)二、三月份平均每月禽流感的感染率為x，依題意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一臺電視機(jī)成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價(jià)的70%出售，那么每臺售價(jià)為（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3．某商場的標(biāo)價(jià)比成本高p%，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的折扣（即降低的百分?jǐn)?shù)）不得超過d%，則d可用p表示為（ ）．
A．
B．p C． D．
二、填空題
1．某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長率為x，第一年的產(chǎn)量為6萬kg，第二年的產(chǎn)量為_______kg，第三年的產(chǎn)量為_______，三年總產(chǎn)量為_______．
2．某糖廠2002年食糖產(chǎn)量為at，如果在以后兩年平均增長的百分率為x，那么預(yù)計(jì)2004年的產(chǎn)量將是________．
3．我國政府為了解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品價(jià)格，某種藥品在1999年漲價(jià)30%后，2001年降價(jià)70%至a元，則這種藥品在1999年漲價(jià)前價(jià)格是__________．
三、綜合提高題
1．為了響應(yīng)國家“退耕還林”，改變我省水土流失的嚴(yán)重現(xiàn)狀，2000年我省某地退耕還林1600畝，計(jì)劃到2002年一年退耕還林1936畝，問這兩年平均每年退耕還林的平均增長率2．洛陽東方紅拖拉機(jī)廠一月份生產(chǎn)甲、乙兩種新型拖拉機(jī)，其中乙型16臺，從二月份起，甲型每月增產(chǎn)10臺，乙型每月按相同的增長率逐年遞增，又知二月份甲、乙兩型的產(chǎn)量之比是3：2，三月份甲、乙兩型產(chǎn)量之和為65臺，求乙型拖拉機(jī)每月的增長率及甲型拖拉機(jī)一月份的產(chǎn)量．
3．某商場于第一年初投入50萬元進(jìn)行商品經(jīng)營，以后每年年終將當(dāng)年獲得的利潤與當(dāng)年年初投入的資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入的資金繼續(xù)進(jìn)行經(jīng)營．
（1）如果第一年的年獲利率為p，那么第一年年終的總資金是多少萬元?（用代數(shù)式來表示）（注：年獲利率= ×100%）
（2）如果第二年的年獲利率多10個(gè)百分點(diǎn)（即第二年的年獲利率是第一年的年獲利率與10%的和），第二年年終的總資金為66萬元，求第一年的年獲利率．
答案:
一、1．B 2．B 3．D
二、1．6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2
2．a(chǎn)（1+x）2t
3．
三、1．平均增長率為x，則1600（1+x）2=1936，x=10%
2．設(shè)乙型增長率為x，甲型一月份產(chǎn)量為y：
則
即16x2+56x-15=0，解得x= =25%，y=20（臺）
3．（1）第一年年終總資金=50（1+P）
（2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：P2+2.1P-0.22=0，解得P=10%
22.3 實(shí)際問題與一元二次方程(2)
教學(xué)內(nèi)容
建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決如何全面地比較幾個(gè)對象的變化狀況．
教學(xué)目標(biāo)
掌握建立數(shù)學(xué)模型以解決如何全面地比較幾個(gè)對象的變化狀況的問題．
復(fù)習(xí)一種對象變化狀況的解題過程，引入兩種或兩種以上對象的變化狀況的解題方法．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：如何全面地比較幾個(gè)對象的變化狀況．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況．
教具、學(xué)具準(zhǔn)備
小黑板
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們獨(dú)立完成下面的題目．
問題：某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?
老師點(diǎn)評：總利潤=每件平均利潤×總件數(shù)．設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元，則每件平均利潤應(yīng)是（0.3-x）元，總件數(shù)應(yīng)是（500+ ×100）
解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元
則（0.3-x）（500+ ）=120
解得：x=0.1
答：每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元．
二、探索新知
剛才，我們分析了一種賀年卡原來平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了減少庫存降價(jià)銷售，并知每降價(jià)0.1元，便可多售出100元，為了達(dá)到某個(gè)目的，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?如果本題中有兩種賀年卡或者兩種其它東西，量與量之間又有怎樣的關(guān)系呢?即絕對量與相對量之間的關(guān)系．
例1．某
商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果甲種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.1元，那么商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.25元，那么商場平均每天可多售出34張．如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價(jià)的絕對量大．
分析：原來，兩種賀年卡平均每天的盈利一樣多，都是150元； ，從這些數(shù)目看，好象兩種賀年卡每張降價(jià)的絕對量一樣大，下面我們就通過解題來說明這個(gè)問題．
解：（1）從“復(fù)習(xí)引入”中，我們可知，商場要想平均每天盈利120元，甲種賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元．
（2）乙種賀年卡：設(shè)每張乙種賀年卡應(yīng)降價(jià)y元，
則：（0.75-y）（200+
×34）=120
即（ -y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y=
∴y≈-0.98（不符題意，應(yīng)舍去）
y≈0.23元
答：乙種賀年卡每張降價(jià)的絕對量大．
因此，我們從以上一些絕對量的比較，不能說明其它絕對量或者相對量也有同樣的變化規(guī)律．
（學(xué)生活動(dòng)）例2．兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?
老師點(diǎn)評：
絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．
相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計(jì)算來說明這個(gè)問題．
解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，
則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1-x）元．
依題意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合題意，舍去）
設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y．
則：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大．
因此，雖然絕對量相差很多，但其相對量也可能相等．
三、鞏固練習(xí)
新華商場銷售甲、乙兩種冰箱，甲種冰箱每臺進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺．乙種冰箱每臺進(jìn)貨價(jià)為2000元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2500元時(shí)，平均每天能售出8臺；而當(dāng)銷售價(jià)每降低45元時(shí)，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這兩種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，那么兩種冰箱的定價(jià)應(yīng)各是多少?
四、應(yīng)用拓展
例3．某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產(chǎn)品情況，請解答以下問題：
（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤．
（2）設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關(guān)系式．
（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少?
分析：（1）銷售單價(jià)定為55元，比原來的銷售價(jià)50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg．
（2）銷售利潤y=（銷售單價(jià)x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]
（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過 =250kg，在這個(gè)提前下，求月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少．
解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水產(chǎn)品不超過10000÷40=250kg，定價(jià)為x元，則（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
當(dāng)x1=80時(shí)，進(jìn)貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意．
當(dāng)x2=60時(shí)，進(jìn)貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
建立多種一元二次方程的數(shù)學(xué)建模以解決如何全面地比較幾個(gè)對象的變化狀況的問題．
六、布置作業(yè)
1．教材P53 復(fù)習(xí)鞏固2 綜合運(yùn)用7、9．
2．選用作業(yè)設(shè)計(jì)：
一、選擇題
1．一個(gè)小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2．某一商人進(jìn)貨價(jià)便宜8%，而售價(jià)不變，那么他的利潤（按進(jìn)貨價(jià)而定）可由目前x增加到（x+10%），則x是（ ）．
A．12% B．15% C．30% D．50%
3．育才中學(xué)為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內(nèi)師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹的年增長率相同，那么該校1997年植樹的棵數(shù)為（ ）．
A．600 B．604 C．595 D．605
二、填空題
1．一個(gè)產(chǎn)品原價(jià)為a元，受市場經(jīng)濟(jì)影響，先提價(jià)20%后又降價(jià)15%，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)多_______%．
2．甲用1000元人民幣購買了一手股票，隨即他將這手股票轉(zhuǎn)賣給乙，獲利10%，乙而后又將這手股票返賣給甲，但乙損失了10%，最后甲按乙賣給甲的價(jià)格的九折將這手股票賣出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
3．一個(gè)容器盛滿純藥液63L，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時(shí)容器內(nèi)剩下的純藥液是28L，設(shè)每次倒出液體xL，則列出的方程是________．
三、綜合提高題
1．上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那么哪個(gè)商場利潤的年平均上升率較大?
2．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個(gè)桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會(huì)減少2個(gè)，如果要使產(chǎn)量增加15.2%，那么應(yīng)多種多少棵桃樹?
3．某玩具廠有4個(gè)車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個(gè)車間都原有a（a>0）個(gè)成品，且每個(gè)車間每天都生產(chǎn)b（b>0）個(gè)成品，質(zhì)量科派出若干名檢驗(yàn)員周一、周二檢驗(yàn)其中兩個(gè)車間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有成品，然后，周三到周五檢驗(yàn)另外兩個(gè)車間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品，假定每名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同．
（1）這若干名檢驗(yàn)員1天共檢驗(yàn)多少個(gè)成品?（用含a、b的代數(shù)式表示）
（2）若一名檢驗(yàn)員1天能檢驗(yàn) b個(gè)成品，則質(zhì)量科至少要派出多少名檢驗(yàn)員?
答案：
一、1．C 2．B 3．D
二、1．2 2．1 3．（1-
）2=
三、1．甲：設(shè)上升率為x，則100（1+x）2=121，x=10%
乙：設(shè)上升率為y，則200（1+y）2=288，y=20%，
那么乙商場年均利潤的上升率大．
2．設(shè)多種x棵樹，則（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），
整理，得：x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，
解得x1=20，x2=380
3．（1） =a+2b或
（2）因?yàn)榧俣棵麢z驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同．
所以a+2b= ，解得：a=4b
所以（a+2b）÷
b=6b÷ b= =7.5（人）
所以至少要派8名檢驗(yàn)員．
22.3 實(shí)際問題與一元二次方程(3)
教學(xué)內(nèi)容
根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題．
教學(xué)目標(biāo)
掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．
利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型．
教具、學(xué)具準(zhǔn)備
小黑板
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（口述）1．直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？
2．正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？
3．梯形的面積公式是什么？
4．菱形的面積公式是什么？
5．平行四邊形的面積公式是什么？
6．圓的面積公式是什么？
（學(xué)生口答，老師點(diǎn)評）
二、探索新知
現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問題．
例1．某林場計(jì)劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？
（2）如果計(jì)劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？
分析：因?yàn)榍钭钚?，為了便于?jì)算，不妨設(shè)渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模．
解：（1）設(shè)渠深為xm
則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m
依題意，得： （x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1= =0.8m，x2=-2（舍）
∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．
（2）
=25天
答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
學(xué)生活動(dòng)：例2．如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？
老師點(diǎn)評：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm．
因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的 ，則中央矩形的面積是封面面積的．
所以（27-18x）（21-14x）=
×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=
，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm．
三、鞏固練習(xí)
有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少?（精確到0．1尺）
四、應(yīng)用拓展
例3．如圖（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．
（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△PBQ=8cm2．
（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘，使△PCQ的面積等于12.6cm2．（友情提示：過點(diǎn)Q作DQ⊥CB，垂足為D，則： ）
分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型．
（2）設(shè)經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使△PCQ的面積等于12.6cm2．因?yàn)锳B=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模．
解：（1）設(shè)x秒，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使△PBQ的面積為8cm2．
則： （6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴經(jīng)過2秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)1×2=2cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2×2=4cm處，經(jīng)過4秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)1×4=4cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2×4=8cm處，所以它們都符合要求．
（2）設(shè)y秒后點(diǎn)P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，點(diǎn)Q在CA上移動(dòng)，且使CQ=（2y-8）cm，過點(diǎn)Q作DQ⊥CB，垂足為D，則有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC= =10
∴DQ=
則： （14-y）·
=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即經(jīng)過7秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)7cm處（CP=14-y=7），點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)6cm處（CQ=2y-8=6），使△PCD的面積為12.6cm2．
經(jīng)過11秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)14cm>10，
∴點(diǎn)Q已超過CA的范圍，即此解不存在．
∴本小題只有一解y1=7．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．
六、布置作業(yè)
1．教材P53 綜合運(yùn)用5、6 拓廣探索全部．
2．選用作業(yè)設(shè)計(jì):
一、選擇題
1．直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為（ ）．
A．
B．5 C． D．7
2．有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長比第一塊的長少2m，寬是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是（ ）．
A．第一塊木板長18m，寬9m，第二塊木板長16m，寬27m;
B．第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長10m，寬18m;
C．第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長7m，寬13.5m;
D．以上都不對
3．從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
二、填空題
1．矩形的周長為8 ，面積為1，則矩形的長和寬分別為________．
2．長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________．
3．如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_______．
三、綜合提高題
1．如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m，背水坡度為1：2，迎水坡度為1：1，若壩長30m，完成大壩所用去的土方為4500m2，問水壩的高應(yīng)是多少?（說明：背水坡度
= ，迎水坡度 ）（精確到0.1m）
2．在一塊長12m，寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個(gè)面積為8m2的長方形花臺，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個(gè)寬度為多少?
3．誰能量出道路的寬度:
如圖22-10，有矩形地ABCD一塊，要在中央修一矩形花輔EFGH，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測量工具，只有無刻度的足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度?
請同學(xué)們利用自己掌握的數(shù)學(xué)知識來解決這個(gè)實(shí)際問題，相信你一定能行．
答案:
一、1．B 2．B 3．D
二、1．2 + 2 -
2．32cm
3．20m和7.5m或15m和10m
三、
1．設(shè)壩的高是x，則AE=x，BF=2x，AB=3+3x，
依題意，得： （3+3+3x）x×30=4500
整理，得：x2+2x-100=0
解得x≈ 即x≈9.05（m）
2．設(shè)寬為x，則12×8-8=2×8x+2（12-2x）x
整理，得：x2-10x+22=0
解得：x1=5+ （舍去），x2=5-
3．設(shè)道路的寬為x，AB=a，AD=b
則（a-2x）（b-2x）= ab
解得：x= [（a+b）- ]
量法為：用繩子量出AB+AD（即a+b）之長，從中減去BD之長（對角線BD= ），得L=AB+AD-BD，再將L對折兩次即得到道路的寬 ，即 ．
22.3 實(shí)際問題與一元二次方程(4)教學(xué)內(nèi)容
運(yùn)用速度、時(shí)間、路程的關(guān)系建立一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．
教學(xué)目標(biāo)
掌握運(yùn)用速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問題．
通過復(fù)習(xí)速度、時(shí)間、路程三者的關(guān)系，提出問題，用這個(gè)知識解決問題．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：通過路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：建模．
教具、學(xué)具準(zhǔn)備
小黑板
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（老師口問，學(xué)生口答）路程、速度和時(shí)間三者的關(guān)系是什么？
二、探究新知
我們這一節(jié)課就是要利用同學(xué)們剛才所回答的“路程＝速度×?xí)r間”來建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并且解決一些實(shí)際問題．
請思考下面的二道例題．
例1．某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時(shí)間t（s）之間的關(guān)系為：s=10t+3t2，那么行駛200m需要多長時(shí)間?
分析：這是一個(gè)加速運(yùn)運(yùn)，根據(jù)已知的路程求時(shí)間，因此，只要把s=200代入求關(guān)系t的一元二次方程即可．
解：當(dāng)s=200時(shí)，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0
解得t= （s）
答：行駛200m需 s．
例2．一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車．
（1）從剎車到停車用了多少時(shí)間?
（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少?
（3）剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）?
分析：（1）剛剎車時(shí)時(shí)速還是20m/s，以后逐漸減少，停車時(shí)時(shí)速為0．因?yàn)閯x車以后，其速度的減少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是勻速的，因此，其平均速度為 =10m/s，那么根據(jù)：路程=速度×?xí)r間，便可求出所求的時(shí)間．
（2）很明顯，剛要?jiǎng)x車時(shí)車速為20m/s，停車車速為0，車速減少值為20-0=20，因?yàn)檐囁贉p少值20，是在從剎車到停車所用的時(shí)間內(nèi)完成的，所以20除以從剎車到停車的時(shí)間即可．
（3）設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用除以xs．由于平均每秒減少車速已從上題求出，所以便可求出滑行到15米的車速，從而可求出剎車到滑行到15m的平均速度，再根據(jù)：路程=速度×?xí)r間，便可求出x的值．
解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是 =10（m/s）
那么從剎車到停車所用的時(shí)間是 =2.5（s）
（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0=20
從剎車到停車每秒平均車速減少值是
=8（m/s）
（3）設(shè)剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了xs，這時(shí)車速為（20-8x）m/s
則這段路程內(nèi)的平均車速為 =（20-4x）m/s
所以x（20-4x）=15
整理得：4x2-20x+15=0
解方程：得x=
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
答：剎車后汽車行駛到15m時(shí)約用0.9s．
三、鞏固練習(xí)
（1）同上題，求剎車后汽車行駛10m時(shí)約用了多少時(shí)間．（精確到0.1s）
（2）剎車后汽車行駛到20m時(shí)約用了多少時(shí)間．（精確到0.1s）
四、應(yīng)用拓展
例3．如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭：小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一般補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦．
（1）小島D和小島F相距多少海里?
（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里?（結(jié)果精確到0.1海里）
分析：（1）因?yàn)橐李}意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的長．
（2）要求補(bǔ)給船航行的距離就是求DE的長度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
解：（1）連結(jié)DF，則DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC= AB=200
海里，∠C=45°
∴CD= AC=100 海里
DF=CF， DF=CD
∴DF=CF= CD=
×100 =100（海里）
所以，小島D和小島F相距100海里．
（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里
在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2
整理，得3x2-1200x+100000=0
解這個(gè)方程，得：x1=200- ≈118.4
x2=200+ （不合題意，舍去）
所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
運(yùn)用路程＝速度×?xí)r間，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決一些實(shí)際問題．
六、布置作業(yè)
1．教材P53 綜合運(yùn)用9 P58 復(fù)習(xí)題22 綜合運(yùn)用9．
2．選用作業(yè)設(shè)計(jì):
一、選擇題
1．一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)為（ ）．
A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-36
2．某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)7元（即行駛距離不超過3km都需付7元車費(fèi)）；超過3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km計(jì)），某人乘出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程（ ）．
A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km
二、填空題
1．以大約與水平成45°角的方向，向斜上方拋出標(biāo)槍，拋出的距離s（單位：m）與標(biāo)槍出手的速度v（單位：m/s）之間大致有如下關(guān)系：s= +2
如果拋出40m，那么標(biāo)槍出手時(shí)的速度是________（精確到0.1）
2．一個(gè)小球由靜止開始在一個(gè)斜坡上向下滾動(dòng)，通過儀器觀察得到小球滾動(dòng)的距離s（m）與時(shí)間t（s）的數(shù)據(jù)如下：
時(shí)間t（s）
1
2
3
4
……
距離s（m）
2
8
18
32
……
寫出用t表示s的關(guān)系式為_______．
三、綜合提高題
1．一個(gè)小球以10m/s的速度在平坦地面上開始滾動(dòng)，并且均勻減速，滾動(dòng)20m后小球停下來．
（1）小球滾動(dòng)了多少時(shí)間?
（2）平均每秒小球的運(yùn)動(dòng)速度減少多少?
（3）小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）?
2．某軍艦以20節(jié)的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30節(jié)的速度由南向北航行，它能偵察出周圍50海里（包括50海里）范圍內(nèi)的目標(biāo)．如圖，當(dāng)該軍艦行至A處時(shí)，電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB=90海里，如果軍船和偵察船仍按原速度沿原方向繼續(xù)航行，那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦?如果能，最早何時(shí)能偵察到?如果不能，請說明理由．
答案:
一、1．C 2．B
二、1．19.3m/s 2．s=2t2
三、
1．（1）小球滾動(dòng)的平均速度= =5（m/s） 小球滾動(dòng)的時(shí)間：
=4（s）
（2） =2.5（m/s）
（3）小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了xs 平均速度=
=
依題意，得：x· =5，整理得：x2-8x+4=0
解得：x=4±2
，所以x=4-2
2．能．設(shè)偵察船最早由B出發(fā)經(jīng)過x小時(shí)偵察到軍艦，則（90-30x）2+（20x）2=502
整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2
，x2=2，
∴最早再過2小時(shí)能偵察到．
第二十四章 圓
單元要點(diǎn)分析
教學(xué)內(nèi)容
1．本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容．
（1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角．
（2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系．
（3）正多邊形和圓．
（4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積．
2．本單元在教材中的地位與作用．
學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通過折疊、對稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認(rèn)識了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗(yàn)．本章是在學(xué)習(xí)了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來探索一種特殊的曲線──圓的有關(guān)性質(zhì)．通過本章的學(xué)習(xí)，對學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用．本章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程．
教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
（1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理．
（2）探索并理解點(diǎn)和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線．
（3）進(jìn)一步認(rèn)識和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計(jì)算．
（4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用；理解圓錐的側(cè)面展開圖并熟練掌握圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算．
2．過程與方法
（1）積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng)．了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公式．
（2）在教學(xué)過程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交流．
（3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過程中，讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想．
（4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力．
（5）探索弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式并理解公式的意義、理解算法的意義．
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力；通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望．
教學(xué)重點(diǎn)
1．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其運(yùn)用．
2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等及其運(yùn)用．
3．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半及其運(yùn)用．
4．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其運(yùn)用．
5．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．
6．直線L和⊙O相交 d<r；直線L和圓相切 d=r；直線L和⊙O相離 d>r及其運(yùn)用．
7．圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用．
8．經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問題．
9．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運(yùn)用．
10．兩圓的位置關(guān)系：d與r1和r2之間的關(guān)系：外離 d>r1+r2；外切 d=r1+r2；相交 │r2-r1│<d<r1+r2；內(nèi)切 d=│r1-r2│；內(nèi)含 d<│r2-r1│．
11．正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角θ之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目．
12．n°的圓心角所對的弧長為L= ，n°的圓心角的扇形面積是S扇形= 及其運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算．
13．圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算．
教學(xué)難點(diǎn)
1．垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)際問題．
2．弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題．
3．有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用．
4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用．
5．三點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索及應(yīng)用．
6．直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用．
7．切線的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用．
8．切線長定理的探索與運(yùn)用．
9．圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運(yùn)用．
10．正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角θ的關(guān)系的應(yīng)用．
11．n的圓心角所對的弧長L= 及S扇形＝ 的公式的應(yīng)用．
12．圓錐側(cè)面展開圖的理解．
教學(xué)關(guān)鍵
1．積極引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、性質(zhì)、“三個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng)．
2．關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高．
3．在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語言表達(dá)能力．
單元課時(shí)劃分
本單元教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí)，具體分配如下：
24．1 圓 3課時(shí)
24．2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 4課時(shí)
24．3 正多邊形和圓 1課時(shí)
24．4 弧長和扇形面積 2課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 3課時(shí)
24．1 圓
第一課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
1．圓的有關(guān)概念．
2．垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其它們的應(yīng)用．
教學(xué)目標(biāo)
了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問題．
從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．
重難點(diǎn)、關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用．
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題．
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)口答下面兩個(gè)問題（提問一、兩個(gè)同學(xué)）
1．舉出生活中的圓三、四個(gè)．
2．你能講出形成圓的方法有多少種？
老師點(diǎn)評（口答）：（1）如車輪、杯口、時(shí)針等．（2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓．
二、探索新知
從以上圓的形成過程，我們可以得出：
在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．
以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問題：
問題1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？
問題2：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？
老師提問幾名學(xué)生并點(diǎn)評總結(jié)．
（1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；
（2）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．
因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)組成的圖形．
同時(shí)，我們又把
①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；
②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；
③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點(diǎn)的弧記作 ”，讀作“圓弧 ”或“弧AC”．大于半圓的弧（如圖所示 叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示） 或 叫做劣?。?div style="height:15px;">
