大千世界既可由音樂譜寫而成，亦可由數(shù)學(xué)符號(hào)表示而成。五線譜演奏著現(xiàn)實(shí)世界的萬般情感，而數(shù)學(xué)公式則表述著客觀世界的演化本質(zhì)。用字母來表示數(shù)，這是從算術(shù)到代數(shù)的飛躍，無論是從公式結(jié)構(gòu)還是數(shù)學(xué)形式上都變得式簡意明、魅力無窮。三角形、平行四邊形和梯形等面積公式，形式簡潔規(guī)整；乘法交換律、結(jié)合律以高度抽象與和諧邏輯結(jié)構(gòu)令人嘆為觀止；勾股定理、二項(xiàng)展開式、平方差公式和微積分公式等言簡意賅、精確無比，足以喚起人類的理性美感。
1. 代數(shù)學(xué)鼻祖——丟番圖
代數(shù)和算術(shù)的最大區(qū)別就是引入了未知數(shù)，并對(duì)其加以運(yùn)算。雖然在算術(shù)中也有未知數(shù)，但一切運(yùn)算只允許對(duì)已知數(shù)施行。而在代數(shù)中既然要對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，就需要用某種符號(hào)來表示它。就創(chuàng)設(shè)未知數(shù)符號(hào)、建立代數(shù)方程等來看，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus,約246—330)的《算術(shù)》應(yīng)是最早代數(shù)著作。
丟番圖試圖把代數(shù)從幾何學(xué)羈絆中解放出來，并創(chuàng)設(shè)了一套數(shù)學(xué)符號(hào)。一個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子，若用文字?jǐn)⑹鰰?huì)冗長而含混。故數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明不僅是代數(shù)學(xué)的特征之一，也是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍。
丟番圖借助簡單詞和某些符號(hào)來表達(dá)數(shù)學(xué)式子。如用表示數(shù)的單位，其取自的字頭。以分別表示數(shù)字1,2,3,4,5。他使用來表示未知數(shù)，相當(dāng)于現(xiàn)在的。而對(duì)于的各次冪，給出專門符號(hào)和名稱：（平方），（立方），（平方的平方），（平方的立方），（立方的立方）。
丟番圖還用倒寫的表示減號(hào)，用表示等號(hào)，此為（相等）的縮寫，但其未能創(chuàng)設(shè)出加號(hào)、乘號(hào)和除號(hào)。
丟番圖曾給出求解一次代數(shù)方程的方法：若方程兩邊未知數(shù)的冪相同，但系數(shù)不同，可由等量減去等量，直到含未知數(shù)的一項(xiàng)等于某個(gè)數(shù)為止。若在方程的一邊或兩邊有減項(xiàng)，則應(yīng)向兩邊加上這個(gè)項(xiàng)，使兩邊只有加項(xiàng)。然后需再一次等量減等量，直到得出未知數(shù)等于某個(gè)數(shù)為止。因此丟番圖應(yīng)用了“合并同類項(xiàng)”，“移項(xiàng)”等運(yùn)算過程。
2. 代數(shù)學(xué)創(chuàng)立——花拉子米
一般認(rèn)為，現(xiàn)在的“代數(shù)學(xué)”術(shù)語源于阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,783-850)的著作al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala，該書名直譯則為《還原與對(duì)消計(jì)算概要》(后被譯為《代數(shù)學(xué)》)，問世大約于820年。該書可分為三個(gè)部分：一次和二次代數(shù)方程求解，實(shí)用測(cè)量術(shù)和遺產(chǎn)計(jì)算問題。其中第一部分主要給出了一元二次代數(shù)方程的一般解法，并有相應(yīng)的幾何證明，以保證其解法的正確性。該部分在12世紀(jì)被單獨(dú)譯成拉丁文，成為歐洲大學(xué)的教科書，一直延用到17世紀(jì)。al-jabr也逐步演化為algebra，并成為書名。而algebra作為學(xué)科名稱則始于14世紀(jì)的歐洲。
在《還原與對(duì)消計(jì)算概要》中，al-jabr(還原)為：方程式一邊的被減量“轉(zhuǎn)移”到另一邊，把它變成一個(gè)加量，即移項(xiàng)；wa’l -muqabala(化簡或?qū)ο?/span>)為：把一個(gè)正項(xiàng)通過同時(shí)在方程式兩邊減去相等量進(jìn)行簡約，即合并同類項(xiàng)。故花拉子米關(guān)于方程的討論已超越傳統(tǒng)算術(shù)方式，具有明顯的代數(shù)特征。但其在應(yīng)用代數(shù)符號(hào)方面，與丟番圖相比稍有遜色。
1853年，英國人偉烈亞力(Alexander Wylie，1815─1887)在上海用中文撰寫而成《數(shù)學(xué)啟蒙》，以介紹當(dāng)時(shí)的西方數(shù)學(xué)。在序言寫道：“有代數(shù)、微分諸書在，余將續(xù)梓之。”這是漢語中第一次使用“代數(shù)”術(shù)語。1859年，李善蘭(1811—1882)和偉烈亞力合譯《代微積拾級(jí)》，在序中正式使用了“代數(shù)”術(shù)語：“中法之四元，即西法之代數(shù)也。”同年倆人又合譯英國數(shù)學(xué)家德摩根著作Elements of Algebra，并正式定名為《代數(shù)學(xué)》，這是我國第一部署名“代數(shù)學(xué)”的著述。
現(xiàn)今不少數(shù)學(xué)術(shù)語都源于李善蘭的翻譯，如常數(shù)、變數(shù)、已知數(shù)、函數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、橫軸、縱軸、切線、法線、曲線、漸近線、相似等。他把“function”譯為“函數(shù)”，所給解釋為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即“函”為包含之意。李善蘭的翻譯可謂匠心獨(dú)運(yùn)，切貼恰當(dāng)，不僅在中國流傳，而且傳到日本、韓國等，沿用至今。
3. 符號(hào)系統(tǒng)化——韋達(dá)
法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)( F.Vieta, 1540-1603)于1591年出版的《分析引論》可謂代數(shù)學(xué)發(fā)展的又一個(gè)里程碑。該書第一次系統(tǒng)使用了代數(shù)字母與數(shù)學(xué)符號(hào)，以輔音字母B,C,D表示已知量，以元音字母A(后用N)表示未知量。韋達(dá)認(rèn)為，代數(shù)是施行于“事物類”或形式的運(yùn)算方法，算術(shù)只是同“數(shù)字”打交道，僅僅施行于具體數(shù)。故而他把符號(hào)代數(shù)稱之“類的算術(shù)”，同時(shí)規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界。
雖然韋達(dá)選用的數(shù)學(xué)符號(hào)尚不夠優(yōu)良，且沒有相等、相乘等符號(hào)，但其開創(chuàng)之功難以估量(現(xiàn)在用a,b,c表示已知量，x,y,z表示未知量由笛卡兒提出)。當(dāng)代數(shù)學(xué)發(fā)展成為“關(guān)于字母計(jì)算、公式變換及解代數(shù)方程的科學(xué)”時(shí)，則已成為研究“一般類型形式和方程”的學(xué)問，因其抽象概括而變得應(yīng)用廣泛。這就標(biāo)志著古典代數(shù)學(xué)的確立與完善，為代數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了道路。
只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美。數(shù)學(xué)的美感在于其簡單、和諧、絲絲入扣。數(shù)學(xué)簡潔之美的表現(xiàn)形式之一就是把現(xiàn)實(shí)世界的事物以簡馭繁、抽象為邏輯符號(hào)形式。因此，代數(shù)符號(hào)成為數(shù)學(xué)的基本工具，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象與簡潔之美，而且有助于高效把握住數(shù)學(xué)思想。
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