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古時，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了研究天文，土地糧食作物的合理分配，稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)的計算．?dāng)?shù)學(xué)也就是為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天文事件而形成的．這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究．
西歐從古希臘到16世紀(jì)經(jīng)過文藝復(fù)興時代，初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備．但尚未出現(xiàn)極限的概念．
17世紀(jì)在歐洲變量概念的產(chǎn)生，使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換．在經(jīng)典力學(xué)的建立過程中，結(jié)合了幾何精密思想的微積分的方法被發(fā)明．隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等領(lǐng)域也開始慢慢發(fā)展．
在人類歷史的長河中，首先認(rèn)識的是具體的數(shù)量（簡稱量），如兩只手，三頭牛等，經(jīng)過漫長的發(fā)展階段，才離開了具體的量，第一次抽象出一般的數(shù)，如1,2,3,1/3,1/5等，因此，量是具體的，數(shù)是抽象的，所以人類從量到數(shù)的認(rèn)識，第一次飛躍產(chǎn)生了算術(shù)。
算術(shù)的原義是數(shù)和數(shù)數(shù)的技術(shù)和學(xué)問，算術(shù)是研究數(shù)及數(shù)集上的去處的數(shù)學(xué)分支，主要內(nèi)容有：
數(shù)的概念；
計算方法；
計算工具；
各種數(shù)的運算
數(shù)集和公理結(jié)構(gòu)；
數(shù)的性質(zhì)；
有關(guān)簡單應(yīng)用題的解答；
人類認(rèn)識數(shù)的順序：自然數(shù)（自然界存在的數(shù)）→分?jǐn)?shù)（小數(shù)）→零→負(fù)數(shù)→無理數(shù)→虛數(shù)；（實數(shù)：實實在在存在的數(shù)）。
由于人們生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)以及數(shù)學(xué)本身的需要，第一次抽象出來的數(shù)還不夠，如需表示數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律，用數(shù)就難于表達(dá)，這就必然引起數(shù)學(xué)史上的第二次抽象，即用字母表示已知數(shù)或未知數(shù)，字母的引入就產(chǎn)生了代數(shù)。
有了字母表示數(shù)，代數(shù)學(xué)中的代數(shù)式、方程就出現(xiàn)了；
有了字母表示數(shù)，數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)、定律、法則、運算律等都能用公式簡潔地表示出來了。
有了字母表示數(shù)，使人類擺脫了使用具體數(shù)字研究問題的局限，提供了提示數(shù)量關(guān)系一般性的可能，有助于人類探索事物的內(nèi)在聯(lián)系。
代數(shù)不僅用數(shù)也用字母進(jìn)行計算，推進(jìn)了代數(shù)問題的一般性討論，從而更帶有普遍數(shù)、形式更回抽象，應(yīng)用更加廣泛；代數(shù)學(xué)的特點是引進(jìn)了未知數(shù)（用字母符號表示數(shù)），并對未知數(shù)加以運算，根據(jù)問題的條件列出方程，然后解方程求出未知數(shù)的值。算術(shù)也有未知數(shù)，其未知數(shù)就是問題的答案，一切運算只允許對已知數(shù)進(jìn)行。
初等代數(shù)，又叫古典代數(shù)，它是以字母代表數(shù)，并以數(shù)的運算規(guī)律為依據(jù)進(jìn)行，數(shù)、字母，及字母間表達(dá)式的運算，初等代數(shù)主要研究常量，研究一元高次方程的解法問題。
| 算術(shù) | 代數(shù) |
| 數(shù)的算術(shù) | 類的算術(shù) |
| 數(shù)值的演算 | 函數(shù)的演算 |
| 離散固定的數(shù) | 方程固定的解 |
高等代數(shù)研究變量，以行列式、矩陣為工具，研究一次多元議程所組成的議程組的解法問題，以及多項式。
初等代數(shù)與高等代數(shù)也有區(qū)別，前者主要研究字母運算規(guī)律及其代數(shù)方程；后者主要研究多項式和代數(shù)方程根的性質(zhì)等。
代數(shù)algebra的發(fā)展：文字代數(shù)→簡單代數(shù)→符號代數(shù)→高等代數(shù)。
I 文字代數(shù)，即完全用文字而不有符號敘述。如我國的古算就是用語言文字?jǐn)⑹雠c解答問題的，使用起來很不方便；
II 簡字代數(shù)（亦稱半符號代數(shù)），用縮寫文字。
III 符號代數(shù)，16世紀(jì)，符號代數(shù)最終由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)完成，再歷經(jīng)幾百年，由法國數(shù)學(xué)家笛卡兒等完成了與現(xiàn)代寫法一致的符號代數(shù)。
VI 高等代數(shù)：行列式、矩陣、多項式；
方程是實行代數(shù)中的一個中心問題，含有未知數(shù)的等式叫方程。
在初等或高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)是一個至關(guān)重要的概念。隨著常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時期，函數(shù)的概念產(chǎn)生了。變量的函數(shù)是由這些變量與常量所組成的解析表達(dá)式。
函數(shù)關(guān)系的建立：表→圖→解析式；
| 變化的過程是離散的 | 數(shù)列 |
| 變化的過程是連續(xù)的 | 函數(shù)（氣溫） |
| 變量關(guān)系是相關(guān)的 | 回歸關(guān)系 |
| 變量關(guān)系是確定的 | 函數(shù)關(guān)系 |
三角函數(shù)：是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系，起源于天文、測量、航海等實際需要。
幾何geometry是研究物體形狀、大小及位置關(guān)系的一個數(shù)學(xué)分支?！皫缀巍币辉~是希臘文中“土地”和“測量”二字合成的詞，意即土地測量。因此幾何學(xué)直接源于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要。
－2－ 數(shù)論
親和數(shù)：公元6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了220的所有真因數(shù)（包括1）1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110的和是284,而284的所有真因數(shù)1,2,4,71,142的和是220,像220和284這樣的一對自然數(shù)稱為親和數(shù)。
1636年，法國人費馬發(fā)現(xiàn)了第2對：17295和18146；
1638年，笛卡爾：9437056和0363584；
1747年，歐拉一口氣找到了20對，后來又?jǐn)U展到60對；
有了計算機后，目前已找到1000對以上；
完數(shù)：等于它的約數(shù)之和（不包括自身），如6,28,496.
28（1+2++4+7++14）
質(zhì)數(shù)：只有1和它自身兩個約數(shù)的整數(shù)稱為質(zhì)數(shù)；古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得把自然數(shù)分成1,質(zhì)數(shù)和合數(shù)，并證明質(zhì)數(shù)有無數(shù)多個。同時也證明了“任何一個大于1的自然數(shù)要么本身就是質(zhì)數(shù)，要么能分解成幾個質(zhì)數(shù)的連乘積（合數(shù)）”。所以說，質(zhì)數(shù)是構(gòu)成自然數(shù)的“單位”。
約數(shù)：是可以將另一個整數(shù)整除的數(shù)；
超越數(shù)：如果一個數(shù)不可能是代數(shù)方程的解，則該數(shù)是一個超越數(shù)。
－3－ 相關(guān)概念
自然數(shù)：全體正整數(shù)組成的集合，N={1,2,3,…,n, …}
整數(shù)：
Z={0, ±1, ±2, ±3, …, ±n, …}
有理數(shù)：
虛數(shù)：
涉及到
代數(shù)：用字母代替數(shù)字，從而將算術(shù)擴展；
無窮小量
若變量的u的極限為0,則稱u為無窮小量。如
分布：在某個試驗或場景中事件發(fā)生概率的范圍，如泊松分布，給出了小概率事件發(fā)生r次的概率。
－4－ 最重要的數(shù)學(xué)方法
笛卡爾的解析幾何；
牛頓和萊布尼茨的微積分；
對數(shù)；
4.1 解析幾何又叫坐標(biāo)幾何，它是通過建立坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法研究幾何；圖形性質(zhì)的幾何學(xué)，是17世紀(jì)法國的笛卡爾(Descartes,1596-1650)(圖形→方程)和費馬(方程→圖形)建立的。
笛卡爾解析幾何的中心思想：首先建立一種普遍的數(shù)學(xué)，使算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來，指出平面上建立一種坐標(biāo)系之后，幾何點和實數(shù)對(x,y)之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，從而可以用實數(shù)對(x,y)來描寫每個幾何點。
笛卡爾把曲線看成動點的軌跡，從而動點坐標(biāo)(x,y)就成了變量，且它們之間存在一定關(guān)系，這個關(guān)系就是以x、y為變量的代數(shù)方程的每一組解(x,y)都對應(yīng)于一點。不同的解對應(yīng)于不同的點，這些點的全體就構(gòu)成了一條曲線，從而形成了笛卡爾關(guān)于幾何問題與代數(shù)問題可以互相表達(dá)的，亦會稱函數(shù)與曲線的互相對應(yīng)思想。因此，研究幾何問題，可以歸結(jié)為相應(yīng)的代數(shù)問題，笛卡爾把以住對立著的兩個研究對象“數(shù)”和“形”起來了，并在數(shù)學(xué)中引入了變量的思想，從而開拓了變量數(shù)學(xué)領(lǐng)域，即代數(shù)與幾何相互取長補短。
4.2 對數(shù)是天文學(xué)與三角學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物，英國數(shù)學(xué)家納皮爾（1550-1617）為了減輕人們繁重單調(diào)的計算，創(chuàng)造了對數(shù)這一術(shù)語。
利用對數(shù)可以將乘法化簡為加法，除法為減法，這樣就產(chǎn)生了對數(shù)表，選擇什么樣的”a”可以使對數(shù)表最簡單，是a=10，還是a=1.00001?最后發(fā)現(xiàn)a=e=2.71828…所編制的自然對數(shù)表是最簡單的。
4.3 微積分的出現(xiàn)（古典算術(shù)、幾何、代數(shù)方法，甚至解析幾何，對自然界的運動和變化都無能為力，變量和函數(shù)的引入，自然科學(xué)開始轉(zhuǎn)向研究自然界的運動和變化，以窮竭法（無限逼近的極限方法）先分割后求和求曲邊形的面積，先有了積分，然后有了微分。
－5－數(shù)學(xué)之美
最受數(shù)學(xué)家喜愛的無字證明
1989年的《美國數(shù)學(xué)月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數(shù)學(xué)問題：
下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現(xiàn)在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當(dāng)你擺滿整個棋盤后，你所使用的每種菱形數(shù)量一定相同。
《美國數(shù)學(xué)月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形涂上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在墻角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側(cè)、右側(cè)、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數(shù)目顯然應(yīng)該相等。
它把一個純組合數(shù)學(xué)問題和立體空間圖形結(jié)合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數(shù)學(xué)家們的喜愛。死理性派曾經(jīng)討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。
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