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二、例題分析

例題難度均小，旨在讓同學們快速掌握其中方法.

（三）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

【典型例題1】已知，如圖，AC 平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°.

【思路分析】

（1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用.

 （2）解題思路：因為 AC 是∠BAD 的平分線，所以可過點 C 作∠BAD 的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題.

【思考總結】

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯(lián)想到中位線。

（四）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”。

【典型例題2】如圖，ΔABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一點，F(xiàn) 是 AC 延長線上一點，連 EF 交BC 于 D，若 EB=CF.     求證：DE=DF.

【思路分析】

（1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線.   

（2）解題思路：因為 DE、DF 所在的兩個三角形ΔDEB 與ΔDFC 不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過 E 作 EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決.

（五）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.

【典型例題3】在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交 BC 于 P，BQ 平分∠ABC交 AC 于 Q，求證：AB+BP=BQ+AQ.

【思路分析】

1）本題也可以在 AB 上截取 AD=AQ，連 OD，構造全等三角形，即“截長法”.

（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

【思考總結】

通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形.而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形.

【典型例題4】如圖，AD∥BC，點 E 在線段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC.

【思路分析】

（1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法.  （2）解題思路：結論是 CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD 上截取 CF=CB，只要再證 DF=DA 即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.

【思考總結】

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：   

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；   

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段.

（1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明.   

（2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明. 

本專題未完，待續(xù)...