你好，歡迎來(lái)到我的《數(shù)學(xué)通識(shí)50講》，我們進(jìn)入新模塊概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和博弈論的學(xué)習(xí)。課程進(jìn)行到這里，其實(shí)遵循著一個(gè)暗含的線索，從不確定到確定，再到不確定。

比如前面的幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和微積分，我把它們作為數(shù)學(xué)通識(shí)課的內(nèi)容，因?yàn)樗鼈兡軒椭覀冊(cè)诘谝浑A段提高認(rèn)識(shí)，幾何學(xué)通過(guò)幾個(gè)公理和邏輯推演，讓我們認(rèn)識(shí)到很多定理，這是從不確定到確定的過(guò)程。在代數(shù)學(xué)中，求出方程的解，顯然也是把不確定的未知數(shù)確定下來(lái)。至于函數(shù)則是把變量之間的關(guān)系確定下來(lái)。

在微積分中，我們對(duì)確定性的理解從宏觀進(jìn)入到了微觀，當(dāng)然也可以從微觀來(lái)確定宏觀。微積分的出現(xiàn)，使得人類(lèi)有了空前的自信，覺(jué)得那么細(xì)微、短暫的規(guī)律都能把握，那么還有什么不能把握的呢？

到了麥克斯韋的時(shí)代，他通過(guò)幾個(gè)非常確定的方程，把看不見(jiàn)、摸不著的電磁場(chǎng)描繪得清清楚楚。這樣一來(lái)，世界上不存在不確定的事情了，以至于大物理學(xué)家普朗克在選擇專(zhuān)業(yè)時(shí)，一度考慮要學(xué)習(xí)物理以外的學(xué)科，因?yàn)槟莻€(gè)時(shí)代的科學(xué)家們覺(jué)得物理規(guī)律都被發(fā)現(xiàn)完了，剩下的只是修修補(bǔ)補(bǔ)。

我們知道，后來(lái)普朗克恰恰成了帶有不確定性物理學(xué)，也就是量子力學(xué)的開(kāi)山鼻祖。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展也開(kāi)始注重對(duì)不確定性的研究了。從這一講開(kāi)始，我們就來(lái)講述揭示不確定性世界規(guī)律的數(shù)學(xué)分支——概率論。

概率論起源

最早從數(shù)學(xué)的角度研究不確定性，尋找隨機(jī)性背后的規(guī)律的人既不是數(shù)學(xué)家，也不是科學(xué)家們，而是賭徒。他們經(jīng)常需要了解賭局中什么情況更可能出現(xiàn)，以至于好下注掙錢(qián)。我在年輕的時(shí)候一度癡迷于橋牌，打橋牌就要算牌，算算某張牌可能在誰(shuí)的手里。

比如黑桃有13張牌，你和你的搭檔有9張，對(duì)方有4張。最大的兩張A和K都在你手里，但是第三大的Q在對(duì)方手里。這時(shí)你要作一個(gè)判斷，對(duì)方手中的四張黑桃，2-2分布的可能性有多大？如果超過(guò)50%，你直接打出A和K，將對(duì)方手里的Q砸死即可。但是如果1-3分配的可能性很大，而Q恰好在有三張黑桃的人的手里，你就不能這么打了。

事實(shí)上，打橋牌的人基本上背下了主要牌型分布的概率，在打牌時(shí)是靠概率趨勢(shì)，而不是運(yùn)氣。需要說(shuō)明的是，各種牌型的概率通常和人們的直覺(jué)相違背，比如在剛才說(shuō)的4張牌的分布中，1-3分布要比2-2分布的概率大不少，這就和我們的常識(shí)相違背。

在沒(méi)有概率論之前，算清楚牌型的概率不是很容易，而且絕大多數(shù)賭徒會(huì)因?yàn)閼{直覺(jué)判斷而出錯(cuò)。莊家雖然也算不清，但是因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)多，他們?cè)陂L(zhǎng)期設(shè)賭局的生涯中會(huì)不知不覺(jué)地統(tǒng)計(jì)出來(lái)概率分布，因此通常會(huì)占到玩家的便宜。

在歷史上有明確記載的最早研究隨機(jī)性的數(shù)學(xué)家是帕斯卡和費(fèi)馬。帕斯卡就是最早發(fā)明機(jī)械計(jì)算機(jī)的那位數(shù)學(xué)家，他并不是賭徒，但是他有些賭徒朋友，那些人常常玩一種擲骰子游戲，游戲規(guī)則是由玩家連續(xù)擲4次骰子，如果其中沒(méi)有6點(diǎn)出現(xiàn)，玩家贏，如果出現(xiàn)一次6點(diǎn)，則莊家贏。

在這個(gè)賭局中，由于雙方的贏面差不多，不是大家能夠憑直覺(jué)判斷準(zhǔn)的，因此玩家并不覺(jué)得吃虧，甚至還覺(jué)得贏面大一些。但是，只要時(shí)間一長(zhǎng)，莊家總是贏家，玩家注定是輸家。1654年，一位賭徒朋友就向帕斯卡請(qǐng)教，是否能證明莊家的贏面更大？

帕斯卡經(jīng)過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)莊家的贏面還真是稍微大一點(diǎn)，大約是52%vs48%。大家不要小看這多出來(lái)的四個(gè)百分點(diǎn)，累積起來(lái)，能聚斂很多財(cái)富。在研究賭局概率的過(guò)程中，帕斯卡和費(fèi)馬有很多通信，今天一般認(rèn)為他們二人創(chuàng)立了概率論。

他們二人的工作表明，雖然各種不確定性問(wèn)題無(wú)法找到一個(gè)確定的答案，但是背后依然是有規(guī)律可循的。至于“52%vs48%”的結(jié)果是怎么算出來(lái)的，就是這講我留給你的思考題。

概率論的發(fā)展

到了18世紀(jì)啟蒙時(shí)代，法國(guó)政府債臺(tái)高筑，不得不經(jīng)常發(fā)一些彩票補(bǔ)貼財(cái)政。但是由于當(dāng)時(shí)人們的數(shù)學(xué)水平普遍不高，發(fā)彩票的人其實(shí)也搞不清該如何獎(jiǎng)勵(lì)中彩者。

著名的啟蒙學(xué)者伏爾泰是當(dāng)時(shí)最精通數(shù)學(xué)的人之一，他算出了法國(guó)政府彩票的漏洞，找到了一些只賺不賠的買(mǎi)彩票的方法，賺了一輩子也花不完的錢(qián)。伏爾泰一生沒(méi)有擔(dān)任任何公職，或者做生意，但是從來(lái)沒(méi)有為錢(qián)發(fā)過(guò)愁。這讓他能夠?qū)Ｐ膶?xiě)作，研究學(xué)問(wèn)。

從18世紀(jì)末到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)概率論產(chǎn)生了濃厚的興趣，像法國(guó)的伯努利、拉普拉斯和泊松等人，德國(guó)的高斯，以及俄羅斯的切比雪夫和馬爾可夫等人，都對(duì)概率論的發(fā)展有很大的貢獻(xiàn)。經(jīng)過(guò)他們共同的努力，概率論的基礎(chǔ)理論逐漸建立起來(lái)，很多實(shí)際的問(wèn)題也得到了解決。

在這些人中，劃時(shí)代的人物是拉普拉斯。拉普拉斯是一位了不起的科學(xué)家，但是卻又熱衷于當(dāng)官。他有一個(gè)著名的學(xué)生叫做拿破侖，靠這層關(guān)系他后來(lái)當(dāng)上了政府的部長(zhǎng)。不過(guò)，他的政績(jī)不太好，因此拿破侖講，他是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，但卻是一個(gè)不太稱(chēng)職的部長(zhǎng)。不過(guò)，拉普拉斯一生在科學(xué)上的貢獻(xiàn)還是非常大的，比如關(guān)于宇宙構(gòu)成的星云說(shuō)，就是由他完成的。

數(shù)學(xué)家拉普拉斯

當(dāng)然他最為人所知的是以他的名字命名的拉普拉斯變換。在概率論方面，拉普拉斯定義了什么是概率，以及它該如何計(jì)算。在拉普拉斯之前，人們對(duì)“有可能”和“概率大”是分不清的。其實(shí)你今天問(wèn)一些人，買(mǎi)彩票中彩的概率是多少？他依然會(huì)說(shuō)50%，因?yàn)橹挥兄胁屎筒恢胁蕛煞N情況。

拉普拉斯是如何定義概率的呢?他先定義了一種可能性相同的基本隨機(jī)事件，也稱(chēng)為單位事件。

比如我們同時(shí)擲兩個(gè)骰子，兩個(gè)骰子的點(diǎn)加起來(lái)可以是從2到12之間的任何正數(shù)。那么我問(wèn)你，這些數(shù)出現(xiàn)的概率相等嗎？很多人會(huì)認(rèn)為相等，因?yàn)閺?到12一共有11種情況，每一種情況的概率就是1/11。但是，這11種情況并非基本的隨機(jī)事件，而是可以拆分為更小的單位事件。

比如兩個(gè)骰子加起來(lái)是5點(diǎn)，里面包含了四種單位事件，即第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，第二個(gè)的點(diǎn)數(shù)是4，3，2，1?；趩挝皇录母拍?，拉普拉斯定義了古典的概率公式，即

在上面擲骰子的問(wèn)題中，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)的組合有36種，即當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子是1點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)骰子為1～6點(diǎn)六種情況。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)骰子是兩點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)骰子為1～6點(diǎn)六種情況，等等，算下來(lái)一共是36種。每一種不可再分，都是單位事件。單位事件的概率稱(chēng)為原子概率，在這個(gè)例子中，原子概率就是1/36。

如果我們要計(jì)算兩個(gè)骰子加起來(lái)是5點(diǎn)的情況，只要數(shù)數(shù)里面包括了多少單位事件，它里面有4個(gè)單位事件，然后我們用4除以總數(shù)36即可，這樣算下來(lái)，兩個(gè)骰子加起來(lái)為5點(diǎn)的概率是1/9。用這種方法我們會(huì)發(fā)現(xiàn)2點(diǎn)和12點(diǎn)的概率最小，是1/36，中間7點(diǎn)的概率最大，是1/6。因此這11種情況并不是等概率。

根據(jù)拉普拉斯對(duì)概率的定義，所有可能發(fā)生的情況放在一起，構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)事件總的集合（也稱(chēng)為概率空間）。任何一個(gè)隨機(jī)事件，都是隨機(jī)事件總集合里的一個(gè)子集。

比如擲兩個(gè)骰子，隨機(jī)事件總的集合就包含那36種情況。而某個(gè)隨機(jī)事件，比如“兩個(gè)骰子總點(diǎn)數(shù)大于10”，就是其中的一個(gè)子集，這個(gè)子集包含三個(gè)單位事件，即第一個(gè)骰子是5點(diǎn)，第二個(gè)骰子是6點(diǎn)，或者反過(guò)來(lái)，兩個(gè)骰子都是六點(diǎn)。

如果一個(gè)隨機(jī)事件，包含了隨機(jī)事件空間中所有的單位事件，那么這個(gè)事件必然會(huì)發(fā)生，它被稱(chēng)為必然事件，概率就是1。另一方面，如果一個(gè)隨機(jī)事件不包括隨機(jī)事件空間中任何一個(gè)單位事件，它就不可能發(fā)生，被稱(chēng)為不可能事件，概率為零。剩下來(lái)的隨機(jī)事件，概率都在0和1之間，里面包含的單位事件越多，概率就越大，用通俗的話講，就是發(fā)生的可能性越大。

拉普拉斯對(duì)于概率論的描述其實(shí)有不少漏洞，比如在現(xiàn)實(shí)中是否存在著可能性完全相等的單位事件，這本身就是一個(gè)大問(wèn)號(hào)。我們知道，沒(méi)有骰子是完美對(duì)稱(chēng)的，因此和骰子相關(guān)的概率問(wèn)題似乎就不存在單位事件了。當(dāng)然，這還不是拉普拉斯定義中最大的缺陷，他給出的定義本身有循環(huán)定義的嫌疑。

拉普拉斯為了說(shuō)明一個(gè)隨機(jī)事件A的概率，用了等可能性的單位事件這個(gè)說(shuō)法。但是在沒(méi)有概率的定義之前，等可能性又從何談起？此外，根據(jù)拉普拉斯的定義，要先已知隨機(jī)事件空間，或者說(shuō)各種可能性總的集合，比如擲骰子我們需要知道一個(gè)骰子有六種結(jié)果。

但是對(duì)于未來(lái)的預(yù)測(cè)，常常無(wú)法把各種隨機(jī)性都列舉出來(lái)。比如醫(yī)療保險(xiǎn)公司無(wú)法確定一個(gè)60歲的人在接下來(lái)的3年里得大病的概率，因?yàn)闊o(wú)法知道都可能發(fā)生什么意外。不過(guò)由于拉普拉斯這種定義大家都能理解，也就暫時(shí)不追究其嚴(yán)密性了。

要點(diǎn)總結(jié)：

隨機(jī)性是一種自然的屬性，我們無(wú)法否認(rèn)它的存在，它導(dǎo)致很多結(jié)果變得不確定。但是對(duì)于特定的隨機(jī)試驗(yàn)，它得到什么結(jié)果，還是有規(guī)律可循的，于是數(shù)學(xué)家們用了一個(gè)概率的概念來(lái)描述這種不確定性。雖然人類(lèi)最初的動(dòng)機(jī)和金錢(qián)相關(guān)，但是一旦掌握了不確定性背后的規(guī)律，就從自發(fā)狀態(tài)進(jìn)入了自由狀態(tài)。

下一講我們就來(lái)了解一下有關(guān)隨機(jī)性的規(guī)律是什么樣的，它們又是怎樣被一步步地了解的。我們下一講再見(jiàn)?！獏擒姟稊?shù)學(xué)通識(shí)五十講》