不知不覺，
又見新教材。
確實，
現(xiàn)在的新版教材，
有許多的地方也都變的不一樣了。
尤其是象我這樣任教二十多年的教師，
面對新教材，
很多時候可能是懷有不解和抵觸的。
為什么？
教材越改越“簡單”了！
但高考的改革，
卻未必能跟上它的步伐吧。
因為總是害怕孩子們會吃虧，
老教師面對新教材，
在教學(xué)時，
可能會和我一樣的，
不自覺會強(qiáng)加一些東西給學(xué)生。
其實知道，
也許完全是吃力不討好的。
但又實在是忍不住的，
不是么！
就像是今天應(yīng)粉絲要求要講的不等式，
除了課本之外，
確實還是有很多的話想說的。
要問不等式到底有多難？
確實，
真是難者不會，
會者不難的。
那要問不等式到底有多重要呢？
不懂它的后果，
大概在高中，
基本也就是寸步難行吧。
嗯，
絕對是寸步難行的！
所以今天面對新學(xué)生，
想說一下不等式。
理所應(yīng)當(dāng)?shù)模?/span>
首先就要了解課標(biāo)對它的基本要求，
以及要求到了什么程度。
而現(xiàn)在，
課改之際，
當(dāng)然要先了解新舊課標(biāo)之間的
區(qū)別與聯(lián)系。
其實，
通過對新、舊課標(biāo)的解讀，
不難發(fā)現(xiàn)，
新課標(biāo)明顯強(qiáng)化了不等式的實用性，
加強(qiáng)了利用函數(shù)觀點解不等式的思想。
說的更直白點，
就是對不等式的要求，
力爭做到“有用”和“直觀”。
知識學(xué)習(xí)有意義，
學(xué)習(xí)知識重直觀。
所以，
從函數(shù)的觀點，
理解方程和不等式，
是學(xué)習(xí)這個模塊的基本思想方法了，
那么，
不喜歡作圖的同學(xué)，
是不是應(yīng)該努點力了呢！
不過教材的安排，
也是很人性化的，
通過對初中相關(guān)內(nèi)容的梳理，
先理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，
進(jìn)而體會數(shù)學(xué)的整體性。
所以說，
教材這部分內(nèi)容，
其實是初中相關(guān)知識的延續(xù)與深化了。
一元二次不等式
例1.若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集
是{x|-3<x<1}.
①解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
②b為何值時，ax2+bx+3≥0的解集為R？
解：①由題意，1-a<0且-3和1是方程
(1-a)x2-4x+6=0的兩根。
②ax2+bx+3≥0即為3x2+bx+3≥0,
若不等式的解集為R，
則Δ=b2-36≤0,
所以-6≤b≤6.
即當(dāng)-6≤b≤6時，解集為R.
第①問考查方程與不等式之間的關(guān)系：
從某種角度來說，
不等式解集的區(qū)間端點，
一定是相應(yīng)方程的根的。
第②問主要從函數(shù)圖像的角度，
理解不等式的幾何意義。
不等式的幾何意義到底是什么呢？
其實就是在x軸上方或下方時，
函數(shù)圖像上點的橫坐標(biāo)的取值集合了。
例2.解不等式：2x2-(a+2)x+a<0.
其實解一元二次不等式，
主要注意三個方面：
首先當(dāng)然是拋物線的開口方向，
其次要知曉根的大小，
最后當(dāng)然是不等式的幾何意義了。
正常情況下，
拿到一個不等式后，
我還是喜歡將二次項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)的。
在最高次冪系數(shù)為正數(shù)的情況下，
很多問題都顯得簡單了許多。
我就在這種條件下，
解不等式的同時，
教會了孩子們怎么愉快的吃魚。
大魚吃兩頭，小魚吃中間。
其實這種吃法還是很有道理的。
畢竟，
魚唇、魚腦、魚脆骨，
這些好東西一定都是在魚的頭部，
而魚尾不用說，
時刻都在運(yùn)動的部位，
當(dāng)然是最好的。
可是這些東西，
只有大魚身上才是豐富的，
小魚還是算了，
掐頭去尾吃中間，
好歹還能有點肉的。
所以，
一定要記?。?/span>
大于（魚）吃兩頭，
小于（魚）吃中間哦。
至于中間與兩頭的分界線，
不等式中，
當(dāng)然是方程的解了。
分式不等式
按照數(shù)學(xué)解題的化歸思路，
分式不等式當(dāng)然是要去分母的。
所以這里分類討論的目的，
就是將分式不等式變?yōu)橐辉淮尾坏仁健?/strong>
也深刻體現(xiàn)了，
數(shù)學(xué)解題的“化歸意識”。
其實，
右邊變?yōu)?以后，
利用乘法與除法符號法則相同的特征，
將分式不等式變?yōu)橐辉尾坏仁剑?/strong>
不僅是化歸意識的體現(xiàn)，
也是我最最喜歡的一種方式。
所以說，
化生為熟，
化復(fù)雜為簡單，
是數(shù)學(xué)解題的基本思路。
當(dāng)然，
固定的題型，
還是要形成自己的解題習(xí)慣，
才能快速準(zhǔn)確的解決問題。
所以，
先將右式化為0哦！
從函數(shù)角度看不等式，
其實就是比較兩個函數(shù)圖像的高低。
而函數(shù)值大小的比較，
自然是以兩圖交點為分界了，
交點的橫坐標(biāo)，
也正是相應(yīng)方程的根。
這種利用函數(shù)方程與不等式之間的關(guān)系，
解不等式的思想，
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，
真的是極其重要的。
對于不喜作圖的同學(xué)來說，
這個要求是不是有點高了呢？
只是這種方法，
其實是真的挺方便的。
如果是選擇題，
完全可以根據(jù)解集的特征，
去進(jìn)行排除的。
一元高次不等式
依然還是化歸、化歸！
不過也幸虧是右式為0吧。
其實細(xì)想下，
穿線標(biāo)根法的本質(zhì)，
說白了，
也就是做函數(shù)的草圖而已吧。
思路和前面是一樣的，
右式不為0時，
先變?yōu)?再說吧。
這樣一定會更方便點！
從這個動圖中，
能不能受到點啟示呢？
其實，
對于高次不等式來說，
還是要先求得相應(yīng)方程的根的。
就象這里的方程，
(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)=0
其實應(yīng)該有7個根：
x1=1,x2=x3=2,x4=x5=x6=3,x7=4
穿線標(biāo)根，
要求每個根都要穿一次，
那么對于重根，
穿線的時候，
就要重復(fù)的穿。
重復(fù)2次穿2次，
重復(fù)3次穿3次。
所以就有了穿而不過和穿過的說法。
在這個不等式中，
根3因為穿了3次，
所以就穿過了；
根2重復(fù)兩次穿兩次，
顯然是穿而不過的，
但在數(shù)軸上留下了一個小孔。
所以，
這個時候穿線標(biāo)根的結(jié)果，
其實是下面這個樣子的。
f(x)>0,
當(dāng)然要找x軸上方，
圖像上點的橫坐標(biāo)的范圍了，
只是一定一定別忘了：
x=2處可是有個小針孔哦！
含有參數(shù)的不等式
當(dāng)然，
穿線標(biāo)根的前提，
首先要確定根之間的大小關(guān)系。
那么，
對于含參數(shù)的不等式，
因式分解后，
可能會出現(xiàn)根之間大小關(guān)系不能確定了。
那怎么辦呢？
就先討論大小關(guān)系，
再穿線標(biāo)根寫解集了。
顯然，
這個等式對應(yīng)的方程有4個根：
x1=1,x2=2，x3=3,x4=a,
但根a與根1、2、3的大小關(guān)系能確定么？
顯然不能的。
那，就只有老實的討論了：
分析：
根a的可能性
① a>3
② 2<a<3
③ 1<a<2
④ a<1
至于a等于其中的某個根時，
其實對于解集是沒有多大影響的。
就象是a=3時，
重根3是穿而不過的，
而此時3<x<a不是正好是空集么。
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