德.梅爾分賭注問題:
在“公平”的賭博中，任何一個擁有有限賭本的賭徒，只要長期賭下去，必然有一天會輸光。
帕斯卡之后，雅可.伯努利家族繼續(xù)參與研究賭博中的若干問題, 他給出了“賭徒輸光問題的詳細(xì)解答, 發(fā)現(xiàn)并證明了著名的定理----”大數(shù)定律“。
又稱圣彼得堡悖論，是尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli）在1738提出的一個概率期望值悖論，它來自于一種擲幣游戲，即圣彼得堡游戲。
游戲開始前確定擲出正面或者反面為成功，比如，游戲者如果第一次投擲成功，得獎金2元，游戲結(jié)束；第一次若不成功，繼續(xù)投擲，第二次成功得獎金4元，游戲結(jié)束；這樣，游戲者如果投擲不成功就反復(fù)繼續(xù)投擲，直到成功，游戲結(jié)束。如果第n次投擲成功，得獎金2的n次方元，游戲結(jié)束。
游戲的期望值即所有可能結(jié)果的期望值之和。隨著n的增大，成功的概率雖然很小很小，但是獎金值越來越大接近于無窮大。實際的投擲結(jié)果和計算都表明，多次投擲的結(jié)果，其數(shù)學(xué)期望（平均值）也就是區(qū)區(qū)幾十元。
游戲莊家該如何收費才不至于虧損？游戲者愿意花多少錢玩一次？數(shù)學(xué)家們認(rèn)為現(xiàn)實中設(shè)計這種游戲的人一定是騙子，因為誰也沒有無窮大的銀行。
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直至近代，在科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展助力下，數(shù)學(xué)家們終于將概率論理論向前推進(jìn)一步。拉普拉斯給出了概率的古典定義，他證明了棣莫弗-拉普拉斯定理，建立了觀察誤差理論和最小二乘法。
20世紀(jì)初，勒貝格在測度與積分理論的完善為概率論插上了飛翔的翅膀，三百多年未解決的概率公理化體系被他一舉建立，從此打下了現(xiàn)代概率論的基石。同時期，俄羅斯的數(shù)學(xué)家馬爾可夫提出了“馬爾可夫鏈“數(shù)學(xué)模型，還有后來辛欽提出的平穩(wěn)過程理論。
今天以概率論為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科也逐步發(fā)展壯大。
“概率論和數(shù)理統(tǒng)計“作為一門現(xiàn)代科學(xué)理論在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、軍事科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，已經(jīng)成為全世界所有工科院校的公共基礎(chǔ)課之一。
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