2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)(必修+選修II)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效。
3．第Ⅰ卷共l2小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
一、選擇題
(1)復(fù)數(shù)，
為
的共軛復(fù)數(shù)，則
（A） （B）
（C）
（D）
【答案】B
【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.
【解析】|z|2-(1+i)-1=.
(2)函數(shù)的反函數(shù)為
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【命題意圖】本題主要考查反函數(shù)的求法.
【解析】由原函數(shù)反解得,又原函數(shù)的值域為,所以函數(shù)的反函數(shù)為.
(3)下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【命題意圖】本題主要考查充要條件及不等式的性質(zhì).
【解析】即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.
(4)設(shè)為等差數(shù)列
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】D
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的基本公式的應(yīng)用.
【解析】解法一，解得.
解法二: ，解得.
(5)設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及三角函數(shù)圖像的平移變換.
【解析】由題意得,解得,又,令,得.
(6)已知直二面角,點(diǎn)，,為垂足,，,為垂
足．若，則到平面的距離等于
(A) (B) (C) (D) 1
【命題意圖】本題主要考查空間點(diǎn)到平面距離的求法.
【解析】如圖,過作,垂足為,因為是直二面角, ,∴平面,
∴,,,∴平面,故的長為點(diǎn)到平面的距離.在中,由等面積法得.
(7)某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有
(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種
【答案】B
【命題意圖】本題主要考查兩個原理與排列組合知識，考察考生分析問題的能力.
【解析】分兩類:一是取出1本畫冊,3本集郵冊,此時贈送方法有種；
二是取出2本畫冊,2本集郵冊，此時贈送方法有種.故贈送方法共有10
(8)曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線和圍
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程和三角形面積公式.
【解析】∴曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線的斜率故切線方程是,在直角坐標(biāo)系中作出示意圖得圍
(9)設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，,則
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【命題意圖】本題主要考查利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)值的方法.
【解析】由是周期為2的奇函數(shù),利用周期性和奇偶性得: .
(10)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)．則
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命題意圖】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系,余弦定理的應(yīng)用.
【解析】聯(lián)立消去得,解得,不妨設(shè)點(diǎn)在軸的上方,于是，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,4),(1,),又,可求得.在中,由余弦定理.
(11)已知平面α截一球面得圓，過圓心且與α成二面角的平面β截該球面得圓.若該球面的半徑為4，圓的面積為4，則圓的面積為
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
【答案】D
【命題意圖】本題主要考查二面角的概念與球的性質(zhì).
(12)設(shè)向量，，滿足|，，，則的最大值等于
(A)2 (B)
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)，則，，∴四點(diǎn)共圓，當(dāng)為圓的直徑時，最大，最大值為2.
絕密★啟用前
2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)(必修+選修II)
第Ⅱ卷
注意事項：
1答題前，考生先在答題卡上用直徑0．5毫米黑色墨水簽字
2第Ⅱ卷共2頁，請用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。
3第Ⅱ卷共l0小題，共90分。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上(注意：在試卷上作答無效)
(13)的二項展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之差為
【答案】0
【命題意圖】本題主要考查二項展開式的通項公式和組合數(shù)的性質(zhì).
【解析】由得的系數(shù)為,的系數(shù)為,而=,所以的系數(shù)與的系數(shù)之差為0.
(14)已知,,則
【答案】
【命題意圖】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正切公式.
【解析】由,得,故,
∴.
(15)已知、分別為雙曲線: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)，為的平分線．則 .
【答案】6
【命題意圖】本題主要考查三角形的內(nèi)角平分線定理，雙曲線的第一定義和性質(zhì).
【解析】為的平分線，∴ ∴
又點(diǎn)，由雙曲線的第一定義得.
(16)己知點(diǎn)、分別在正方體的棱、上，且，則面與面所成的二面角的正切值等于 .
【答案】
【命題意圖】本題主要考查正方體中二面角的求法.
【解析】延長交的延長線于,連結(jié),則為面與面的交線,由得,∴為中點(diǎn).設(shè)正方體的棱長為1,則,又,∴∴平面,∴∴是面與面所成的二面角的平面角,在中,,故面與面所成的二面角的正切值等于.
三．解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
的內(nèi)角、、的對邊分別為、、.已知, ,求.
【命題意圖】本題主要考查正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、輔助角公式,考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況.
【解析】由及正弦定理可得
…………………………………3分
又由,,故
=
= …………………………………7分
,
因為 ,
所以 ,
…………………………………10分
【點(diǎn)評】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在17或18題，屬于送分題，估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?/font>.
(18)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲
(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；
(Ⅱ)表示該地的l00位車主中,甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù).求的期望.
【命題意圖】本題主要考查獨(dú)立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及二項分布的數(shù)學(xué)期望，考查考生分析問題、解決問題的能力.
【解析】記表示事件: 該地的1位車主購買甲種保險；
表示事件: 該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲
表示事件: 該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種；
表示事件: 該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買.
(I), , ……………………………3分
……………………………6分
(Ⅱ),
,即服從二項分布, ……………………………10分
所以期望 . ……………………………12分
【點(diǎn)評】概率與統(tǒng)計是每年的必考題，一般安排在解答題的前3題.本題屬于已知概率求概率類型. 考查保險背景下的概率問題，要求考生熟練掌握獨(dú)立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及二項分布的數(shù)學(xué)期望.
(19)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
如圖，四棱錐中， ,，側(cè)面為等邊三角形，.
(Ⅰ)證明：平面；
(Ⅱ)求與平面所成角的大小.
【命題意圖】以四棱錐為載體考查線面垂直證明和線面角的計算，注重與平面幾何的綜合.
解法一：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為矩形，，連結(jié)，則，.
又,故,所以為直角. ………………3分
由,,,得平面,所以.
與兩條相交直線、都垂直.
所以平面. ………………6分
另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. ………………6分
(Ⅱ)由平面知，平面平面.
作,垂足為,則平面ABCD,.
作,垂足為,則.
連結(jié).則.
又,故平面,平面平面.……9分
作,為垂足,則平面.
,即到平面的距離為.
由于,所以平面,到平面的距離也為.
解法二：以為原點(diǎn),射線為軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),則、.
又設(shè),則.
(Ⅰ),
由得
,
故.
由得,
又由得,
即,故. ………………3分
于是,
.
故,又,
所以平面. ………………6分
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量,
則.
又,
故 ………………9分
取得,又
.
故與平面所成的角為. ………………12分
【點(diǎn)評】立體幾何一直以來都是讓廣大考生又喜又憂的題目.為之而喜是因為只要能建立直角坐標(biāo)系，基本上可以處理立體幾何絕大多數(shù)的問題；為之而憂就是對于不規(guī)則的圖形來講建系的難度較大，問題不能得到很好的解決.今年的立幾問題建系就存在這樣的問題，很多考生由于建系問題導(dǎo)致立幾的完成情況不是很好.
(20)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
設(shè)數(shù)列滿足且.
求的通項公式；
(Ⅱ)設(shè).
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的定義及其通項公式,裂項相消法求和,不等式的證明，考查考生分析問題、解決問題的能力.
【解析】(Ⅰ)由題設(shè),
即是公差為1的等差數(shù)列.
又,故.
所以 ……………………………5分# (Ⅱ) 由(Ⅰ)得
,
…………………………12分
【點(diǎn)評】2011年高考數(shù)學(xué)全國卷將數(shù)列題由去年的第18題后移,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).
(21)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
(I)證明：點(diǎn)在上；
(II)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，證明：、、、四點(diǎn)在同一圓上.
【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系、曲線交點(diǎn)坐標(biāo)求法及四點(diǎn)共圓的條件。
【解析】(I),的方程為,代入并化簡得
. …………………………2分
設(shè),
則
由題意得
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
經(jīng)驗證點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,故點(diǎn)在橢圓上 …6分
(II)由和題設(shè)知，，的垂直平分線的方程為
. ①
設(shè)的中點(diǎn)為,則,的垂直平分線的方程為
. ②
由①、②得、的交點(diǎn)為. …………………………9分
,
,
,
,
,
故 ,
又 , ,
所以 ,
由此知、、、四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上. ……………12分
【點(diǎn)評】本題涉及到平面微向量，有一定的綜合性和計算量，完成有難度. 首先出題位置和平時模擬幾乎沒有變化，都保持全卷倒數(shù)第二道題的位置，這點(diǎn)考生非常適應(yīng)的。相對來講比較容易，是因為這道題最好特點(diǎn)沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點(diǎn)，并且斜率也給出，平時做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，反而同學(xué)不知道怎么下手，讓我求什么不知道，給出馬上給向量條件，出了兩道證明題，這個跟平時做的不太一樣，證明題結(jié)論給大家，需要大家嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出來，可能敘述的時候有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤健＿@兩問出的非常巧妙，非常涉及解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容，一個證明點(diǎn)在橢圓上的問題，還有一個疑問既然出現(xiàn)四點(diǎn)共圓，這都是平時很少涉及內(nèi)容。從側(cè)面體現(xiàn)教育深層次的問題，讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，而不是把套路解決。其實(shí)幾年前上海考到解析幾何本質(zhì)問題，最后方法用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點(diǎn)共圓？首先在同一個圓上，首先找到圓心，四個點(diǎn)找圓形不好找，最簡單的兩個點(diǎn)怎么找？這是平時的知識，怎么找距離相等的點(diǎn)，一定在中垂線，兩個中垂線交點(diǎn)必然是圓心，找到圓心再距離四個點(diǎn)距離相等，這就是簡單的計算問題。方法確定以后計算量其實(shí)比往年少.
(22)(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)
(I)設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)360docimg_501_時，360docimg_502_；
(II)從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式360docimg_503_連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為360docimg_504_.證360docimg_505_明：360docimg_506_
【命題意圖】本題為導(dǎo)數(shù)、概率與不等式的綜合,主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.考查考生綜合運(yùn)用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.
【解析】(I) 360docimg_507_ …………………………2分
當(dāng)360docimg_508_時, 360docimg_509_,所以360docimg_510_為增函數(shù),又360docimg_511_,因此當(dāng)360docimg_512_時,
360docimg_513_. …………………………5分
(II) 360docimg_514_.
又360docimg_515_
所以360docimg_516_.
由(I)知: 當(dāng)360docimg_517_時, 360docimg_518_
因此 360docimg_519_.
在上式中,令360docimg_520_,則 19360docimg_521_,即360docimg_522_.
所以360docimg_523_ …………………………12分
【點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計算能力360docimg_524_.估計以后對導(dǎo)數(shù)的考查力度不會減弱.作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，有時還伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.
聯(lián)系客服
