2017-11-12 莫敖兄弟
摘要
本文提出“五音各分陰陽(yáng)，二變介乎其間”的觀點(diǎn)。利用十二律呂作為輸出五音的模板，結(jié)合Euler函數(shù)研究了一步律序u與七步律序v的共軛變換關(guān)系。其數(shù)學(xué)形式為：
v≡u(píng)×7 (mod 12)，u≡v×7 (mod 12)
由于φ(12)和φ(10)相等，且12和10有共同的互素因子7，進(jìn)而給出了河圖映射的數(shù)學(xué)形式：
w≡v×7 (mod 10)
如果采用河圖數(shù)A≡w+5 (mod 10)，則有線性變換關(guān)系：
A≡v×7+5 (mod 10)
以黃鐘均為例，枚舉如下：
0變居于黃鐘子位0，陽(yáng)宮五；1變至于林鐘未位7，陰徵二；2變至于太簇寅位2，陽(yáng)商九；3變至于南呂酉位9，陰羽六；4變至于姑洗辰位4，陽(yáng)角三；5變至于應(yīng)鐘亥位11，陰宮十；6變至于蕤賓午位6，陽(yáng)徵七；7變至于大呂丑位1，陰商四；8變至于夷則申位8，陽(yáng)羽一；9變至于夾鐘卯位3，陰角八；10變至于無(wú)射戌位10，變宮五；11變至于仲呂巳位5，變徵二。
關(guān)鍵詞：Euler函數(shù)；十二律；五音二變；河圖
目錄
一、引言
二、五音十二律
2.1 十二律呂
2.2 五音二變
三、河圖映射
3.1 河圖映射
3.2 黃鐘均
3.3 簡(jiǎn)并映射圖
附錄：Euler函數(shù)φ(n)
一、引言
前作
音律小常識(shí)（摩西面，2017/02/16）介紹了音律的基本常識(shí)。首先從聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)對(duì)音調(diào)處理的對(duì)數(shù)特征著手，分析了諧波基頻的前十個(gè)倍頻的歸一化相對(duì)值，使用連分?jǐn)?shù)展開(kāi)和有理近似得到十二律位。其次考慮三分損益法所生五音十二律中黃鐘無(wú)法還原的問(wèn)題，引出十二平均律；并探討了一步律序和七步律序。而后由十二平均律弦率的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)的有理近似出發(fā)，導(dǎo)出純律。在純律的問(wèn)題上，給出：
黃鐘子弦率1/1，其倒數(shù)除以2，得黃鐘子弦率1/2；應(yīng)鐘亥弦率9/17，其倒數(shù)除以2，得大呂丑弦率17/18；太簇寅弦率8/9，其倒數(shù)除以2，得無(wú)射戌弦率9/16；南呂酉弦率3/5，其倒數(shù)除以2，得夾鐘卯弦率5/6；姑洗辰弦率4/5，其倒數(shù)除以2，得夷則申弦率5/8；林鐘未弦率2/3，其倒數(shù)除以2，得仲呂巳弦率3/4；以及蕤賓午弦率5/7。
隨后給出了純律的合生關(guān)系，并結(jié)合純律圖給出協(xié)和度的定性表述。最后考慮可見(jiàn)光作為一個(gè)八度在人眼視覺(jué)上應(yīng)用純律進(jìn)行分析，得到人眼視桿細(xì)胞和三種視錐細(xì)胞感光敏峰滿足純律關(guān)系：
黃鐘子弦率1/2處為374.75nm、黃鐘子弦率1/1處為749.50nm對(duì)應(yīng)的顏色因恰在紫外與紅外的緣故，定為黑色。自右至左，弦率逐漸減小，對(duì)應(yīng)著可見(jiàn)光的波長(zhǎng)逐漸減少，因此顏色自紅至紫漸變。其中仲呂巳弦率3/4處為562.13nm（對(duì)應(yīng)人眼紅視錐細(xì)胞敏峰），蕤賓午弦率5/7處為535.36nm（對(duì)應(yīng)人眼綠視錐細(xì)胞敏峰），林鐘未弦率2/3處為499.67nm（對(duì)應(yīng)人眼視桿細(xì)胞敏峰），無(wú)射戌弦率9/16處為421.59nm（對(duì)應(yīng)人眼藍(lán)視錐細(xì)胞敏峰）。
現(xiàn)在本文將從一步律序和七步律序出發(fā)，結(jié)合線性變換給出河圖映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
二、五音十二律
2.1 十二律呂
由前述可知，律中典范之?dāng)?shù)十二，出于度量。而在Euler函數(shù)中，φ(12)=4。這意味著在前十二個(gè)自然數(shù)中與12互素的數(shù)只有四個(gè)，亦即1、5、7、11。這在平面幾何圖形上，可以理解為圓周上均勻分布的十二個(gè)點(diǎn)能夠用連續(xù)的折線遍歷的做法有四種，亦即相隔1/12圓周、相隔5/12圓周、相隔7/12圓周與相隔11/12圓周。因?yàn)橄喔?1/12圓周可視作反向相隔1/12圓周，相隔5/12圓周可視作反向相隔7/12圓周，所以相互獨(dú)立的操作其實(shí)只有兩種，不妨選擇相隔1/12圓周與相隔7/12圓周。而這就對(duì)應(yīng)著一步律序與七步律序。
在十二平均律中，一步律序?qū)?yīng)著一個(gè)八度之中十二個(gè)半音的相對(duì)音調(diào)遞增的次序，是個(gè)公比為21/12的數(shù)列。下表中的x是以黃鐘子位的音調(diào)為單位的相對(duì)音調(diào)值，這也就給出了一步律序的解釋。
而七步律序?qū)?yīng)著一個(gè)公比為27/12的數(shù)列，約為3/2。因此取2/3這個(gè)弦率作為生律因子，構(gòu)造的生律法就是三分損益法。依此法可以遞生五音。下表中的x是以黃鐘子位的音調(diào)為單位，應(yīng)用三分損益法單向生律所得的在一個(gè)八度內(nèi)的相對(duì)音調(diào)值，這也就給出了七步律序的解釋。
不難推知，所謂十二律呂，就好似一個(gè)輸出五音的模板。但是三分損益法有個(gè)誤差問(wèn)題，就是黃鐘不能還原。因此，將七步律序應(yīng)用到三分損益法所生之律時(shí)，其律位相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)律位就會(huì)隨著七步律序的增大而增大。
黃鐘九變至于夾鐘，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)律位的誤差近17.60%。十變至于無(wú)射，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)律位的誤差近19.55%。十一變至于仲呂，相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)律位的誤差近21.51%。而十二變至于清黃鐘（黃鐘不能還原），相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)律位的誤差近23.46%；誤差已經(jīng)很大了。
2.2 五音二變
因?yàn)槭褂萌謸p益法所生之律的律位相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)律位的誤差隨著七步律序的增大而增大，故取黃鐘子九變至于夾鐘卯為止，此十律位對(duì)應(yīng)五音各分陰陽(yáng)；十變至于無(wú)射戌，定名變宮；十一變至于仲呂巳，定名變徵。取一步律序變量作u，七步律序變量作v，則有：
v≡u(píng)×7 (mod 12)
u≡v×7 (mod 12)
一步律序與七步律序的共軛變換
律
名
一步
律序
七步
律序
音
名
黃鐘子00變陽(yáng)宮
大呂丑17變陰商
太簇寅22變陽(yáng)商
夾鐘卯39變陰角
姑洗辰44變陽(yáng)角
仲呂巳511變變徵
蕤賓午66變陽(yáng)徵
林鐘未71變陰徵
夷則申88變陽(yáng)羽
南呂酉93變陰羽
無(wú)射戌1010變變宮
應(yīng)鐘亥115變陰宮
傳統(tǒng)的做法取黃鐘子四變至于姑洗辰，五音生畢；五變至于應(yīng)鐘亥，稱(chēng)作變宮；六變至于蕤賓午，稱(chēng)作變徵。這是五音不分陰陽(yáng)的結(jié)果，此種五聲或七聲音階有著不完備之處。而本文所述五音各分陰陽(yáng)，二變介乎其間的定音法則并不屬于傳統(tǒng)做法。圖示如下：
黃鐘九變至于夾鐘，五音各分陰陽(yáng)。亥與子，自陰而陽(yáng)之宮音；丑與寅，自陰而陽(yáng)之商音；卯與辰，自陰而陽(yáng)之角音；午與未，自陽(yáng)而陰之徵音；申與酉，自陽(yáng)而陰之羽音。而變宮居戌、變徵居巳，所以為變者，乃是變五音陰陽(yáng)之順序。故上圖中央以赤色數(shù)字表示一步律序u，黑色隸書(shū)數(shù)字為地支順序；外圍以藍(lán)色數(shù)字表示七步律序v?？梢则?yàn)證一步律序u與七步律序v之間的共軛變換關(guān)系：
v≡u(píng)×7 (mod 12)
u≡v×7 (mod 12)
三、河圖映射
3.1 河圖映射
所謂河圖映射，指基于五音十?dāng)?shù)的連續(xù)相生之序。由于φ(12)和φ(10)皆等于4，而12和10有共同的互素因子7，故而十二律呂作為輸出五音的模板，實(shí)則五音陰陽(yáng)交替相生。故而有河圖映射如下：
w≡v×7 (mod 10)
因?yàn)闊o(wú)論一步律序u還是七步律序v，其序數(shù)皆始于0，而傳統(tǒng)則以一作為始計(jì)之?dāng)?shù)，故而河圖映射的結(jié)果w亦始于0。所以一步律序u、七步律序v和河圖映射數(shù)w取偶數(shù)時(shí)，皆當(dāng)對(duì)應(yīng)陽(yáng)數(shù)。為此使用河圖數(shù)A，
A≡w+5 (mod 10)
這樣，所得之?dāng)?shù)就滿足了陽(yáng)奇陰偶。而七步律序v到河圖數(shù)A的線性變換如下：
A≡v×7+5 (mod 10)
從附錄對(duì)Euler函數(shù)的幾何意義考慮看，線性變換就是一個(gè)角速與角位移的轉(zhuǎn)動(dòng)的變換。
3.2 黃鐘均
五音各分陰陽(yáng)，以至五音有十?dāng)?shù)。以黃鐘均作例子，注意十二律呂作為輸出五音的模板，與選用具體哪個(gè)律呂作為均法始音無(wú)關(guān)。黃鐘均如下：
黃鐘0變?nèi)跃狱S鐘子位，一步律序u=0，七步律序?yàn)関=0，而音在陽(yáng)宮其數(shù)A為五；黃鐘1變至于林鐘未位，一步律序u=7，七步律序v=1，而音在陰徵其數(shù)A為二；黃鐘2變至于太簇寅位，一步律序u=2，七步律序v=2，而音在陽(yáng)商其數(shù)A為九；黃鐘3變至于南呂酉位，一步律序u=9，七步律序v=3，而音在陰羽其數(shù)A為六；黃鐘4變至于姑洗辰位，一步律序u=4，七步律序v=4，而音在陽(yáng)角其數(shù)A為三；黃鐘5變至于應(yīng)鐘亥位，一步律序u=11，七步律序v=5，而音在陰宮其數(shù)A為十；黃鐘6變至于蕤賓午位，一步律序u=6，七步律序v=6，而音在陽(yáng)徵其數(shù)A為七；黃鐘7變至于大呂丑位，一步律序u=1，七步律序v=7，而音在陰商其數(shù)A為四；黃鐘8變至于夷則申位，一步律序u=8，七步律序v=8，而音在陽(yáng)羽其數(shù)A為一；黃鐘9變至于夾鐘卯位，一步律序u=3，七步律序v=9，而音在陰角其數(shù)A為八；黃鐘10變至于無(wú)射戌位，一步律序u=10，七步律序v=10，而音在變宮其數(shù)A為五；黃鐘11變至于仲呂巳位，一步律序u=5，七步律序v=11，而音在變徵其數(shù)A為二。注意：此二變之名系從映射結(jié)果上據(jù)數(shù)定音。
上圖之中，外圍以藍(lán)色數(shù)字表示七步律序v，中央則以紫色數(shù)字表示河圖映射數(shù)w，黑色隸書(shū)數(shù)字為河圖數(shù)A?？梢则?yàn)證七步律序v與河圖映射數(shù)w、河圖數(shù)A之間的變換關(guān)系：
w≡v×7 (mod 10)
A≡v×7+5 (mod 10)
不難看出，五音陰陽(yáng)交替，并且河圖數(shù)A有著遞增的順序。而因?yàn)槲逡舾鞣株庩?yáng)的緣故，致使河圖數(shù)分離了。
3.3 簡(jiǎn)并映射圖
使模數(shù)10分解為5×2，使用上下雙層相疊的方式，可以使分離的十?dāng)?shù)和合為五組。而模10下的互素因子7，也因此對(duì)應(yīng)為5+2。故而又作一圖如下：
圖中以藍(lán)色數(shù)字表示七步律序v，七步律序同時(shí)也是五音各分陰陽(yáng)的十?dāng)?shù)相生的七步音序。以紫色數(shù)字表示河圖映射數(shù)w，而用隸書(shū)表示河圖數(shù)A。注意青色線條是五音各分陰陽(yáng)的相生路徑，故枚舉如下：
陽(yáng)宮0變?nèi)跃雨?yáng)宮五；陽(yáng)宮1變至于陰徵二；陽(yáng)宮2變至于陽(yáng)商九；陽(yáng)宮3變至于陰羽六；陽(yáng)宮4變至于陽(yáng)角三；陽(yáng)宮5變至于陰宮十；陽(yáng)宮6變至于陽(yáng)徵七；陽(yáng)宮7變至于陰商四；陽(yáng)宮8變至于陽(yáng)羽一；陽(yáng)宮9變至于陰角八。
如此一來(lái)，陰陽(yáng)和合，五音互為倚伏。注意此圖，陰陽(yáng)五音皆應(yīng)當(dāng)作同等大小處理，故而雙層相疊而河圖數(shù)自一至十繞行兩圈。
《尚書(shū)·洪范》言五行道：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。這個(gè)順序，不知是箕子隨意排布還是上有所承。而至遲至于戰(zhàn)國(guó)“清華簡(jiǎn)《筮法》篇”已經(jīng)記載五行與四個(gè)方位的對(duì)應(yīng)了，這使得五行五音十?dāng)?shù)之間有著另一層面的對(duì)應(yīng)。因此河圖映射可以拓?fù)渥冃?，不必只排成一個(gè)圓環(huán)的方式，只要映射關(guān)系不變即可。
附錄：Euler函數(shù)φ(n)
自然數(shù)1~n中，與n互素之?dāng)?shù)的個(gè)數(shù)用Euler函數(shù)表示，記作φ(n)。由于1～n可以理解為模n的最小正剩余，φ(n)也刻畫(huà)了模n剩余類(lèi)的特征。
1、φ(n)的幾何意義
下面給出φ(n)的一個(gè)幾何解釋。在平面圓周上，均勻分布著n個(gè)點(diǎn)。任兩相鄰點(diǎn)對(duì)圓心所張的圓心角α都相等，
α=(1/n)2π
在圓周上選取某點(diǎn)作為始點(diǎn)，以α的整數(shù)倍mα作為步長(zhǎng)ω，
ω=mα=(m/n)2π
其中，m≤n。則n步之后，從始點(diǎn)到終點(diǎn)，繞行圓心的角度θ滿足：
θ=nω=m2π
亦即n步繞行m圈，終點(diǎn)重合于始點(diǎn)。那么，這n步是否遍歷圓周上的n個(gè)點(diǎn)呢？
處理這個(gè)問(wèn)題的思路的切入點(diǎn)，是分析一般意義上的第k步的落腳點(diǎn)。因?yàn)閗步之后，從始點(diǎn)到落腳點(diǎn)經(jīng)過(guò)的角度θk滿足：
θk=kω=(km/n)2π
顯然，當(dāng)k=n時(shí)，θn就退化為了θ。如果在k遍歷1～n的情況下能滿足θk兩兩不等，則n步就可遍歷圓周上的n個(gè)點(diǎn)。在m>1的情況下，將使θk并不約束在一個(gè)2π之內(nèi)。而遍歷圓周上的n個(gè)點(diǎn)的意義，使得第k步的落腳點(diǎn)到起點(diǎn)之間的夾角與繞圓心的圈數(shù)關(guān)系不大，更側(cè)重于在圓周上的位置。從而考慮同余式，
fm(k)≡k×m (mod n)
不難看出，角度[fm(k)/n]2π刻畫(huà)了θk在圓周上的位置。從而上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在k遍歷1～n的情況下，為使fm(k)兩兩不相等，m需要滿足與n互素的條件。因?yàn)槿鬽與n有公因子d，有n=m×d，則k遍歷1～d即已回到始點(diǎn)。其后繼續(xù)遍歷直至到n，所得fm(k)的不同取值也只有d個(gè)，這d個(gè)不同的fm(k)各重復(fù)了m次。而在m與n互素的情況下，k只有遍歷1～n才可使得終點(diǎn)與始點(diǎn)重合，而fm(k)兩兩不相等。依據(jù)k遍歷的順序查看這n個(gè)點(diǎn)，實(shí)際就是順序上作了一次重排。
故而使用Euler函數(shù)φ(n)統(tǒng)計(jì)與n互素的m的個(gè)數(shù)，也就反映了重排順序的所有可能的個(gè)數(shù)。下面列出n取1～30所對(duì)應(yīng)的φ(n)表。
Euler函數(shù)φ(n)的前30個(gè)取值n123456
00+010102020402
06+060406041004
12+120608
081606
18+1808
12
102208
24+
201218122808
…
………………
表中n由藍(lán)色行標(biāo)與綠色列標(biāo)計(jì)算而得，與n對(duì)應(yīng)的單元格中的數(shù)為φ(n)的值。顯然n≥3時(shí)，φ(n)都是偶數(shù)。填充為黃色的單元格是n為素?cái)?shù)p的情況，φ(p)=p-1，φ(p)一般比與p臨近的非素?cái)?shù)n對(duì)應(yīng)的φ(n)大。這種列數(shù)為六的表格，對(duì)考察素?cái)?shù)分布或?qū)\生素?cái)?shù)分布特別方便。
2、獨(dú)立序列
在n≥3的前提下，選圓周上均勻分布的n個(gè)點(diǎn)中的某點(diǎn)作為始點(diǎn)，以固定步長(zhǎng)ω=(m/n)2π繞行圓周。當(dāng)m與n互素時(shí)，即可遍歷全部n個(gè)點(diǎn)。而所有可能的遍歷次序共有φ(n)個(gè)，φ(n)是個(gè)偶數(shù)。由于在m與n互素的前提下，n-m也與n互素。故而對(duì)步長(zhǎng)ω=(m/n)2π而言，亦可將其視為反向步長(zhǎng)ω'=[(n-m)/n]2π。這意味著，獨(dú)立序列的數(shù)目要減半，只有φ(n)/2。
由于m取1時(shí)，與n沒(méi)有1之外的公因子。所以在諸獨(dú)立序列中，必有一個(gè)序列遍歷所有的n點(diǎn)。即：
f1(k)≡k×1 (mod n)
這意味著，f1(k)可以取k。它以最小步長(zhǎng)(1/n)2π為單位遍歷全部n個(gè)點(diǎn)，可稱(chēng)作自然序列。為與其它步數(shù)的序列對(duì)比，也可稱(chēng)作一步序列。下面即用k表示f1(k)，它刻畫(huà)了圓周上n個(gè)點(diǎn)的次序。始點(diǎn)作為第一個(gè)點(diǎn)，其位置由(0/n)2π刻畫(huà)；其次，第二個(gè)點(diǎn)由(1/n)2π刻畫(huà)；依次類(lèi)推，第n個(gè)點(diǎn)由[(n-1)/n]2π刻畫(huà)；由于終點(diǎn)與始點(diǎn)重合，不再重復(fù)選取新的變量刻畫(huà)它。
對(duì)于給定的n≥3，如果還存在著其它的獨(dú)立序列，比如m步序列：
fm(k)≡k×m (mod n)
此式可以詮釋為，m步序列可以通過(guò)對(duì)一步序列的變換得到，從而可以建立一對(duì)共軛變換。而將m步序列變換為一步序列的逆變換為：
k≡fm(k)×m' (mod n)
其中m'是m對(duì)模n的逆元，滿足下式：
m'×m≡1 (mod n)
根據(jù)Euler定理，
mφ(n)≡1 (mod n)
可有：
m'≡mφ(n)-1 (mod n)
通過(guò)共軛變換，可以將所有φ(n)個(gè)不同的次序，看作是對(duì)自然序列的變換所得。而不同的序列又可由自然序列作為橋梁而互相聯(lián)系。
