分形幾何學
轉(zhuǎn)載分形幾何學
---研究碎片形態(tài)的幾何學
分形幾何學（The fractal geometry）是繼隨機數(shù)學、模糊數(shù)學和渾沌學后，又一門研究事物非連續(xù)光滑規(guī)整確定形態(tài)的數(shù)學分支，由美國數(shù)學家波努瓦·曼德勃羅特（B.B.Mandelbot）于上世紀七十年代所創(chuàng)立，為我們對事物形態(tài)尤其是碎片形態(tài)這一特殊形態(tài)與運動方式的復雜性研究提供了一個觀察的新視角。[6](P1)分形幾何學是一門比較高深的數(shù)學分支，我們力圖用通俗的語言深入淺出的加以介紹。
B.B.曼德布羅特是美籍法國數(shù)學家,1924年11月20日出生于波蘭華沙一個立陶宛猶太人家，其父是一位成衣批發(fā)商，母親是位牙科醫(yī)生。1936年全家移居法國巴黎，他的叔叔索列姆·曼德布羅特（Szolem.Mandelbrot 1899.1.20-1983.9.23) 在巴黎，是一位杰出的純數(shù)學家和復分析專家。
曼德勃羅特
曼德布羅特1945-1947年在高等藝術(shù)學校學習，1947年于巴黎理工學校（Ecole Polytechnique Paris）畢業(yè)，1948年獲美國加利福尼亞理工學院帕薩迪訥獲航空學碩士，1952年在巴黎大學獲哲學（數(shù)學）博士。1958年因與布爾巴基學風相左離開法國前往美國定居，先后在哈佛大學教經(jīng)濟，耶魯大學教工程，愛因斯坦醫(yī)學院教生理學。 [1]
他現(xiàn)在仍然在美國IBM（國際商業(yè)機器）公司沃特森研究中心自然科學部擔任高級研究員，同時在哈佛大學應用數(shù)學任兼職教授，美國國家科學院院士，美國藝術(shù)與科學研究員成員，歐洲藝術(shù)、科學和人文研究院院士（巴黎）。上世紀80年代以來，獲得了許多榮譽。1988年共獲四項大獎，其中“科學與藝術(shù)”獎的目的是“促進藝術(shù)、科學和工業(yè)界之間的相互滲透的重大科學創(chuàng)新，從而使美學創(chuàng)造力伸展到科學技術(shù)領域中”。1989年獲得在以色列頒發(fā)的“科學與藝術(shù)哈維（Harvey）獎”。[1] 曼德布羅特教授投身科學事業(yè)40余年來，在許多領域做出了重要貢獻，橫跨數(shù)學、物理學、地學、經(jīng)濟學、生理學、計算機、天文學、情報學、信息與通訊、城市與人口、哲學與藝術(shù)等學科與專業(yè)，是一位名副其實的博學家。他研究過海岸線、通訊中的噪音、尼羅河水位的記錄、棉花價格和股票市場的漲落等不規(guī)則的東西，取得了令人矚目的成就，由于他的奔走呼號和鍥而不舍地持續(xù)努力，分形理論才發(fā)展成為一門應用廣泛、用途遠大的邊緣橫斷學科。[2]
曼德布羅特的經(jīng)歷曲折不平充滿神奇。由于戰(zhàn)亂，他的學業(yè)時斷時續(xù)，受的教育也很不正規(guī)。年輕時參加過法國著名的數(shù)學團體即布爾巴基學派，但由于布爾巴基摒氣一切圖形，過分強調(diào)邏輯分析和形式主義，使得他無法忍受而轉(zhuǎn)到巴黎理工學校讀書。10年后，因同樣的原因而離開法國到美國定居，他不愿意放棄自己的幾何直覺。他長期生活在一個被人遺忘的數(shù)學角落里，用一種非正統(tǒng)的方法探索一些“不時髦”的原理。對純粹的數(shù)學家來說，曼德布羅特是不夠格的數(shù)學家，既謂神無方而又易無體，經(jīng)常作為異端受到指責和批評。曼德布羅特戲謔自己是一為游牧民，又叫自己是“按需先鋒隊”，徜徉于自己愛好的天地中。
曼德布羅特在數(shù)學尤其是幾何學與計算機兩方面都兼通，擅長于形象空間的思維，具有把復雜問題化為簡單生動甚至彩色圖象的本領，無論是什么數(shù)學問題，他幾乎都能巧妙地把它轉(zhuǎn)化為幾何問題，通過圖形變換求解，其思維極其圖形化。1967年發(fā)表于美國《科學》雜志上的“英國的海岸線有多長”的劃時代論文，是他的分形思想萌芽的重要標志。1973年，在法蘭西學院講課期間，他建立了分形幾何學的整體思想。
曼德布羅特對不規(guī)則的形狀和不規(guī)則的現(xiàn)象非常感興趣，他對早期人們遇到的“病態(tài)”集合進行了研究，包括康妥集、魏爾斯特拉斯曲線、皮亞諾曲線和科克曲線等等。為了給自己研究的那些極不規(guī)則、破碎不堪、不光滑、不可微的東西命名，1975年冬他創(chuàng)造了fractal一詞，原義是不規(guī)則的、分數(shù)的、支離破碎的。同年他以《分形：形狀、機遇和維數(shù)》（法文版）為名發(fā)表了他劃時代的專著，奠定了分形理論的誕生。這是一本漫談體的書，插圖豐富，抽繭統(tǒng)紀，才思橫溢博學而古怪，引起眾說紛紜。1982年經(jīng)擴展和加工的另一本書，英文版的《大自然的分形幾何學》又與讀者見面。此書文字艱澀又不失幽默，引經(jīng)據(jù)典旁征博引，他自稱是一本“宣言書”又是一本“個案記錄”，但被分形界的學者視為“圣經(jīng)”。
1 分形幾何學產(chǎn)生的背景
在函數(shù)和幾何研究中,數(shù)學家們發(fā)現(xiàn),客觀世界中既存在著連續(xù)現(xiàn)象,也存在著大量不連續(xù)現(xiàn)象,更多的事物呈現(xiàn)不光滑不規(guī)整不確定的形態(tài),尤其是上個世紀以來,科學家們對不連續(xù)不光滑的現(xiàn)象傾注更大的注意力,在不連續(xù)不光滑形態(tài)研究中取得重大進展，誕生了隨機數(shù)學、模糊數(shù)學和渾沌學等新的學科。[10]（P89）在不連續(xù)形態(tài)分析中，人們又注意到另一種特殊現(xiàn)象，即物體形態(tài)呈現(xiàn)鋸齒形，如同碎裂的石片。例如，大千世界中諸如蜿蜒曲折的海岸線，天空中奇形怪狀的云團，太空中星球星羅棋布的分布，生物體不規(guī)則的生長，分子和原子無規(guī)運動的軌跡，豈特物為然，許多社會現(xiàn)象亦如是，社會科學中的人口、物價等等問題何嘗不呈現(xiàn)異常復雜毫無規(guī)則的形態(tài)。這些物體的形狀與現(xiàn)象，委曲微變，不可勝道，其繁雜程度令人無從下手，歐幾里德幾何的要素是光滑的直線、平面、圓、球等，但是曼德布羅特教授說，“云不是球、山岳不是錐體、海岸線不是圓、樹皮不是光滑的，閃電也不是沿直線傳播的。”
圖表 1
著名的例子是康妥集(Cantor set在集合論等數(shù)學領域都用到的一個典型的例子)由德國數(shù)學家格奧爾格?康妥(Georg Cantor)引入的一種點集概念。它是在一條線段上的一些點的集合，具有不可數(shù)和自相似的特征,是最容易構(gòu)造的分形。設E0是閉區(qū)間[0,1](表示滿足0《x《1的實數(shù)x組成的集合)，E1表示由E0去掉中間三分之一后得到的集，即E1包含[0,1/3]和[2/3,1]兩個區(qū)間。分別去掉這兩個區(qū)間的中間的1/3而得到E2，即E2包含[0，1/9]、[2/9，1/3]，[2/3，7/9]，[8/9，1]四個區(qū)間。按此方法繼續(xù)下去，則Ek是由2k個長度各為3-k的區(qū)間組成。三分康妥集F是由屬于所有Ek的數(shù)組成的，確切地說， k=0Ek,F可以看成是集序列Ek當k趨于無窮時的極限。顯然，不可能畫出帶有無窮小細節(jié)的F本身，所以F的圖實際上只是一個k無窮大時對F較好逼近的Ek的圖。[6](P1)
圖表2中的Sierpinski三角形是從一個初始的等邊三角形反復去掉（相反方向）小等邊三角形得到的，將此過程看成是反復用三個高為原高一半的三角形取代原來三角形的過程。
圖表 2 Sierpinski三角形
用歐幾里德幾何無法來解釋更無法來分析碎片現(xiàn)象來解決這些無規(guī)則的問題，那時，人們無奈只好把這些現(xiàn)象和問題拋在一邊茍且不加理會了。[7](P3)
恰巧，二十世紀以來，科學們?nèi)找嬷匾暰植啃缘难芯?，已?jīng)在對事物的局部研究上取得相當?shù)某煽?，微觀技術(shù)和微觀數(shù)學已經(jīng)蓬勃發(fā)展起來，[10]（P96）分形幾何學早期的工作可追溯到19世紀。[10]（P100）借助微分幾何中流形理論，以及測度論等工具，由美國數(shù)學家曼德布羅特教授建立起分形幾何學，專門研究動態(tài)大系統(tǒng)中，自相似現(xiàn)象的一種特殊形態(tài)。他將這些形態(tài)的現(xiàn)象比擬為碎石片（fractal），即分形。這些不規(guī)則的圖形的整體可與部分產(chǎn)生自相似,即部分的形狀與整體的形狀是一樣的，不論部分如何小下去，如同全息論的思想[10]（P114），在每一個部分都帶有整體的幾何形狀的信息。[7](P9)類似于人體血液，任選一滴化驗，都可反映出人體全身的血液成份。再如洋蔥頭和中國古代的箱套，以及大宇宙和小宇宙說法的層層相套結(jié)構(gòu)是空間自相似的典型。[10]（P113）
分形碎片現(xiàn)象在客觀世界中太頻繁多見了，分形的怪異性質(zhì)在自然界中普遍存在，因此研究分形現(xiàn)象有重大價值，包括物理、化學、生物、地球科學、天文物理學中不規(guī)則圖形,都可以近似或類似地看作分形加以解釋和處理,而處理分形現(xiàn)象所需要的數(shù)學工具也都成熟齊備，至此分形幾何學便應運而生了。[10]（P93）
如果我們用不精確的語言來描述說，隨機數(shù)學研究事物的統(tǒng)計大致的不準確性質(zhì)，模糊數(shù)學研究物體的多值不確定性，渾沌論研究整體無規(guī)律，局部有規(guī)律的混亂現(xiàn)象，則分形幾何則研究整體與部分之間有自相似關(guān)系的缺牙斑疵的不光滑形態(tài)，復雜世界需要更貼近自然的直接從非線性復雜系統(tǒng)本身入手的分形幾何學。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何是描述大自然較普遍現(xiàn)象的一門幾何學。
2 分形幾何學的基本概念和原理
分形幾何學中概念專業(yè)化較強,我們用通俗和專業(yè)(見附錄)兩種方式來分別作介紹。
用通俗的方法講，分形幾何亦即是研究自相似復雜圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學。何謂是自相似呢？我們在中學幾何中知道，相似形是指兩個成比例的圖形。彼自相似就是整體與部分的形狀是相同的圖形，局部與整體在形態(tài)、功能和信息等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性。適當?shù)胤糯蠡蚩s小分形對象的幾何尺寸，整體結(jié)構(gòu)并不改變，這叫做標度不變性。[17]（P78）例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上并無大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；[10]（P101）我們再拿來一片樹葉來觀察它的葉脈，它們也具備如此性質(zhì)；夫動物也不例外，一頭牛身體中的任一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息；還有高山的表面，無論怎樣放大其局部，它都是粗糙不平的。這些例子在我們的身邊俯拾即是隨處可見。分形幾何以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象，揭示了世界的自相似的本性。從康妥集和Sierpinski三角形的圖形,我們可以看出這些圖形如下的一些性質(zhì)，即分形的性質(zhì)：[6](P3,P11，P229)
1)、分形具有精細的結(jié)構(gòu)，即在任意小的尺度內(nèi)包含著整體的結(jié)構(gòu)。即分形集都具有任意小尺度下的比例的細節(jié)，越放大康妥集的圖，間隙就越清楚地呈現(xiàn)出來。也稱為標度不變性或無特征長度，是指在分形上任選一局部區(qū)域，不論將其放大還是縮小，它的結(jié)構(gòu)形態(tài)性質(zhì)功能，復雜程度不規(guī)律性等各種特征均保持不變（或是統(tǒng)計性的），故標度不變性又稱為伸縮對稱性。往往是所考慮的對象中最具有代表性的尺度，如空間的長寬高，時間的時分秒等。
2）、無論從局部和整體上看，分形是不規(guī)律的，它不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述,它既不是滿足某些簡單條件的點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。
分形也不能用通常的面積體積等尺度來度量。例如康妥集F在某種意義上是相當大的集（是不可數(shù)無窮集），然而它的大小不適合于用通常的測度和長度來度量，用任何合理定義的尺度度量F的長度皆概為零。
從康妥集我們還注意到, F的局部幾何性質(zhì)也是很難描述的，在它的每點附近都有大量幾曾被種種條件的不同間隔分開漏棄的其他的點。
3）、分形是自相似的，例如在康妥集中，在區(qū)間[0,1/3]和[2/3，1]內(nèi)的F的部分與F是幾何相似的，相似比為1/3。進而E2的四個區(qū)間內(nèi)F的部分與F也相似，相似比為1/9。以此類推，康妥集包含許多不同比例的與自身相似的樣本。
分形集具有某種自相似形式，或許是近似的自相似性，或許是統(tǒng)計意義下的自相似性。
4）、通常分形的“分形維數(shù)”比它的拓撲維數(shù)要大,一般地說嚴格大于它相應的拓撲維數(shù)。（指歐氏空間中的幾何對象數(shù)或變量數(shù)）。
5)、在大多數(shù)情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可以用變換的迭代產(chǎn)生，即是遞歸的。例如康妥集，雖然F有錯綜復雜的細節(jié)結(jié)構(gòu)，但F的實際定義是非常簡單明了的。乃是一個迭代過程得到的，我們的結(jié)構(gòu)是由反復地去除區(qū)間中間`1/3得到的，持續(xù)k步驟得到的Ek是F的越來越好的逼近。[10]（P107，P111）
將上述分形的性質(zhì)加以整理，以及從對分形通俗的描述可知分形幾何學具有如下兩個基本思想，自相似性和分數(shù)維：
1)客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu),局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義的相似性。
客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似形。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下
去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)都沒有發(fā)生變化。概言之，分形是如此一種對象，將其細微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來仍與原先的一樣。例如，任意一段海岸線就像是整個海岸線按比例縮小的結(jié)果。
2)分數(shù)維是刻劃分形的特征量。
自相似性好理解，分數(shù)維不太好理解,我們先來看一下,什么是維? 從字面上講,維即維系,維持并聯(lián)系,使不渙散。如織物上縱橫經(jīng)緯線，將線排列編織成織物。N維就是N條直線兩兩垂直所形成的空間。
若是從變量或參數(shù)的角度來看，這個參數(shù)就叫做維。幾個參數(shù)即是幾個維。例如，0維是點，沒有長、寬、高。一維是由無數(shù)的點組成的一條線，只有長度，沒有寬、高。二維是由無數(shù)的線組成的面，有長、寬沒有高。三維是由無數(shù)的面組成的體，有長寬高。[10]（P97）
通過直線與實數(shù)的對應關(guān)系，那么我們可以知道，所謂的分數(shù)維，也就是說，參數(shù)取值于實數(shù)集中的某一子集（孤立點集、離散集），是實數(shù)集的若干分之一。其維不是整數(shù)，而是若干分之一。如康妥集即由直線中去除了若干點剩余的部分，是直線的若干分之一。它的長度為零，故維數(shù)不能為1。但維數(shù)也不為零，因為它有無窮點，又不是只有一個點，故其維是大于零小于一的分數(shù)。經(jīng)具體計算，康妥集的維數(shù)為：log2/log3=0.6309…。[6](P51)
在Sierpinski三角形中，我們首先作一個完全填充的三角形（二維）。然后，我們從中間移去一個三角形，然后再在剩下的三角形中分別移去一個三角形。最終它的面積等于零了，于是，它的維數(shù)自然小于 2 （如果維數(shù)等于2，則面積就不能為零了），但是卻永遠達不到 1 ，因為，無論何處，它都不接近一條線。故而，它的維數(shù)必在2與1之間，經(jīng)過數(shù)學計算后知道，它的真正維數(shù)大約是1.5850。
我們也可以根據(jù)自相似性來導出維的新的概念。[6](P160)首先把一條線段分截成兩個相同的小線段，我們把這種分截的結(jié)果有意寫成數(shù)學式子：2=21，或者以2為底寫成 log22/log22=1,其中指數(shù)為1，就一個方形而言，把邊長分為二等份，結(jié)果產(chǎn)生出與原來形式相同的四個小方體：4=22，以2為底寫成對數(shù)形式為log24/log22=2.同理，把一個立方體的邊分為二等份，就產(chǎn)生出同原來形狀相同的8個小立方體：8=23，以2為底，寫成對數(shù)形式則有l(wèi)og28/log22=3.這里的指數(shù)，1，2，3是從相似性概念推導出來的，我們可以把這個概念加以推廣，具體地說，如果把一個物體的邊長分成a 個小線段，并且結(jié)果產(chǎn)生出同原物體形狀相同的b個小物體，根據(jù)如上所述，可以把這個結(jié)果寫成b=aD;，其中的D為相似性維數(shù)，D=lnb/lna。這個D并不定為整數(shù)，如在科赫曲線中，其D為ln4/ln3=1.26。于是乎維的概念突破了歐氏幾何的傳統(tǒng)概念，而出現(xiàn)了分形的維為分數(shù)的情況。這里需提醒讀者注意的是，由于人們對事物觀察的角度不同，對幾何結(jié)構(gòu)的認識是則相對的，因此維數(shù)也是多樣的。[7](P10-19)
現(xiàn)在對分形的研究大體上分為以下幾個方面，其一是對自然界、社會經(jīng)濟以及藝術(shù)等領域中的典型分形形態(tài)進行觀察實驗；其二是應用于各個技術(shù)領域；其三從數(shù)學理論的角度研究分形和分維，試圖建立分形理論的數(shù)學基礎；其四對多分形和復分形展開研究；其五從物理的角度對分形形成的機理和動力學規(guī)律等進行研究；其六是從哲學方法論和科技史的角度對分形理論的認識意義哲學啟示進行研究，[10]（P102）第六方面國內(nèi)翻譯介紹得較少，一般見諸于期刊雜志上哲學觀點仍然是企圖用馬克思主義加以曲解而枉其道，前阻后追，使分形等新科學奧妙精辟思想不為國人所認識接受，使國人生活在愚昧落后的馬克思主義意識形態(tài)中。
3 分開幾何給我們的啟發(fā)
到了現(xiàn)代，事物的形式與形態(tài)問題愈加吸引了人們的注意，并且進一步和系統(tǒng)信息和控制等理論聯(lián)系起來，出現(xiàn)了一些專門研究形態(tài)或與形態(tài)有關(guān)的學科，例如表面物理學數(shù)理邏輯等，而化學在一定意義上說是研究物態(tài)和構(gòu)形的科學，生物學與形態(tài)的關(guān)系則更為明顯。將形式與內(nèi)容本質(zhì)割裂開來并加以抽象的形式主義終于作為科學研究重要的思想方法為人們所普遍接受并運用，而分形幾何學則是一門側(cè)重事物外在形式研究的現(xiàn)代科學。另一方面，現(xiàn)代科學揭示出來的隨機、模糊、渾沌和孤立子等許多問題涉及重新認識確定性與隨機性、必然性與偶然性、有序與無序、簡單與復雜……這些范疇，進一步涉及對時空觀、自然觀、規(guī)律的認識。
3.1驗證了客觀世界存在著無規(guī)律的現(xiàn)象。規(guī)律性表現(xiàn)為有序性，從常規(guī)數(shù)學來看，分形是不規(guī)則點集（即無序的），但它卻存在著局部與整體的自相似，其維數(shù)是非整數(shù)，它的形態(tài)是復雜的，盤渦谷轉(zhuǎn)，凌濤山頹，無法用傳統(tǒng)數(shù)學描述，但卻可以用簡單的迭代法生成。故我們說，分形之“序”在有序與無序之間的狀態(tài)——“渾沌序”(或稱為半序)。渾沌序是說，就其不具有周期性和對稱性而言，它是無序的；但就其隨時間演化表現(xiàn)出來的倍周期分岔進入混沌具有相同的速度和周期點分布遵循一定規(guī)律來看，它又是有序的。而分形就其空間結(jié)構(gòu)的自相似來看，它是有序的，但從規(guī)則上來看又是無序的即無規(guī)律的。可以這么說,分形是規(guī)律性偏強些的不規(guī)則圖形。
所以，混沌序不僅擴大了我們對物質(zhì)運動規(guī)律性的認識，而且將促使我們重新審查我們先前的自然觀。我們可以提出這樣的自然觀,存在著一種準(半)規(guī)律，即從有序的角度來衡量是無規(guī)律的，從無序的角度來看有存在某些局部的規(guī)律性。渾沌即是從整體上看無規(guī)律，在局部存在著規(guī)律。而分形的準（半）規(guī)律則說，局部可以與整體的形狀相似或相同，分形的維數(shù)是分數(shù)維。當然這種準規(guī)律決不能等同于一般的規(guī)則，不能建立起分形局部或整體的序，從而無法建立起整體的規(guī)律或者局部的規(guī)律并從局部的規(guī)律推繹出整體變化的趨勢。否則分形則成了規(guī)則圖形。人們通過對分形的認識，又了解到了一種不規(guī)律的無序現(xiàn)象，補充了人們認識到的整體無規(guī)律的案例和認知，再一次驗證了整體不可精確預測的事實。中國有一部分學者，企圖擴大“規(guī)律”的內(nèi)涵，以否定客觀世界不存在無規(guī)律的現(xiàn)象，用準規(guī)律（半序）來混淆精確規(guī)律（良序），以說明世界都是可認識的，世界都是有規(guī)律的，然后來說明馬克思發(fā)現(xiàn)了人類社會發(fā)展的規(guī)律，創(chuàng)建了科學社會主義，進而固守共產(chǎn)主義的信念和共產(chǎn)主義學說的真理性，這種企圖是徒勞無益的,充其量也只不過是準規(guī)律，具有嚴格的局部性。從一定意義上說，社會風氣的流行,經(jīng)濟趨勢的發(fā)展，甚至城市道路的延伸，商業(yè)網(wǎng)點的擴展等等也都是按照分形無規(guī)律或準規(guī)律生長的。若我們總是硬以精確規(guī)則或原則(何況大多數(shù)是過時了的或錯誤的原則)去套現(xiàn)實中的問題,必定碰得頭破血流,對待社會問題,我們只有根據(jù)選民的意見調(diào)整,以人民的幸福度為準則,所以,我們是名正言順的半原則性者或“機會主義者”。
3.2 局部和整體的自相似現(xiàn)象。分形具有精細的結(jié)構(gòu)，即在任意小的的尺度內(nèi)包含整體的結(jié)構(gòu)。即分形集都具有任意小尺度下比例的局部或子集。從分形和整體之間的自相似現(xiàn)象，我們可以從分形的整體形狀推知每個局部的形狀，反之也可從整體的形狀推知局部的形狀。[6](P100-117)凡是在人類社會活動和社會體系中客觀存在及其表現(xiàn)出來的自相似性現(xiàn)象，我們皆可稱為社會分形。這種分形幾乎涉及以社會的各個層面為研究對象的所有社會科學部門。我們可以把知識信息時代的世界看成是一個分形。不論是全世界還是局部都幾乎相似或幾乎是同樣的呈現(xiàn)出如下的形態(tài)，即私有經(jīng)濟和公有經(jīng)濟混合互補存在，不會只存在私有經(jīng)濟，也不能只存在著公有制經(jīng)濟；知識經(jīng)濟取代了資本經(jīng)濟信息時代經(jīng)濟運行的知識動力；知識力量超越了資本力量，社會跟隨知識變化，科技取代經(jīng)濟成為社會進步的決定性力量，科技專家主宰和掌握人類的命運；共贏共存的階層關(guān)系，企業(yè)的發(fā)展不再為資本家手中的資本掌握，而取決于企業(yè)白領工人掌握的知識信息，以及他們的知識再創(chuàng)造能力、取決于白領工人新知識轉(zhuǎn)變?yōu)樯a(chǎn)力的能力和效率。企業(yè)的發(fā)展方向投資方向利益的分成，取決于白領工人。況且利潤分成更加公平，出現(xiàn)了收入的均等化，無產(chǎn)（無資本更為確切些）階級貧困化不復存在，無產(chǎn)階級已經(jīng)不存在了，資本家與工人階層之間的差別已經(jīng)消失。階級階層及其結(jié)構(gòu)都出現(xiàn)了一系列的重大變化，階級斗爭這樣的小斗爭已經(jīng)讓位于平民階級與官僚特權(quán)階級的斗爭。貝爾認為，藍領工人成為少數(shù)，白領工人成為多數(shù)，成為社會的主導性力量和統(tǒng)治階層。資本家與工人階層的關(guān)系不再具有對抗性，他們的關(guān)系已經(jīng)融洽為合作投資者與合作勞動者的關(guān)系。信息社會必須實行對所有公民都民主的政治體制，人人有參政議政權(quán)利，了解真實信息的權(quán)利，民主制定公平合理的競爭法則，需要建立一個民有民治民享的政府。信息社會國家的政府都務必保障公民的政治權(quán)利，如選舉權(quán)，思想言論自由，信仰自由，集會結(jié)社自由。由多數(shù)派組織政府，同時尊重少數(shù)派的權(quán)利。社會將力圖克服杜絕不平等現(xiàn)象，官僚特權(quán)階級必須鏟除，堅決反對貴族特權(quán)階級和獨裁制度。在知識信息時代倘若不遵守信息時代都相似的社會形態(tài)規(guī)則，反其道而行之去推行專制統(tǒng)治抵制普世民主制度，工人沒有自己的工會，沒有罷工自由結(jié)社新聞自由是非常危險的，積累的矛盾每每將暴發(fā)出社會難以承受的沖擊波，如今中國不僅盜賊蜂起，而且仇富殺富現(xiàn)象頻頻發(fā)生，惡性案件此起彼伏，萬圍千尋妨道路，當早易道以違其害。無論是那個國家或地區(qū)只要進入知識信息社會，都和全世界一樣，在政治體制上都必須實行民主政治體制。即民主政治體制在知識信息社會是自相似的，是一種不以堯存不以桀亡的普世價值。
有人云，分形整體中有局部，局部中有整體，說明分形具有整體和局部的辯證統(tǒng)一。這種說法不太準確，所謂辯證統(tǒng)一，主要指對立統(tǒng)一，而局部是整體中的一部分，局部和整體顯然不是對立關(guān)系，而是互補關(guān)系，所以，準確的說法是，分形具有互補統(tǒng)一性。
3.3分形是不可精確測量的，甚至是測不出來的。分形幾何學說明，事物大多數(shù)不具有連續(xù)、光滑、規(guī)整、確定的形態(tài)，而間斷、突變、隨機、奇異的病態(tài)才普遍又正常。[10]（P90）而病態(tài)的事物是不可能精確地測量預測的，沒有規(guī)律變化莫測。舉例說，海岸有平坦的沙灘，但更多的是巖石塊、結(jié)構(gòu)各異的海灣、大小不一的斷層、深淺不同的峽谷，還有江河的出口，海岸的結(jié)構(gòu)是十分不規(guī)則的，“野船著岸偎春草，水鳥帶波飛夕陽”，即使是最詳細的地圖也難于把這些結(jié)構(gòu)細節(jié)一一表示出來。在二十世紀七十年代，法國數(shù)學家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題則依賴于測量時所使用的尺度。
如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由此來看，在測量中所采用的標度越小，所測得的海岸線就越長；每一次縮小測量中所用的標度，便增加了測得的長度，這是因為小的標度能夠測量到更多的不規(guī)則區(qū)域，從而增加了海岸線的長度。
假設海岸線有一個一定的長度L的話，當測量的標度趨于零時，則海岸線的長度應當趨于L，但事實上并非如此。事實上，當測量中所用的標度趨于零時，所測得的海岸線的長度并不趨于某一固定值。這意味著海岸線的長度是測不出來的。
由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。概言之，分形具有許多個標度和無標度區(qū)，分形的長度不能精確地測量出來。
因為嚴格的因果關(guān)系只有在一個有限的孤立系統(tǒng)中才能導致嚴格的決定論，如果宇宙是無限的，那么其中任何一個有限世界都會有一個無限大的外部環(huán)境，來自無限遙遠處的不可測因素將會不斷破壞有限世界的決定論；橫看成峰側(cè)成山，遠近高低各不同，“無限”是不可描述不可總括的，無限宇宙本身也不能成為一個系統(tǒng)，不能有一個整體的‘現(xiàn)狀’作為決定論的前提。再說，如果系統(tǒng)是開放的大系統(tǒng)，那么存在眾多的臨界點和分叉點等等不穩(wěn)定點，在這些點上社會發(fā)展受到即使微小的擾動也足以導致完全不相同的狀態(tài)，此時起決定作用的往往是被人忽略的微小因素。因此，社會長期的預測是沒有意義的，換言之，在社會動態(tài)大系統(tǒng)中，決定論是不成立的。[7](P3-6)
普里高津的《確定性的終結(jié)》一書“從經(jīng)典科學的中心概念‘時間’入手，向傳統(tǒng)的科學觀、宇宙觀發(fā)起了總攻擊，明確宣告（無限或動態(tài)開放系統(tǒng)中）決定論已經(jīng)壽終正寢了?？梢灶A料，這部著作的思想和理論必將在科學史上帶來一場新的革命。”[8]
3．4還原論的局限性
還原論涉及部分與整體的關(guān)系，它把整體分解為一些相同的部分，然后通過研究部分的性質(zhì)，再把部分的性質(zhì)疊加起來作為整體的性質(zhì)，然而，分形理論揭示出部分與整體具有自相似的關(guān)系。因此，作為還原論思想在數(shù)學中應用的無限細分、無限求和的方法亦已不能應用于分形，因為它沒有反映部分之間的相似性，反映了還原法的局限性（注：在一般系統(tǒng)論就已經(jīng)指出，部分的功能和不等于整體的功能）。所以分形學家創(chuàng)造了一種反映部分與整體、部分與部分的相似性的專業(yè)數(shù)學方法——迭代函數(shù)系統(tǒng)，成功地用于描述和生成分形圖。所以迭代函數(shù)系統(tǒng)成為研究復雜形態(tài)的新方法。在科學研究尤其是社會科學研究中，人們多習慣于使用疊加的方法，通過對分形學知識的了解，我們再遇到分形現(xiàn)象的問題，就當改用迭代函數(shù)方法來計算處理，迭代函數(shù)方法才是處理計算分形問題對癥下藥的有效方法，迭代函數(shù)方法在分形幾何學和動力系統(tǒng)學中都有詳細的專業(yè)介紹，有數(shù)學基礎或興趣的本科生花點時間是不難掌握的。[10]（P103）現(xiàn)有分形幾何學中的分數(shù)維概念還是建立在線性可列和的基礎上（見測度定義），筆者以為，若用系統(tǒng)論的思想建立測度論，則分形理論可能會更好地反映復雜系統(tǒng)的特征。
3．5 分數(shù)維對時空觀的變革
自然觀隨著人們視野的擴大和對自然界認識的深化而發(fā)展,也會因觀察世界的角度和研究重點的改變而改變。[10]（P89）而維數(shù)則是分形幾何中改變的人們認識自然的一重要參數(shù)，是描述空間和時間的最基本特征量之一，因而維數(shù)觀念是構(gòu)成時空觀的重要內(nèi)容。分形幾何揭示了復雜事物的空間結(jié)構(gòu)的維數(shù)是分數(shù)的，它表示分形圖填滿空間的程度，表示分形圖的復雜程度。因此，它改變對維數(shù)的傳統(tǒng)認識，即把空間維數(shù)看成是確定物體位置的最小坐標數(shù)。維數(shù)觀念的變革將引起時空觀的變革，因為這樣一來，時間不再具有光滑的平移性，空間也不再具有均勻性和旋轉(zhuǎn)性，存在著許多空間漏洞或時空隧道，從而作為自然科學基礎的時空觀也將發(fā)生根本的改變，建立在新時空坐標上的各門自然科學也將發(fā)現(xiàn)新的許許多多有趣的新的屬性，這將猶待著我們重新去開采探索和發(fā)現(xiàn)。[9] 分形理論為我們提供了一個觀察世界的新視角，即從事物形態(tài)和運動方式的復雜性方面來觀察世界，從這個觀點出發(fā)，人們驚奇地發(fā)現(xiàn)，以往許多關(guān)于時間空間形態(tài)等方面的傳統(tǒng)看法都需要加以徹底改變，[10]（P89）假若仍然以一百五十多年前的老觀念看世界用老方法來解決新問題無疑是削足適履不適用了。所以，以往的任何科學都有其局限性，有條件限制，不存在放之四海而皆準的絕對真理，更為重要的是，馬克思主義從理論上說是荒誕的，從實踐上說是行不通的，與信息時代相似性相悖，在信息社會是為怪誕嵬說。所以，馬克思主義不是可修正補充發(fā)展的科學綱領，而是被淘汰廢替的一種錯誤的假說。
物各有形人各有貌，萬物萬形，千人千貌，專制社會一方面抵制社會形態(tài)的普世價值，另一方面在國內(nèi)又否定特異性強調(diào)統(tǒng)一性。具體的人和物有其自相似變換中的不變量即特征形態(tài)，而社會人與人的關(guān)系，工業(yè)社會和信息社會的特征則是對任何國家都是相同的，他們在全世界是自相似的，而每個人則是個小宇宙只能是自己自相似，他們在演化中都力圖保持自己的特征形態(tài)，保持自己的特征形態(tài)的穩(wěn)定性，那么每一個人的自由發(fā)展的空間對每一個的發(fā)展來說是斷不可缺少的。
3.5 簡單與復雜的互補統(tǒng)一
曼德爾勃羅特（B.B.Mandelbrot）研究中最精彩的部分是1980年
他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié) 構(gòu)。
Mandelbrot 集
Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限復雜和精細的結(jié)構(gòu).當你放大某個區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)因素。無論你怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中卻是鳳毛麟角見之不多。所以說，Mandelbrot集合是向傳統(tǒng)幾何學的挑戰(zhàn)和叛逆。
數(shù)學上的分形大多是通過反復迭代構(gòu)造出來的，Mandelbrot集合是Mandelbrot在復平面中對簡單的式子 Z <- Z2 + C 進行迭代產(chǎn)生的圖形。[6](P266-300)雖然式子和迭代運算都很簡單，但是產(chǎn)生的圖形出現(xiàn)那么豐富多樣的形態(tài)及精細結(jié)構(gòu)簡直令人難以置信以至于不可思議。[6](P229-265)在傳統(tǒng)幾何學中難以尋覓到如此簡單的換算導致如此復雜而生動的例子。
分形幾何學告訴我們，分形是自然和社會中事物的普遍存在形式，真實世界是多分形的，事物的復雜性態(tài)不僅表現(xiàn)在屬性上而且表現(xiàn)在形態(tài)上，分形維就是圖形復雜程度的一種測度。分形生長是系統(tǒng)演化的一般方式，也是事物發(fā)展的基本形式。[10]（P103）Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行為可以導致復雜的結(jié)果。例如，大型團體操中每個人穿的衣服只是幾種顏色中的一種，每個人的動作也只是導演規(guī)定的幾種之一。但是整體上可以顯示出千奇百怪的復雜形態(tài)。人們在處理事情的過程中，總希望簡單便捷，但往往是帶來錯綜繁雜的結(jié)果。民主國家經(jīng)濟結(jié)構(gòu)多元化混合經(jīng)濟，經(jīng)濟繁榮物質(zhì)豐富。共產(chǎn)主義國家經(jīng)濟單一，物質(zhì)貧乏，經(jīng)濟困難。民主國家思想多元活躍，專制國家思想一元，對客觀世界的認識和建設常倍道而妄行，總是再三返工，浪費人力物力和時間。
再如，在國家行政權(quán)力的更迭過程中，民主制度設計的程序手續(xù)比較復雜，五音雜陳似有民主生亂之像，但后果卻是全社會喜氣洋洋皆大歡喜。唯獨專制制度的政權(quán)更迭過程手續(xù)過于簡單（其實協(xié)調(diào)的過程也是興師動眾勞民傷財），就在少數(shù)人中甚至于主要幾個人中拍板茍得決定，結(jié)果卻搞得非常復雜，劍拔弩張腥風血雨，甚至是災難性的天下大亂，且人民群眾不認可指定的結(jié)果。民主國家決策過程復雜后果良好，專制國家決策簡單，后果卻是差強人意。
附錄:下面我們再略知一下，分形幾何嚴格的數(shù)學描述，對數(shù)學不感興趣的讀者可略過這一部分內(nèi)容。[10]（P119-127）
拓撲學(Topology)：是近代發(fā)展起來的一門較新的幾何學，這門學科的產(chǎn)生于幾何學以及集合理論，如空間、維數(shù)和變換。拓撲學主要研究圖形在連續(xù)的變形過程中不變的整體性質(zhì)，這些變形包括對物體進行拉伸、擠壓等。拓撲學對于分形幾何學的興起有著重要的影響。
同胚(Homeomorphism)：即同胚映射，指兩個拓撲空間之間的雙連續(xù)函數(shù)(即這個函數(shù)是一一對應的連續(xù)滿映射，同時它的逆映射也是連續(xù)的)。簡單來說，拓撲空間就是一個幾何物體，同胚就是把物體連續(xù)延展和彎曲使其成為一個新物體。如：圓周和正方形的邊界同胚。
測度（Measure）:測度是環(huán)上的非負廣義實值函數(shù)，可以取得有限或無限值，并且它具有可列可加性，在空集上的值為零。[6](P24)
豪斯多夫測度（Hausdorff Measure）:設F為n維歐幾里得空間中的任何子集,所有直徑不超過ε>0的F的覆蓋的s次冪的和達到最小(下確界),隨著覆蓋數(shù)目趨于無窮而ε趨于零時的下確界稱為豪斯多夫測度.記為Hs(F).[6](P42)
德國數(shù)學家菲利克斯?豪斯多夫(Felix Hausdorff)引入的一種給任意一個復雜點集賦予維數(shù)的方法。從豪斯多夫測度定義可以看出,對集F和1>ε>0, F的覆蓋的s次冪的和的下確界對s來說是不增的,所以極限即豪斯道夫測度也是不增的。即存在著s 的一臨界點，使得豪斯道夫測度從∞跳躍到0.
∞
Hs（F）
∞
Hs（F）
0 dimHF s n
∞
Hs（F）
0 dimHF s n
∞
Hs（F）
豪斯多夫維數(shù)（Hausdorff dimension）：存在著s 的一臨界點，使得豪斯道夫測度從∞跳躍到0,這個臨界點稱為F的豪斯多夫-貝西康維奇維數(shù)（Hausdorff--Besicovitch dimension）,也稱為豪斯多夫維數(shù)，記為dimHF. [6](P46)
分形的定義
曼德爾勃羅特曾經(jīng)為分形下過兩個定義：
（1）滿足條件 dimHF >dim(F)
的集合F，稱為分形集。其中，dimHF為集合F的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim(F)為其拓撲維數(shù)。一般說來，Dim(A)不是整數(shù)，而是分數(shù)。
經(jīng)過數(shù)學計算，我們可以得到一種結(jié)果，d = (log N) / (log (1/r))
該定義是由曼德爾勃羅特在1982年提出的。這里涉及較艱深的豪斯道夫維數(shù)Dh和拓撲維數(shù)Dt相關(guān)集合知識，故這里就不再細述。四年后他又提出了一個實用的定義。
（2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。
下面再來做下分數(shù)維的簡單計算,根據(jù)自相似性來導出維的另一個的定義。[6](P56)
假如你把一條直線分為 N 段，那么，你就有了原始直線的 N 個更小的版本，每一個都按照一個比例系數(shù) r 減小，在這里 N*r = 1。對一個正方形來說，也分成幾個小的正方形，也讓每一正方形的每邊的縮放比例為 r ,則有N*r2 = 1.以此類推, N 和 r 的關(guān)系有 N*rd = 1。即你把一個 d 維物體假設分為 N 等份，每一份的縮放比例是 r，則有二者的關(guān)系: N*rd = 1。如此我們可以歸納出分維的概念來。
上述定義還不是嚴密、精確的定義。經(jīng)過理論和應用的檢驗，人們發(fā)現(xiàn)這兩個定義很難包括分形豐富的內(nèi)容,將許多分形給漏掉了。實際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義。正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可作如是觀。英國學者肯尼思.法爾科內(nèi)則認為分形是符合上述五大性質(zhì)的集合。而計算維數(shù)的方法也有多種多樣，得出的結(jié)果也不盡相同。不論由哪種方法得出的分形維都用D來表示，盡管不同的方法導出的D的值稍有不同。[6](P10-13)
參考資料
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二〇一〇年十月十五日星期五
