“小學(xué)階段各年級數(shù)學(xué)思想方法滲透的實(shí)踐與研究”課題組*
【內(nèi)容摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中孕育著豐富的數(shù)學(xué)思想方法, 而數(shù)學(xué)思想就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識, 它是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和根本策略。而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式, 是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和重要工具。
在研究中我們探索了小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法階段特征，學(xué)生的思維階段特征，以及數(shù)學(xué)思想方法行之有效的教學(xué)，通過研究我們發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透、孕育，能有效地提高教學(xué)效果，使教師的教學(xué)思想和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式都發(fā)生了不同程度的改變。
【關(guān)鍵詞】階段特征 滲透點(diǎn) 實(shí)踐成效 基本模式
一、背景與意義
（一）背景
對于小學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，人們早已開始研究，側(cè)重點(diǎn)在于有哪些數(shù)學(xué)思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法的滲透可以帶來哪些好處，有哪些意義等。但是長期以來，由于對數(shù)學(xué)教學(xué)效果的評價(jià)總是圍繞著對“顯性知識”的掌握而展開的，看學(xué)生是否記住了數(shù)學(xué)公式、概念、定理等等，是否會用某種方法解題，是否會用某種規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算、推理，并把這些作為考試、考察的基本指標(biāo)，許多教師的數(shù)學(xué)教學(xué)變成了單純的“解題教學(xué)”，相對削弱了對學(xué)生“數(shù)學(xué)思想方法”的有效考察，影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)智能的均衡發(fā)展。
近一段時(shí)期以來，小學(xué)階段對于數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透已開始受到重視，而隨著課程改革的不斷深入，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中有意識地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法也開始成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一，（全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出：“學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法?！币虼耍谛W(xué)階段有意識地向?qū)W生滲透一
些基本數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。
*本課題系2007年度市教研系統(tǒng)課題。 課題組負(fù)責(zé)人：沈惠芬 顧問：鄔墉銓 課題組成員：
沈華斌 徐月珍 崔琴 王艷 趙舒 沈霞 郁芳瑛 本研究報(bào)告執(zhí)筆：沈華斌
美國、日本、英國、德國等許多發(fā)達(dá)國家在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重視讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，正如日本數(shù)學(xué)史家米山國藏所指出的：“不管他們（指學(xué)生）從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，都隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生?！睆?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)早已成為各發(fā)達(dá)國家的一致共識?，F(xiàn)代社會已經(jīng)更多的要求學(xué)生從小就受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶與啟迪，以便為將來能夠解決社會所面臨的實(shí)際問題而打好基礎(chǔ)，這也已成為我國的共識。如果不注重?cái)?shù)學(xué)思想方法教學(xué)將會是我國數(shù)學(xué)教育的一種嚴(yán)重缺陷。
《標(biāo)準(zhǔn)》頒布以來，在學(xué)習(xí)內(nèi)容中提到了若干重要的數(shù)學(xué)觀念、意識和能力，但沒有提及關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的要求。之所以如此，一個(gè)重要的原因是，在界定和刻畫適于義務(wù)教育階段學(xué)生領(lǐng)悟和掌握的數(shù)學(xué)思想方法方面，多注重整體上如何滲透各類數(shù)學(xué)思想，而如何細(xì)致地分階段去研究和實(shí)踐數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思想方法如何滲透等所積累的研究成果卻還不夠充分。
（二）理論假設(shè)
1.滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是否對教學(xué)效果有成效？
2.數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)是否有推廣價(jià)值？
（三）意義
首先, 我們要明確, 決定一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的高低, 最為重要的標(biāo)志是看他能否用數(shù)學(xué)的思想方法去解決以至日常生活問題。其次, 我們要明確數(shù)學(xué)思想方法總是隱含在知識中, 這就要求教師在吃透教材的基礎(chǔ)上去領(lǐng)悟教材內(nèi)容所隱含的思想方法, 從而把握教材的實(shí)質(zhì), 使數(shù)學(xué)思想方法的滲透成為一種有意識的教學(xué)活動(dòng)。
二、內(nèi)容與目標(biāo)
（一）課題的界定
數(shù)學(xué)思想方法：所謂數(shù)學(xué)思想, 就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識, 它是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和根本策略。而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式, 是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和重要工具。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程, 當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度時(shí)就會產(chǎn)生飛躍, 從而上升為數(shù)學(xué)思想。因此, 數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用。
在小學(xué)數(shù)學(xué)中, 許多數(shù)學(xué)思想和方法往往是一致的, 如假設(shè)思想和假設(shè)方法, 轉(zhuǎn)化思想和轉(zhuǎn)化方法等。數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的理論根據(jù), 數(shù)學(xué)方法是相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)實(shí)施。我們認(rèn)為, 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中, 可把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個(gè)整體———數(shù)學(xué)思想方法。前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。
關(guān)于數(shù)學(xué)思想的滲透：小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)尚處于試驗(yàn)、探索階段。滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一方面需要教師挖掘、提煉隱含于教材中的數(shù)學(xué)思想方法；另一方面教師要把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入到教學(xué)目標(biāo)，做到有目的、有計(jì)劃、有步驟地精心設(shè)計(jì)好教學(xué)過程。
（二）研究主要內(nèi)容
首先理論研究小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的階段性特征，對小學(xué)階段存在的數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)行系統(tǒng)梳理。然后再研究小學(xué)不同階段主要運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)思想方法，該如何運(yùn)用到實(shí)踐中去，在哪些方面運(yùn)用何種思想方法，以及一種數(shù)學(xué)思想方法在不同階段要達(dá)到怎樣的滲透程度等等實(shí)踐的基礎(chǔ)上，大力開展數(shù)學(xué)思想方法課堂教學(xué)的嘗試，探索小學(xué)中實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法滲透教學(xué)的基本規(guī)律（一般模式），以實(shí)驗(yàn)班為基礎(chǔ)，進(jìn)行課堂教學(xué)嘗試，以能夠提供各個(gè)階段教學(xué)實(shí)踐中滲透數(shù)學(xué)思想方法的多個(gè)成功案例為主要內(nèi)容。
（三）預(yù)期目標(biāo)
1.實(shí)踐性目標(biāo)
（1）梳理出小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法分布表，學(xué)生思維的階段特征。
（2）探究小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法的階段性特征，滲透的側(cè)重點(diǎn)。
（3）探討總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法課堂滲透有效性的途徑和方法，形成以滲透數(shù)學(xué)思想方法提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的教學(xué)案例、論文集等研究成果。
2.育人性目標(biāo)
（1）在日常教學(xué)中，讓我們一線的數(shù)學(xué)教師更好地從整體上把握教材的數(shù)學(xué)思想方法的編排體系，注重引導(dǎo)、滲透可利用資源，讓學(xué)生感悟、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，以逐步提高教師的教學(xué)業(yè)務(wù)水平。
（2）提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，自覺地、主動(dòng)地在學(xué)習(xí)過程中運(yùn)用所學(xué)知識，并創(chuàng)造性地運(yùn)用發(fā)散思維、或逆向思維，提高解決問題的能力。
三、研究的實(shí)施過程
（一）研究步驟
第一階段：在理論方面進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)思想的系統(tǒng)研究（2007年9月——2007年12月）責(zé)任人：課題組全體成員
通過文獻(xiàn)研究搞清小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的階段性特征，小學(xué)階段各年級數(shù)學(xué)思想方法的概念、范疇、作用，每個(gè)階段存在哪些數(shù)學(xué)思想方法，該如何運(yùn)用到實(shí)踐中去，在哪些方面運(yùn)用何種思想方法，一種數(shù)學(xué)思想方法在不同階段要達(dá)到怎樣的滲透程度，提出課題研究目標(biāo)、步驟和預(yù)期效果。
第二階段：進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的教學(xué)實(shí)踐（2008年1月——2009年6月）
責(zé)任人：課題組全體成員
各位課題組人員針對自己所負(fù)責(zé)的年級，弄清每個(gè)階段存在哪些數(shù)學(xué)思想方法，該如何運(yùn)用到實(shí)踐中去，在哪些方面運(yùn)用何種思想方法，一種數(shù)學(xué)思想方法在不同階段要達(dá)到怎樣的滲透程度，在實(shí)踐過程有哪些收獲，寫出理論研究小結(jié)。
在數(shù)學(xué)思想方法理論研究取得一定的成果后，在自己所任教班級作為實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透教學(xué)，并結(jié)合學(xué)?！叭巳藚R報(bào)一堂創(chuàng)新課”活動(dòng)上好“研究課”，進(jìn)行嘗試教學(xué)。嘗試教學(xué)后召開專題討論會，研究討論所取得的成果或需改進(jìn)之處，本課題組在整個(gè)研究過程中共召開了7次研究會議。
第三階段：進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)（2009年7月——2009年8月）責(zé)任人：沈華斌
收集各課題成員的研究材料，做好歸納整理，本著全面、客觀、科學(xué)的眼光對研究情況進(jìn)行分析，寫出課題結(jié)題報(bào)告，總結(jié)、研究值得推廣的經(jīng)驗(yàn)和收獲，將研究成果整理成文。做好課題所要達(dá)到的目標(biāo)。
（二）行動(dòng)研究方式
1．理論研究：主要收集小學(xué)階段存在的數(shù)學(xué)思想方法以及該思想的內(nèi)涵，制定實(shí)踐方案。
2．實(shí)踐研究
（1）探究階段特征：結(jié)合實(shí)踐，探究常見的數(shù)學(xué)思想方法的階段特征，以便我們在教學(xué)實(shí)踐中，對癥下藥，摸清常見的數(shù)學(xué)思想方法的滲透方式。
（2）豐富的活動(dòng)：課題實(shí)施過程中，我們重視將空洞的理論研究變成具體形象的實(shí)踐操作，結(jié)合人人一堂創(chuàng)新課，同時(shí)開展扎實(shí)有效的“探究課”。
（3）經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法：對實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的成功經(jīng)驗(yàn)和失敗教訓(xùn)都要進(jìn)行及時(shí)的總結(jié)，（包括理論方面的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐方面的經(jīng)驗(yàn)），定期召開論文交流與評比、案例分析與討論和教學(xué)實(shí)踐系列研討活動(dòng)，請專家對這些經(jīng)驗(yàn)予以鑒定、好的經(jīng)驗(yàn)及時(shí)推廣。
（三）研究措施
1.學(xué)生思維的學(xué)段特征
（1）第一學(xué)段（1～3年級）學(xué)生的數(shù)學(xué)思考要求
在（1～3年級）這一學(xué)段中，由于學(xué)生年齡段處在7~10歲，根據(jù)思維發(fā)展心理學(xué)的研究結(jié)論，我們的學(xué)生已經(jīng)由學(xué)前期（3~7歲）的具體形象思維開始向抽象邏輯思維過渡，但仍以具體形象思維為主，在這個(gè)階段，學(xué)生往往只注意數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，注重知識的積累，而未曾注意到這些知識起到橫向聯(lián)系和固定作用的思想方法，或者只是處于一種“朦朦朧朧”、“若有所悟”的狀況。那么我們教師該如何根據(jù)這一學(xué)段學(xué)生的特點(diǎn)，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動(dòng)，來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想能力，滲透數(shù)學(xué)思想方法，使它和數(shù)學(xué)智能達(dá)到均衡發(fā)展，這將是我們研究的主要內(nèi)容之一。
（2）第二學(xué)段（4～6年級）學(xué)生的數(shù)學(xué)思考要求
在這一學(xué)段，隨著運(yùn)用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐機(jī)會的增多，隱藏在數(shù)學(xué)知識后面的思想方法就會逐漸引起學(xué)生的注意和思索，直至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng)悟。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度，這種事實(shí)上已被應(yīng)用多次的思想方法就會凸現(xiàn)出來，學(xué)生開始理解解題過程中所使用的方法與策略，并概括總結(jié)出這一思想方法，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)開始出現(xiàn)明朗化。這時(shí)候，我們的教學(xué)也應(yīng)該有個(gè)初步理解階段，在我們正面地、直截了當(dāng)介紹某種數(shù)學(xué)思想方法，要求學(xué)生如何初步掌握該方法解決問題的要領(lǐng)，會簡單應(yīng)用該方法來解決實(shí)際問題。
2.小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法的疏理
在第一階段，我們主要探索了小學(xué)階段出現(xiàn)頻數(shù)較高的數(shù)學(xué)思想方法（見表1），其理由是：（1）這些數(shù)學(xué)思想方法幾乎包攝了全部小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）符合小學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；（3）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會比較多；（4）掌握這些思想方法可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。
表1 小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想大體分布表
| 冊數(shù)
| 單元
| 內(nèi)容
| 可滲透的數(shù)學(xué)思想方法
|
|
一
年
級
上
冊
| 一、準(zhǔn)備課
| 分類、同樣多、多些少些、練習(xí)一
| 分類、集合、對應(yīng)、符號化
|
| 二、10以內(nèi)數(shù)
的認(rèn)識和加減法
| 1、2、3、4、5、6的認(rèn)識，加法和減法
| 集合、符號化、對應(yīng)、化歸、分類
| |
| 練習(xí)七第11題，練習(xí)八第7、10題
| 函數(shù)
| ||
| 整理復(fù)習(xí)第4、5題
| 分類、統(tǒng)計(jì)
| ||
| 三、認(rèn)識圖形（一）
| 長方形、正方形、三角形、圓，拼組圖形
| 符號化、排列組合
| |
| 四、11~20各數(shù)的認(rèn)識
| 例1~例6
| 對應(yīng)、符號化、基本量
| |
| 五、20以內(nèi)的進(jìn)
位加法
| 9加幾：例1~例4
| 對應(yīng)、集合
| |
| 9加幾：例5
| 對應(yīng)、結(jié)構(gòu)
| ||
|
一
年
級
下
冊
| 一、位置
| 上下、前后、左右、位置、練習(xí)一
| 有序、對應(yīng)
|
| 二、20以內(nèi)的退位減法
| 例1～例2、整理和復(fù)習(xí)第1、2題
| 轉(zhuǎn)化、分類
| |
| 三、圖形的拼組
| 例1～例2
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| 四、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識
| 例1～例3、例6～例9、例10、擺一擺，想一想
| 建模、比較、轉(zhuǎn)化、符號化
| |
| 五、認(rèn)識人民幣
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| |
| 六、100以內(nèi)的加法和減法
|
| 建模、轉(zhuǎn)化
| |
| 七、認(rèn)識時(shí)間
| 例1～例2、練習(xí)十五
| 建模、數(shù)形結(jié)合
| |
| 八、找規(guī)律
| 例1～例7、練習(xí)十六
| 有序、分類、集合、排列組合
| |
| 九、統(tǒng)計(jì)
| 例1～例2、練習(xí)十七
| 分類、統(tǒng)計(jì)
| |
|
二
年
級
上冊
|
二、100以內(nèi)的加法和減法
| 兩位數(shù)加兩位數(shù)、兩位數(shù)減兩位數(shù)、連加、連減和加減混合、加減法估算
| 集合、符號化、化歸、分類
|
| 我長高了
| 分類、統(tǒng)計(jì)、符號化
| ||
| 三、角的初步認(rèn)識
| 認(rèn)識角和直角
| 符號化、分類
| |
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四、表內(nèi)乘法（一）
| 乘法的初步認(rèn)識
| 建模
| |
| 2～6的乘法口訣
| 化歸、函數(shù)、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、對應(yīng)
| ||
| 五、觀察物體
| 例1～例3
| 局部與整體
| |
| 練習(xí)十五
| 轉(zhuǎn)化
| ||
|
六、表內(nèi)乘法（二）
| 例1、 練習(xí)十六、例5、例6
| 化歸、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、對應(yīng)、有序
| |
| 例2～例4、練習(xí)十七
| 建模、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化
| ||
| 練習(xí)二十
| 函數(shù)、代數(shù)
| ||
| 看一看、擺一擺
| 數(shù)形結(jié)合、有序
| ||
| 七、統(tǒng)計(jì)
| 以一當(dāng)二
| 分類、有序、統(tǒng)計(jì)
| |
| 八、數(shù)學(xué)廣角
| 排列、組合
| 有序
| |
|
二
年
級
下
冊
| 一、解決問題
| 例1～練習(xí)二
| 建模、比較、轉(zhuǎn)化
|
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二、表內(nèi)除法（一）
| 1.平均分（例1～練習(xí)三）
| 數(shù)形、建模
| |
| 練習(xí)三（第1題）
| 對應(yīng)
| ||
| 除法（例4～練習(xí)四）
| 數(shù)形、符號化
| ||
| 2.用2～6的乘法口訣求商（例1～練習(xí)八）
| 有序、化歸、轉(zhuǎn)化、函數(shù)
| ||
| 三、圖形與變換
| 銳角和鈍角、平移和旋轉(zhuǎn)、剪一剪
| 分類、比較、轉(zhuǎn)化、歸納
| |
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四、表內(nèi)除法（二）
| 用7、8、9的口訣求商（例1）
| 建模、轉(zhuǎn)化
| |
| 練習(xí)十一（第5、10題）
| 函數(shù)
| ||
| 解決問題
| 建模、數(shù)形結(jié)合
| ||
| 五、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識
| 認(rèn)識“百”和“千”、比較大小、整百整千數(shù)加減法
| 對應(yīng)、符號化、基本量、建模、轉(zhuǎn)化
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| 六、克和千克
| 認(rèn)識、比較克和千克
| 建模、轉(zhuǎn)化、比較
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| 七、萬以內(nèi)的加法和減法（一）
| 例1～ 練習(xí)二十一
| 建模、轉(zhuǎn)化
| |
| 有多重
| 分類、比較、統(tǒng)計(jì)
| ||
| 八、統(tǒng)計(jì)
| 復(fù)式統(tǒng)計(jì)表、以一當(dāng)五
| 分類、統(tǒng)計(jì)
| |
| 九、找規(guī)律
| 例1、例2、練習(xí)二十三
| 數(shù)形結(jié)合、有序、分類、集合、排列組合
| |
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三
年
級
上
冊
| 一、測量
| 毫米、分米的認(rèn)識；千米的認(rèn)識；噸的認(rèn)識、練習(xí)1～3
| 化歸、比較、
分類
|
|
二、萬以內(nèi)的加法和減法（二）
| 加法、減法
| 比較、類比
| |
| 練習(xí)五第10題、思考題
練習(xí)六思考題
| 假設(shè)
| ||
| 加減法驗(yàn)算、練習(xí)七第4、5題
| 化歸、假設(shè)、轉(zhuǎn)化
| ||
|
三、四邊形
| 四邊形、平行四邊形
| 集合、比較、分類
| |
| 周長、長方形和正方形的周長
| 集合、符號化、化歸、比較、
| ||
|
估計(jì)、練習(xí)十一第6題
| 數(shù)形結(jié)合、可逆、變中抓不變、對應(yīng)、比較
| ||
| 四、有余數(shù)的除法
| 例1～例4、練習(xí)十三第8題
| 比較、轉(zhuǎn)化、可逆、化歸
| |
| 五、時(shí)、分、秒
| 秒的認(rèn)識 、時(shí)間的計(jì)算
| 建模、代換、數(shù)形結(jié)合、
| |
|
六、多位數(shù)乘一位數(shù)
| 口算乘法、練習(xí)十五第12題
| 對應(yīng)
| |
| 筆算乘法例1～例7
| 對應(yīng)、分類
| ||
| 整理和復(fù)習(xí)
| 分類、整體
| ||
| 七、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識
| 幾分之一、幾分之幾、分?jǐn)?shù)大小的比較
| 對應(yīng)、比較、數(shù)形結(jié)合
| |
| 八、可能性
| 例1～例4、
練習(xí)二十四
| 假設(shè)、比較、可逆、數(shù)形結(jié)合、建模
| |
| 九、數(shù)學(xué)廣角
| 排列、組合、擲一擲
| 對應(yīng)、符號化、數(shù)形結(jié)合
| |
|
三
年
級
下
冊
| 一、位置與方向
| 認(rèn)識方向、看簡單路線圖、辨認(rèn)方向
| 有序、對應(yīng)
|
|
二、除數(shù)是一位數(shù)的除法
| 口算除法
| 類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、函數(shù)
| |
| 筆算除法：例1~例4
| 數(shù)形結(jié)合、有序、轉(zhuǎn)化、建模
| ||
| 筆算除法：例5~例7
| 歸納、類比、概括、建模
| ||
| 三、統(tǒng)計(jì)
| 簡單的數(shù)據(jù)分析、平均數(shù)
| 對應(yīng)、統(tǒng)計(jì)、數(shù)形結(jié)合
| |
| 四、年、月、日
| 例1~例2
| 化歸、對應(yīng)、整體
| |
| 五、兩位數(shù)乘兩位數(shù)
| 口算乘法
| 類比、轉(zhuǎn)化
| |
| 筆算乘法
| 建模、有序
| ||
|
六、面積
| 面積和面積單位
| 數(shù)形結(jié)合、類比
| |
| 長方形和正方形的面積計(jì)算
| 代數(shù)、概括、建模、轉(zhuǎn)化
| ||
| 練習(xí)十九
| 代數(shù)
| ||
| 面積單位間的進(jìn)率
| 數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化
| ||
| 七、小數(shù)的初步認(rèn)識
| 認(rèn)識小數(shù)
| 符號化、轉(zhuǎn)化、對應(yīng)
| |
| 簡單小數(shù)加減法、練習(xí)二十二
| 建模、歸納
| ||
| 八、解決問題
| 例1、例2、練習(xí)
| 數(shù)形結(jié)合 基本量
| |
| 九、數(shù)學(xué)廣角
|
| 集合 等量代換
| |
|
四
年
級
上
冊
| 一、大數(shù)的認(rèn)識
| 億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識
| 對應(yīng)、有序、建模、極限
|
| 二、角的度量
| 直線、射線、角的認(rèn)識、角的度量、角的分類、畫角
| 符號化、排列組合
| |
| 三、三位數(shù)乘兩位數(shù)
| 口算乘法、三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法
| 對應(yīng)、集合、轉(zhuǎn)化、分類、
| |
| 四、平行四邊形和梯形的認(rèn)識
| 平行四邊形和梯形的認(rèn)識、畫平行四邊形
| 符號化、集合
| |
| 五、除數(shù)是兩位數(shù)的除法
| 口算除法、除數(shù)是兩位數(shù)的除法
| 對應(yīng)、集合
| |
| 六、統(tǒng)計(jì)
| 條形統(tǒng)計(jì)圖
| 分類、統(tǒng)計(jì)、對應(yīng)、比較
| |
| 七、數(shù)學(xué)廣角
| 烙餅問題
| 有序、轉(zhuǎn)化
| |
| 四
年
級
下
冊
| 一、四則運(yùn)算
| 四則運(yùn)算
| 有序、
|
| 二、位置與方向
| 位置與方向
| 有序、對應(yīng)
| |
| 三、運(yùn)算定律與簡便運(yùn)算
| 加法結(jié)合律、叫法交換律、減法的性質(zhì)、乘法結(jié)合律、乘法結(jié)合律、乘法分配律、除法的性質(zhì)。
| 建模、符號化
| |
| 四、小數(shù)的意義和性質(zhì)
| 小數(shù)的意義和讀寫法、小數(shù)的性質(zhì)
| 建模、比較、轉(zhuǎn)化、符號化
| |
| 五、三角形
| 三角形的認(rèn)識、三角形的分類
| 比較、符號化
| |
| 六、小數(shù)的加減法
| 小數(shù)的加減及混合運(yùn)算
| 建模、轉(zhuǎn)化
| |
| 七、統(tǒng)計(jì)
| 折線統(tǒng)計(jì)圖
| 分類、統(tǒng)計(jì)、對應(yīng)、比較
| |
| 八、數(shù)學(xué)廣角
| 植樹問題
| 有序、轉(zhuǎn)化、歸類
| |
|
五
年
級
上
冊
| 一、小數(shù)乘法
| 例1～例2
例3～例4
例7～例8
| 轉(zhuǎn)化、對應(yīng)、
對比、有序、
比較、函數(shù)思想
|
| 二、小數(shù)除法
| 例1～例4
例7～例9
例11
| 轉(zhuǎn)化、極限、
對比、有序、
化歸、函數(shù)思想
| |
| 三、觀察物體
| 正面、側(cè)面、上面、練習(xí)
| 有序、對應(yīng)
| |
| 四、簡易方程
| 例題
量一量、找規(guī)律
| 符號化、等量代換、函數(shù)思想
統(tǒng)計(jì)、歸納、函數(shù)、極限
| |
| 五、多邊行的面積
| 平行四邊形的面積、三角形的面積、
梯形的面積、 組合圖形的面積
| 轉(zhuǎn)化、符號化、對應(yīng)
| |
| 六、統(tǒng)計(jì)與可能性
| 統(tǒng)計(jì)
可能性
| 分類、統(tǒng)計(jì)
概率思想、排列組合
| |
| 七、數(shù)學(xué)廣角
| 例1～例4
| 數(shù)字編碼思想
| |
|
五
年
級
下
冊
| 一、圖形的變換
| 軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)
| 有序、對應(yīng)、建模
|
| 二、因數(shù)與倍數(shù)
| 因數(shù)與倍數(shù)
質(zhì)數(shù)與合數(shù)
| 建模、比較、數(shù)形結(jié)合
符號化、極限、分類
| |
| 三、長方體和正方體
| 特征認(rèn)識、表面積和體積
| 建模、比較、數(shù)形結(jié)合
符號化
| |
| 四、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)
| 分?jǐn)?shù)的意義
真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù) 約分和通分
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)
| 建模、集合、整體
建模、集合、比較、數(shù)行結(jié)合
化歸
| |
| 五、分?jǐn)?shù)的加法和減法
| 加法和減法
| 建模、轉(zhuǎn)化
| |
| 六、統(tǒng)計(jì)
| 例1～例2
打電話
| 分類、統(tǒng)計(jì)
優(yōu)化
| |
| 七、數(shù)學(xué)廣角
| 找次品：例1～例2
| 歸納、優(yōu)化
| |
|
六
年
級
上
冊
| 一、位置
| 例1、例2
| 對應(yīng)、
|
|
二、分?jǐn)?shù)乘法
| 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)
分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)
簡便計(jì)算、混合運(yùn)算
| 數(shù)形結(jié)合、類比、歸納、
| |
| 求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題
稍復(fù)雜的求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問題
| 數(shù)形結(jié)合、建模、
| ||
| 倒數(shù)的概念、求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)
| 歸納、類比
| ||
| 三、分?jǐn)?shù)除法
| 例1~例4
| 類比、歸納、對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)
| |
| 解決問題（例1、例2、）練習(xí)十
| 方程、數(shù)形結(jié)合、建模、歸納
| ||
| 比的意義、比的基本性質(zhì)、按比例分配
| 類比、化歸、歸納
| ||
| 四、圓
| 認(rèn)識圓：例1~例3
| 歸納、類比
| |
| 圓的周長
| 轉(zhuǎn)化、建模
| ||
| 圓的面積、例1、例2、練習(xí)十六、整理和復(fù)習(xí)
| 轉(zhuǎn)化、建模、數(shù)形結(jié)合、歸納
| ||
| 五、百分?jǐn)?shù)
| 百分?jǐn)?shù)的意義和寫法
| 比較、歸納
| |
| 百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化：例1~例4
| 建模、
| ||
| 用百分?jǐn)?shù)解決問題：例1~例5、整理和復(fù)習(xí)
| 建模、類比、數(shù)形結(jié)合、分類、比較
| ||
| 六、統(tǒng)計(jì)
| 扇形統(tǒng)計(jì)圖、練習(xí)25
| 符號化、比較
| |
| 七、數(shù)學(xué)廣角
| 例1、練習(xí)26
| 枚舉、方程、假設(shè)、類比
| |
|
六
年
級
下
冊
| 一、負(fù)數(shù)
| 例1～例4、練習(xí)1
| 數(shù)形結(jié)合、比較、建模、歸納
|
| 二、圓柱與圓錐
| 圓柱的認(rèn)識：例1~例2
| 對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合
| |
| 圓柱的表面積：例3~例4、練習(xí)2
| 轉(zhuǎn)化、比較、對應(yīng)、
| ||
| 圓柱的體積：例5~例6、練習(xí)3
| 轉(zhuǎn)化、類比、分類、數(shù)形結(jié)合
| ||
| 圓錐：例1~例、練習(xí)4、整理和復(fù)習(xí)
| 歸納、比較、轉(zhuǎn)化、類比
| ||
| 三、比例
自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)
| 比例的意義和基本性質(zhì)：例1~例3
| 建模、方程、
| |
| 正比例和反比例的意義：例1~例3
| 類比、建模、數(shù)形結(jié)合、歸納、比較
| ||
| 比例的應(yīng)用：例1~例6、整理和復(fù)習(xí)
| 方程、建模、比較、數(shù)形結(jié)合、歸納
| ||
| 四、統(tǒng)計(jì)
| 例1~例2
| 比較、數(shù)形結(jié)合
| |
|
六、整理與復(fù)習(xí)
| 數(shù)與代數(shù)
| 建模、比較、整體、符號、分類、比較
| |
| 空間與圖形
| 極限、集合、轉(zhuǎn)化、類比、分類、數(shù)形結(jié)合、
| ||
| 統(tǒng)計(jì)與概率
| 對應(yīng)、比較、數(shù)形結(jié)合、符號
| ||
| 綜合應(yīng)用
| 比較、數(shù)形結(jié)合、
|
我們對人教版《小學(xué)數(shù)學(xué)》教材中的數(shù)學(xué)思想方法出現(xiàn)的頻數(shù)也進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見表2。 表2 數(shù)學(xué)思想方法頻數(shù)分布表
| 數(shù)學(xué)思想方法
| 頻數(shù)
|
| 數(shù)學(xué)思想方法
| 頻數(shù)
|
| 分類方法
| 31
|
| 類比方法
| 16
|
| 數(shù)形結(jié)合方法
| 35
|
| 有序方法
| 20
|
| 化歸方法
| 29
|
| 集合方法
| 15
|
| 符號方法
| 23
|
| 統(tǒng)計(jì)方法
| 29
|
| 建模方法
| 39
|
| 極限方法
| 27
|
| 函數(shù)方法
| 12
|
| 對應(yīng)方法
| 34
|
| 比較方法
| 34
|
|
|
|
從表1和表2中可以看出，小學(xué)數(shù)學(xué)蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容，不但種類繁多，而且部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法出現(xiàn)頻數(shù)也很多，這說明在小學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透是非常有必要的，是很有意義的。
四、研究成果與結(jié)論
（一）小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的研究成果
1．小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法的階段特征
小學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容，不但方法種類多，而且某些思想方法出現(xiàn)的頻數(shù)也很大。鑒于小學(xué)生認(rèn)知能力和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，且小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，需要我們將部分出現(xiàn)頻數(shù)較高的數(shù)學(xué)思想方法落實(shí)到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而且對部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法要求不宜過高。首先我們來看看數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)不同階段的特點(diǎn)：
（1）側(cè)重階段不同
每種數(shù)學(xué)思想都有自身的特點(diǎn)，有的數(shù)學(xué)思想的滲透時(shí)，往往比較形象、具體，相對來說適合低段教學(xué)時(shí)滲透（案例一）；有的數(shù)學(xué)思想知識起點(diǎn)相對比較高，相對來說適合中高年級教學(xué)時(shí)滲透（案例二）；當(dāng)然這只是相對來說，每種數(shù)學(xué)思想往往貫穿整個(gè)小學(xué)階段的教學(xué)，只是側(cè)重點(diǎn)有所不同，而且數(shù)學(xué)思想的滲透不是小學(xué)階段6年時(shí)間就可以讓學(xué)生們掌握的很嫻熟，應(yīng)該是一個(gè)長期的教學(xué)任務(wù)。只有在課堂教學(xué)中合理地、有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，才能達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的效果。
[案例一]分類思想的滲透
對于兒童而言，對“類”和“分類”的認(rèn)識不是靠定義、靠說理，而應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)。分類，在課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書一年級上冊5單元獨(dú)立成“章”。
教學(xué)時(shí)可以通過聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生熟悉的“房間的場景”人手，通過學(xué)生的觀察，說出自己的感受，從而產(chǎn)生整理房間的需要。在整理的過程中，對房間內(nèi)穿的、用的、玩的有了相應(yīng)的認(rèn)識。這里的“穿的”、“玩的”、“用的”就是“類”的一種表述。學(xué)生在這樣的活動(dòng)中，其思維過程首先是觀察，其次是比較。經(jīng)過比較之后，進(jìn)行排列。排列的過程就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，對事物進(jìn)行有序劃分和組織的過程。這樣—種劃分和組織的結(jié)果就形成了分類。
分類的關(guān)鍵在于正確地選擇分類標(biāo)準(zhǔn)?！獋€(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)Ψ诸惖膶ο筮M(jìn)行不重復(fù)、無遺漏的劃分，這也是分類的重要原則。例如，人教版課標(biāo)教構(gòu)一年級上冊第39頁的“做一做”。（右上圖）
就是讓學(xué)生選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)對卡片進(jìn)行分類后，再進(jìn)行交流。讓學(xué)生體會到同一標(biāo)準(zhǔn)下，分類結(jié)果的一致性，不同標(biāo)準(zhǔn)下，分類結(jié)果的多樣性。低段學(xué)生往往在活動(dòng)或具體情境下感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，這樣帶來的效果更加明顯。
[案例二]極限思想的滲透
極限是指用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。這對于小學(xué)生來說，是比較難以理解的，所以一般在中高段才會對此數(shù)學(xué)思想方法有所滲透。
人教版五年級上冊在循環(huán)小數(shù)的教學(xué)中，許多人認(rèn)為0.99……這個(gè)數(shù)無論小數(shù)點(diǎn)后面9的個(gè)數(shù)怎樣增多，它始終只能越來越接近1，而不等于1。筆者在教學(xué)過程中從兩方面來說明0.99……等于1。首先學(xué)生很容易理解1÷3=0.33……，2÷3=0.66……，因?yàn)?=1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比較大小，讓學(xué)生找大于0.99……而小于1的數(shù)，學(xué)生找不到這樣的數(shù)，從而告訴學(xué)生0.99……=1。
這樣的教學(xué)可以使學(xué)生在頭腦中初步萌生出“無限”的概念。如此教學(xué)不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且對于發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力是十分有益的，更重要的是滲透給學(xué)生極限的思想方法。
（2）不同年級滲透程度不同
數(shù)學(xué)思想的滲透往往貫穿整個(gè)小學(xué)階段的教學(xué)過程，但是同一數(shù)學(xué)思想在不同階段的滲透程度是不同的（見附件9），往往在低段啟蒙階段，以間接地隱性滲透，在學(xué)生不知不覺中，感悟了這種數(shù)學(xué)思想方法，并且會簡單利用它解決數(shù)學(xué)問題，而在中高段則可能直接開門見山地介紹這種數(shù)學(xué)思想方法，并明確這樣的方法就是某某數(shù)學(xué)思想方法。在教學(xué)中就直接告知學(xué)生，使學(xué)生進(jìn)一步理解自己所使用的方法，更深層次上去認(rèn)知數(shù)學(xué)思想方法，能把它簡單用于解決實(shí)際問題。
2. 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的滲透點(diǎn)
受年齡特征的制約小學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法有深刻的理解是比較難的，但這并不等于我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，相反我們應(yīng)該抓住一切可以利用的契機(jī)加以滲透，為他們將來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想理論，提高抽象思維，奠定基礎(chǔ)。課題組認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以在以下幾方面加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法加以滲透（滲透點(diǎn)）。
（1）在教學(xué)概念時(shí)滲透
[案例三] 類比
對不同的數(shù)學(xué)概念運(yùn)用類比進(jìn)行比較分析，通過異同的比較能使學(xué)生加深對概念內(nèi)涵的理解。
如對于反比例的教學(xué)，教師可以通過熟知的正比例類比到反比例。例如y／x =2 與xy=2兩者的區(qū)別在哪？前者可以用通式y(tǒng)／x= k（k為常數(shù)，k≠0）來表示，后者呢？學(xué)生很容易抽象出反比例的通式xy=k(k為常數(shù),k≠0)這樣的類比，效果還是不錯(cuò)的。又如，學(xué)生剛開始接觸比的基本性質(zhì)時(shí)，感覺困難，但學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是相當(dāng)熟悉的。根據(jù)這點(diǎn)利用類比遷移來講：對照分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，看比又有什么樣的基本性質(zhì)呢？復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)比的基本性質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生很自然的說出比的基本性質(zhì)，既“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘以或者都除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。”學(xué)生通過這樣的類比不但加深了對概念的理解，同時(shí)也有效的提高了解題能力。
（2）在教學(xué)圖形時(shí)滲透
[案例四] 極限
人教版四年級上冊《直線、射線和角》的教學(xué)，有多個(gè)滲透極限思想的點(diǎn)，一是直線的兩端、射線的一端（沒有端點(diǎn)）可以無限延伸，教學(xué)時(shí)，可以借助學(xué)生的想象，先讓學(xué)生畫一條直線，然后延長，再延長一直到不能畫為止，這時(shí)可提問，還可以延伸嗎，直至想象這條直線穿出教室 學(xué)校 我們所在的城市 地球的大氣層 太陽系……，師讓學(xué)生閉上眼睛，自己邊說直線的路徑，邊讓學(xué)生體會直線兩端的無限延伸，從中體會其中的“極限”思想；而是經(jīng)過一點(diǎn)可以畫（ ）條直線，這里我們可以借助現(xiàn)代化工具制作多媒體課件，在讓學(xué)生試畫之后，出示課件，經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的直線，1條，3條，10條，50條，上百條……直至變成近似于以這個(gè)點(diǎn)為中心的圓，而這個(gè)圓即是答案，個(gè)數(shù)是無限的，圓則是最終極限的結(jié)果。
通過有限想象無限，根據(jù)課件出示的數(shù)量變化趨勢，想象它們的最終結(jié)果。既讓學(xué)生掌握了直線的性質(zhì)，又理解了無限逼近的極限思想。
（3）在解決問題時(shí)滲透
[案例五] 集合
一些小學(xué)數(shù)學(xué)競賽題和思考題，數(shù)量關(guān)系比較隱蔽且復(fù)雜，若以集合思想輔以圖形分析題意，則可以使數(shù)量關(guān)系明朗化，進(jìn)而找出解題方法。
例如：某班有學(xué)生45人，參加演講比賽的有16人，參加書法比賽的有14人，如果這兩種比賽都沒有參加的有20人，那么同時(shí)參加演講、書法這兩種比賽的有多少人?
分析：由題意作圖如下：
由圖可知，參加比賽的人數(shù)為：45—20=25(人) ，而參加演講比賽的人數(shù)+參加書法比賽的人數(shù)：16+14=30(人) 。30人比25人多，這是因?yàn)橛幸徊糠秩思葏⒓恿搜葜v比賽，又參加了書法比賽，這部分人重復(fù)計(jì)數(shù)了。故同時(shí)參加演講、書法兩種比賽的人數(shù)(圖中陰影部分)為：30—25=5(人)。
（4）在教學(xué)練習(xí)時(shí)滲透
[案例六] 極限 數(shù)形結(jié)合
在教學(xué)了分?jǐn)?shù)的簡單加減法之后，借助數(shù)形結(jié)合可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)練習(xí)：一個(gè)大正方形，它的面積是1，每次將它剩余部分平均分，每次得到剩余部分的二分之一，于是得到算式：，一般同學(xué)們先會使用通分來計(jì)算，但是如果不停地分下去……，會得到算式：
，這時(shí)我們借助用數(shù)形結(jié)合的思想方法，畫出上圖，從圖中直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加，空白部分的面積逐漸擴(kuò)大，并且越來越接近正方形的面積即不斷地逼近1，當(dāng)有無限的項(xiàng)相加時(shí)其結(jié)果為1。
解決這題運(yùn)用了極限和數(shù)形結(jié)合兩種不同的思想方法，所以我們的練習(xí)設(shè)計(jì)不能僅僅著眼于一個(gè)問題的解決，而是關(guān)注學(xué)生在解決這個(gè)問題中領(lǐng)悟到其中的數(shù)學(xué)知識及思想方法，更關(guān)注在解決問題中充分鍛煉自己的思維能力。
（5）思想方法的滲透多樣化
[案例七] {探索土豆的體積}片段
教師出示一個(gè)土豆，請學(xué)生討論如何求它的體積。
生1：把土豆放入水中，水面升高的部分就是土豆的體積。
生2：把土豆蒸熟并搗成土豆泥，把它塑造成規(guī)則的圖形就能求出它的體積。
生3：這個(gè)土豆像圓柱，把它看成近似的圓柱，只要量出它的半徑和高就能求出體積。
師：既簡便又快捷。估算在生活中有著廣泛的應(yīng)用。
生4：先把土豆削成一個(gè)規(guī)則的圖形，剩下的部分一直往下分，可以切成長方體的小塊或正方體的小塊。
生5：可以把土豆切成小塊，拼成長方體或正方體，分得越多，越接近規(guī)則的圖形。
師：這種化整為零的思想用得好!
生6：可以把土豆的質(zhì)量稱出來，再量1立方厘米的小塊的質(zhì)量……
這個(gè)片段感觸最深的是數(shù)學(xué)思想方法的滲透。學(xué)生能夠把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，把不規(guī)則的轉(zhuǎn)化為規(guī)則的，更為可貴的是每種方法都有其思維價(jià)值。生1是“曹沖稱象”的再現(xiàn)，運(yùn)用的是等量代換的思想；生2將土豆變形，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，“變中抓不變”；生3的估算意識對解決實(shí)際問題至關(guān)重要；生4和生5運(yùn)用了極限的思想解決問題；生6采用由部分推知整體的策略，而且把質(zhì)量、體積、正比例的知識綜合在一起，靈活解決問題。學(xué)生解決問題的方法多樣，體現(xiàn)了策略的多樣化。
(二) 學(xué)生和教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升成果
1.探索“數(shù)學(xué)思想方法”滲透教學(xué)的一般模式。
一般來說，數(shù)學(xué)思想由于有很多種類，所以沒有固定的模式可言，但是相對于我們平時(shí)無“數(shù)學(xué)思想方法”滲透的教學(xué)，還是有一定的模式可循。數(shù)學(xué)表層知識與深層知識具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們在教學(xué)中的辯證統(tǒng)一性．基于上述認(rèn)識，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式： 發(fā)掘——操作——掌握——領(lǐng)悟
（1）深入研究教材，發(fā)掘數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)思想方法是隱性的更本質(zhì)的知識內(nèi)容。因此教師必須深入鉆研教材，充分挖掘有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法。例如，在教學(xué)中，分?jǐn)?shù)乘法法則的講述，在一些舊教材中注重由一般到特殊化的演繹推理，而新編的教材中充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和歸納推理的方法，后者降低了難度而又不失科學(xué)性，教師可給學(xué)生介紹這兩種基本而又常用的數(shù)學(xué)思想方法。
所以要把數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)納入教學(xué)目標(biāo)，并在教案中設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程，同時(shí)精心設(shè)計(jì)一些與此思想方法相關(guān)的思考問題，潛移默化地加以孕育，做好鋪墊工作。這就要求我們教師要深入研究教材，善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)思想方法，教師自己要及時(shí)更新觀念，不斷提高對數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)重要性的認(rèn)識。
（2）仔細(xì)設(shè)計(jì)預(yù)案，落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法
認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)后，認(rèn)真設(shè)計(jì)預(yù)案，看看哪個(gè)環(huán)節(jié)可以滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)實(shí)施了該數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)之后，應(yīng)要求學(xué)生按照一定地程序和步驟進(jìn)行練習(xí)，并通過一定數(shù)量的問題訓(xùn)練，使學(xué)生初步鞏固剛剛形成的數(shù)學(xué)思想方法。一般來說，數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練不要急于求成。
（3）靈活教學(xué)新知，掌握數(shù)學(xué)思想方法
在學(xué)生知識形成的過程中，有計(jì)劃地介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法。例如，在學(xué)生知識形成階段，可運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法、函數(shù)思想方法、方程思想方法等，在知識總結(jié)階段，可采用公理化、結(jié)構(gòu)化等思想方法。
（4）反思教學(xué)過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法
在教學(xué)結(jié)束后，及時(shí)反思自己的教學(xué)過程，分析其中的得與失，總結(jié)滲透時(shí)的好的優(yōu)點(diǎn)，及時(shí)記錄下來，為以后的教學(xué)提供很好的范例。
2.教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)理念得到提升。
經(jīng)過這兩年課題的實(shí)施與研究，我們的數(shù)學(xué)教師充分認(rèn)識到“數(shù)學(xué)思想方法”滲透的重要性，改變了以往只注重“計(jì)算”為主，只重視算法多樣化，忽視算法多樣化背后的不確定性的教學(xué)，開始自覺地嘗試數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，提升了自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能培養(yǎng)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，在教學(xué)中更注重對教學(xué)過程的把握，同時(shí)經(jīng)常寫反思，提高自己的科研能力，促使自己業(yè)務(wù)水平不斷提高。
3.課堂教學(xué)有效性的提升
（1）注重教學(xué)目標(biāo)的整合
教學(xué)中把知識和思想方法目標(biāo)、能力目標(biāo)與情感目標(biāo)進(jìn)行平衡與和諧的整合，是學(xué)生在獲得知識的過程中掌握數(shù)學(xué)思想方法并學(xué)會學(xué)習(xí)，從而有效地促進(jìn)自身的發(fā)展，并在發(fā)展過程中深化知識的理解、活化思想方法的應(yīng)用。
如“梯形的面積”一課，我們是這么設(shè)置目標(biāo)的：知識目標(biāo)是通過為題情境要求學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)、探索梯形的面積，歸納出梯形面積公式；思想方法目標(biāo)是通過展示數(shù)學(xué)化思考的過程，提煉出化歸方法。能力與情感目標(biāo)是能初步應(yīng)用化歸方法解決問題，并使學(xué)生認(rèn)識化歸方法在解決問題中的重要作業(yè)；開展數(shù)學(xué)化交流，促進(jìn)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神。這些目標(biāo)相互作用、相互促進(jìn)共同達(dá)成教學(xué)的總目標(biāo)。
（2）重視學(xué)法指導(dǎo)
在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程中，教師經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生、引導(dǎo)學(xué)生如何將未知的知識轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)能解決問題，或是靠自學(xué)、小組合作等形式學(xué)習(xí)新知，掌握學(xué)習(xí)新知的方法，并能以此來影響其他同學(xué)，教師則引領(lǐng)學(xué)生開展合作學(xué)習(xí)取長補(bǔ)短，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神。
4.提升了學(xué)生思維能力
我們進(jìn)行了關(guān)于滲透數(shù)學(xué)思想方法對解決問題能力的實(shí)證研究。為了便于分析、統(tǒng)計(jì)，在研究中，我們分別對實(shí)驗(yàn)班和對照班的370名學(xué)生進(jìn)行教學(xué)測試：
|
| 小組合作
| 學(xué)生學(xué)法
| 新知總結(jié)
| 自我反思
|
| 實(shí)驗(yàn)班
| 小組成員之間團(tuán)隊(duì)精神強(qiáng)，大部分小組能相互商量、交流
| 學(xué)生的思維較活躍、開放，能主動(dòng)用不同的方法解題，思維有“亮點(diǎn)”
| 大部分學(xué)生能理智、主動(dòng)認(rèn)可別人的正確想法，并相互補(bǔ)充，完善，找到正確的解題方法
| 大多數(shù)學(xué)生能掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，并對自身學(xué)習(xí)作出一定的反思評價(jià)
|
| 普通班
| 小組合作比較被動(dòng)，各顧各的較多
| 學(xué)生思維較“固定”，一般沒有自身的學(xué)法
| 優(yōu)秀生發(fā)言“較多”，大多學(xué)生只是旁聽，未能參與整個(gè)教學(xué)過程
| 學(xué)生能完成課堂練習(xí)，但學(xué)習(xí)積極性不高、興趣不大
|
由上表得知，數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系非常密切，而通過教學(xué)中滲透思想方法，引導(dǎo)、影響學(xué)生去感悟、去運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法，這對學(xué)生本身是一種學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練、指導(dǎo)，這也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)中學(xué)知識奠定一定的基礎(chǔ)。
（三）基本結(jié)論
1.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的行之有效
綜上所述，數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值取向不僅僅局限于讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)知識和技能，更重要的是在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，獲得數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷解決問題的過程，在知識獲得的過程中促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，又使學(xué)生獲得了學(xué)習(xí)興趣和體驗(yàn)成功的快樂感受，兩年多的課題實(shí)踐證明，在小學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是行之有效的。
2.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的推廣意義
鑒于數(shù)學(xué)思想方法對于學(xué)生的影響，對于教學(xué)的改善，而且目前在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)尚處于起步階段，其教學(xué)的隨意性很強(qiáng)，因此本課題的研究成果巨頭重要的推廣價(jià)值，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有必要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，當(dāng)然推廣之前，我們有必要做好幾個(gè)工作：一要努力轉(zhuǎn)變教師的觀念；二要把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)列為教學(xué)的目標(biāo)之一；三要努力提高教師自身的業(yè)務(wù)水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；四要大力開展數(shù)學(xué)思想方的課題教學(xué)實(shí)踐，探索滲透數(shù)學(xué)思想方法的基本規(guī)律。
五、問題討論和后續(xù)研究
（一）防止產(chǎn)生負(fù)面影響
滲透數(shù)學(xué)思想方法時(shí)如何要防止產(chǎn)生負(fù)面影響。如在滲透化歸思想方法時(shí)，如果我們在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)一味地尋找舊的模式和解題經(jīng)驗(yàn)，容易阻礙新方法和工具的產(chǎn)生，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識產(chǎn)生消極影響。也就是說，好的教育能夠充分施展培育創(chuàng)新的力量，提升受教育者的創(chuàng)新素養(yǎng)，而不當(dāng)?shù)慕逃赡軜?gòu)成對創(chuàng)新的打擊與窒息。這就需要我們在利用“數(shù)學(xué)思想方法”時(shí)注意它的“雙重身份”，切忌面對新的數(shù)學(xué)問題生搬硬套原來的解題模式、方法，要靈活地運(yùn)用這種思想方法。我們應(yīng)該抑制它的保守性，克服它的負(fù)面效應(yīng)，而發(fā)揚(yáng)它的創(chuàng)新精神，展示它的優(yōu)勢。
（二）滲透到何種程度？
小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想方法的滲透，那么到底該滲透到哪種程度呢？滲透到何種程度才對于學(xué)生是容易接受的，又可以為他后續(xù)的學(xué)習(xí)積累一定的思想基礎(chǔ)，這將有待于我們不斷的深入探討。
通過本課題的實(shí)施，各參與課題研究的教師普遍收益很大，特別是一些年輕教師，在課堂上對數(shù)學(xué)知識如何滲透數(shù)學(xué)思想方法有了進(jìn)一步的認(rèn)識，養(yǎng)成了寫教學(xué)反思的好習(xí)慣，每一位成員均能結(jié)合教學(xué)實(shí)際和課題研究的目標(biāo)及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、研究問題，在一年多的研究中已有多篇與課題研究相關(guān)的論文在區(qū)級及以上獲獎(jiǎng)（獲獎(jiǎng)資料見附件），教育教學(xué)水平也有了進(jìn)一步提高，課堂有效性得到進(jìn)一步加強(qiáng)。
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小學(xué)階段各年級數(shù)學(xué)思想方法滲透的實(shí)踐與研究
附件目錄
目錄
附件1：小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想方法的靈活妙用………………………………………1
（市第五屆學(xué)科統(tǒng)一論文評比獲一等獎(jiǎng)、區(qū)第五屆(各學(xué)科統(tǒng)一)教學(xué)論文評比獲一等獎(jiǎng)）
附件2：“極限”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透……………………………………… 5
（市第六屆學(xué)科統(tǒng)一論文評比獲一等獎(jiǎng)、區(qū)第六屆(各學(xué)科統(tǒng)一)教學(xué)論文評比獲二等獎(jiǎng)）
附件3：數(shù)學(xué)思想之“集合思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透………………………………9
附件4：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“符號化思想”的有效滲透………………………………………12
附件5：“對應(yīng)”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透…………………………………………… 14
附件6：“建?！彼枷雰?nèi)涵及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透………………………………… 18
附件7：“類比”思想內(nèi)涵及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透………………………………… 21
附件8：滲透歸納思想，提高學(xué)生的思維能力………………………………………………24
附件9：“化歸”思想及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透……………………………………… 26
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