分形幾何
自然界的幾何學(xué)
Long long ago，超模君為大家介紹Koch曲線（傳送門）的時(shí)候提到了分形，結(jié)果小天很好奇這個(gè)所謂的分形究竟是什么。為了不讓小天老是糾纏這個(gè)問(wèn)題，今天超模君就來(lái)介紹一下分形吧。
數(shù)千年以來(lái)，幾何學(xué)的研究主要集中在歐幾里得幾何上。正因如此，歐式幾何一直是人類認(rèn)識(shí)自然物體形狀的有力工具，還是各種學(xué)科理論的基礎(chǔ)。甚至伽利略曾斷言：“大自然的語(yǔ)言是數(shù)學(xué)，它的標(biāo)志是三角形、圓和其他幾何圖形”。
但，真的是這樣嗎？
事實(shí)并非如此，自然界中存在著各種不規(guī)則不光滑不連續(xù)的幾何形體，譬如湍流的高漩渦、河流的支流、蜿蜒的海岸線，而這些形體是無(wú)法用歐式幾何描述的。
既然“萬(wàn)能”的歐式幾何不管用了，那么有沒(méi)有處理這些不規(guī)則形體的好方法呢？
顯然是沒(méi)有的。
因此在1個(gè)多世紀(jì)前，所謂的數(shù)學(xué)怪物出現(xiàn)了，而康托爾、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家則成為了制造者。
1883年，康托爾（傳送門）引入了如今廣為人知的康托爾集，也稱為三分集。雖然康托爾集很容易構(gòu)造，還是個(gè)測(cè)度為0的集，也就是它的函數(shù)圖像面積為0，但它具備很多最典型的分形特征，因此康托爾始終無(wú)法解決。
目前分形幾何的特征有：在任意小的尺度上都能有精細(xì)的結(jié)構(gòu)； 太不規(guī)則； （至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫維數(shù)會(huì)大於拓?fù)渚S數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）； 有著簡(jiǎn)單的遞歸定義。
Cantor集
1895年，在大部分?jǐn)?shù)學(xué)家認(rèn)為除了少數(shù)特殊的點(diǎn)以外，連續(xù)的函數(shù)曲線在每一點(diǎn)上總會(huì)有斜率的情況下，魏爾斯特拉斯提出了第一個(gè)分形函數(shù)“魏爾斯特拉斯函數(shù)”，并憑借函數(shù)曲線特點(diǎn)“處處連續(xù)，處處不可微”證明了所謂的“病態(tài)”函數(shù)的存在性。
1906年，科赫在論文《關(guān)于一條連續(xù)而無(wú)切線，可由初等幾何構(gòu)作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，而這個(gè)雪花曲線就是de Rham曲線的特例科赫曲線（傳送門）。
Koch曲線
1914年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基利用等邊三角形進(jìn)行分形構(gòu)造，提出了謝爾賓斯基三角形；兩年后，利用正方形進(jìn)行分形構(gòu)造提出了謝爾賓斯基地毯。
謝爾賓斯基三角形和謝爾賓斯基地毯（3D）
之后的59年間，陸續(xù)有人研究出相關(guān)的分形情況，但始終都沒(méi)有人能夠消滅這些數(shù)學(xué)怪物，直到“分形學(xué)之父”Benoit Mandelbrot（本華·曼德博，又譯為芒德布羅）誤打誤撞發(fā)現(xiàn)了一只臭蟲，誕生了真正屬于自然界的幾何學(xué)——分形幾何，才徹底解決。
Benoit Mandelbrot
1961年，在IBM擔(dān)任研究員的Mandelbrot收到了解決阻止信號(hào)傳輸?shù)?strong>白噪聲的任務(wù)。雖然任務(wù)相當(dāng)簡(jiǎn)單，但是Mandelbrot被要求提供新的解決方案，因此他只好借助自身擅長(zhǎng)可視化思考問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)來(lái)探索解決方法。
于是在從形狀上觀察白噪聲的時(shí)候，Mandelbrot發(fā)現(xiàn)白噪聲轉(zhuǎn)換而成的擾動(dòng)圖形揭示了一種奇怪的特征：無(wú)論圖形的比例是多大，無(wú)論數(shù)據(jù)代表的時(shí)長(zhǎng)是多少，擾動(dòng)模式基本一致。
這很奇怪，誰(shuí)能告訴我為什么
這個(gè)奇怪的特征讓Mandelbrot甚是苦惱，不過(guò)他有個(gè)好叔叔。因?yàn)樗氖迨遄袅心贰っ⒌虏_伊（Szolem Mandelbrojt）曾經(jīng)建議他研究研究皮埃爾·法圖（Pierre Fatou）和加斯頓·朱利亞（Gaston Julia）建立的迭代理論和公式z = z2 + c。
公式采用變量z和參數(shù)c，映射了復(fù)平面上的數(shù)值。其中x軸測(cè)量復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分，而 y 軸測(cè)量復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分。
而正是因?yàn)檫@個(gè)建議，在借助IBM家的高性能計(jì)算機(jī)的情況下，Mandelbrot通過(guò)迭代對(duì)數(shù)字進(jìn)行了成千上萬(wàn)次的運(yùn)算和處理，最終成功繪制輸出值的圖形—一個(gè)形似臭蟲的圖形。
迭代是重復(fù)反饋過(guò)程的活動(dòng)，其目的通常是為了逼近所需目標(biāo)或結(jié)果。每一次對(duì)過(guò)程的重復(fù)稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結(jié)果會(huì)作為下一次迭代的初始值。
沒(méi)錯(cuò)，這就是那只臭蟲
圖形的成功繪制并沒(méi)有讓Mandelbrot過(guò)于興奮，因?yàn)樗诩?xì)心觀察后發(fā)現(xiàn)這只臭蟲的小觸角跟大觸角的形狀是一樣的，但是結(jié)構(gòu)并不完全一樣，每一個(gè)小觸角比前一個(gè)觸角更為復(fù)雜。也就是說(shuō)全部觸角的形狀都很相似，但是細(xì)節(jié)存在不同之處。
Mandelbrot對(duì)此甚感興趣，進(jìn)行深入研究后得出細(xì)節(jié)的特異性僅限于計(jì)算等式所用的機(jī)器的能力，而形狀的相似可以永遠(yuǎn)持續(xù)下去—無(wú)限地揭示越來(lái)越多的細(xì)節(jié)。隨后，Mandelbrot就覺察出自己無(wú)意中有了能夠震驚數(shù)學(xué)界的發(fā)現(xiàn)—一種新的幾何學(xué)。
對(duì)于這類重復(fù)的或者自身相似的數(shù)學(xué)圖形，Mandelbrot在1975年提出了“分形”（Fractal），緊接著在1967年，他發(fā)表了題為《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)》的劃時(shí)代論文，萌生出分形思想。
此后，Mandelbrot越發(fā)勤奮地進(jìn)行研究，陸續(xù)出版了《分形學(xué)：形態(tài)，概率和維度》（法文）、《分形：形狀，機(jī)遇和維數(shù)》（英譯本）和《大自然的分形幾何》（第一版），但是這三本書并沒(méi)引起人們對(duì)分形的注意。
直到1982年出版的《大自然的分形幾何》（第二版）才讓分形幾何徹底走進(jìn)公眾的視野，而通過(guò)描述樹，Mandelbrot指出了分形幾何適用于自然物質(zhì)。
就這樣，分形幾何學(xué)誕生了（而分形幾何還沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的定義），與此同時(shí)，此書成為了分形學(xué)界的“圣經(jīng)”。
實(shí)際上，Mandelbrot創(chuàng)造的分形幾何學(xué)具有極為重要的影響，它很快就進(jìn)入了主流數(shù)學(xué)研究范疇，幫助數(shù)學(xué)家們徹底解決了困擾著大家N年的數(shù)學(xué)怪物，還對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)維數(shù)進(jìn)行研究，形成分形理論，并應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域。
“ Mandelbrot集”（曼德博集）
不要以為分形學(xué)很高級(jí)，它的應(yīng)用我們接觸不到。不是這樣的，分形幾何其實(shí)無(wú)處不在，離我們最近的要數(shù)身體中的生理過(guò)程了。
舉個(gè)栗子！
在過(guò)去很長(zhǎng)時(shí)間里，科學(xué)家們一直認(rèn)為人類的心臟是以規(guī)則的線性形式跳動(dòng)，然而真正健康的心臟的心率是以特殊的不規(guī)則形式跳動(dòng)的。同樣，體內(nèi)的血液也是以不規(guī)則方式在人體內(nèi)分布。
借助分形幾何，醫(yī)生無(wú)需借助更清晰的醫(yī)學(xué)圖像或者更強(qiáng)大的機(jī)器就可看到人體器官癌變前的結(jié)構(gòu)，并能通過(guò)分形學(xué)生成的數(shù)學(xué)模型更早的檢測(cè)出癌變細(xì)胞，而非顯微鏡。
最開始將藝術(shù)和數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起還是Mandelbrot，他向世界展示了這兩個(gè)領(lǐng)域并非互相排斥的，之后分形藝術(shù)便一發(fā)不可收拾。
分形藝術(shù)不同于普通的“電腦繪畫”，它主要利用分形幾何學(xué)原理，借助計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力，將數(shù)學(xué)公式反復(fù)迭代運(yùn)算，再結(jié)合創(chuàng)作者的審美及美術(shù)功底，就將創(chuàng)作出一幅幅精美的藝術(shù)畫作。
數(shù)學(xué)之美是非常令人興奮、鼓舞人心的，并且我們一直在研究，一直在研究，看不到終點(diǎn)。
本文由超級(jí)數(shù)學(xué)建模編輯整理
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