一．圓錐曲線的研究歷史
1．圓錐面上的圓錐曲線
所謂“德里問題”或“立方倍積問題”，是傳說很久以前，一次希臘德里群島中一個名叫杰羅西島的地方發(fā)生了瘟疫。島上部落問自己的酋長怎樣祈禱上帝，才能免除這場災(zāi)難。酋長說，要把祭祀上帝的立方體形祭壇重新砌造成一個更大的，要求新砌的祭壇仍是立方體，但體積要為原來祭壇體積的2倍。即原立方體棱長為a，新立方體棱長x，得：，。問題的實質(zhì)就是如何根據(jù)a求作x 。
不少的古希臘學(xué)者研究過這個問題，開始大多是企圖通過尺規(guī)作圖的方法來解決的，也形成了多種方法（這些方法都不是嚴(yán)格意義上的“尺規(guī)作圖”）。古希臘幾何學(xué)家、天文學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus前375-前325年)的方法是：用一個平面垂直于頂角分別是銳角、直角和鈍角的圓錐的母線，得到三種不同截線，他把這三種截線分別叫做“銳角的”、“直角的”和“鈍角的”圓錐截線，即后來的橢圓、拋物線和一支等軸雙曲線。那么在“立方倍積問題”中，如何作出x=這一線段呢？用現(xiàn)在的直角坐標(biāo)方程的知識可知，它實際是兩條拋物線和兩交點中非原點的那個交點的橫坐標(biāo)，而這兩條拋物線梅內(nèi)克繆斯在當(dāng)時就是從圓錐截線得到。所以梅內(nèi)克繆斯是系統(tǒng)研究圓錐曲線的第一人，他最早給圓錐曲線以命名，并利用拋物線滿意地解決了“立方倍積問題”。
圓錐曲線就這樣神奇地仿佛是無中生有地產(chǎn)生在圓錐曲面上。
2．幾何學(xué)里的圓錐曲線
在公元前3世紀(jì)前后，最著名的希臘三大學(xué)者歐幾里德（Euclid 前330 ？-前275年）、阿基米德（Archimedes前287？-前212年）和阿波羅尼斯(Apollonius前262-前200年)都研究了圓錐曲線。歐幾里德除了總結(jié)歷史上幾何學(xué)發(fā)展的成果，把幾何學(xué)條理化、系統(tǒng)化寫成巨著《幾何原本》一書外，還著有《圓錐曲線論》等書（可惜失傳了）。歐幾里德在《幾何原本》中給出了圓錐曲線統(tǒng)一定義，即平面內(nèi)一點F和一定直線AB，從平面內(nèi)動點M向AB引垂線，垂足為C，若MF：MC值一定，則動點軌跡為圓錐曲線，但他未證明。阿基米德則成功計算了拋物線弓形的面積，發(fā)明了用同心輔助圓畫橢圓的方法，還提出了圓錐曲線的直徑的概念。阿波羅尼斯著書《圓錐曲線》共八卷，有487個命題（其中第八卷失傳）。該書全面討論了圓錐曲線的性質(zhì)，并包含了坐標(biāo)和曲線方程的思想，但都是用幾何方法。他推廣了梅內(nèi)克繆斯用平面垂直三種頂角（銳角、直角、鈍角）圓錐的母線而得圓錐曲線的方法，從同一個圓錐中，改變截面對于圓錐軸的傾角的方法，就能截出三種圓錐曲線。他同時并用兩對頂圓錐，從而發(fā)現(xiàn)了雙曲線有兩支。他研究了圓錐曲線的直徑和軸，研究了雙曲線的漸近線。他最先發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線有焦點，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線上任一點處切線性質(zhì)（“光學(xué)特性”），但未發(fā)現(xiàn)拋物線的“光學(xué)特性”。
公元340年，希臘學(xué)者帕普斯（Pappus約290-350年）著《希臘數(shù)學(xué)集成》，他首次發(fā)現(xiàn)拋物線有焦點和圓錐曲線有準(zhǔn)線。他第一個用焦點和準(zhǔn)線來定義圓錐曲線：圓錐曲線是一動點到一定點和到一定直線距離的比是常數(shù)的軌跡，并加以證明，說明MF:MC值小于1時，M點軌跡為橢圓，等于1時為拋物線，大于1時為雙曲線。他還提出了圓錐曲線的離心率。
上述對圓錐曲線的研究用的都是純粹幾何的方法，其構(gòu)造、推演、論證的技巧與方法實在令人折服。
3．客觀現(xiàn)實中的圓錐曲線
到公元4世紀(jì)和5世紀(jì)時，延續(xù)一千多年之久的奴隸制度開始崩潰，在長期戰(zhàn)爭和外族侵略摧殘中，古代文化遭到極大破壞。在此后直至公元15世紀(jì)的一長段令人窒息的中世紀(jì)時期中，在新興的封建國家里，取代古代樸素唯物主義和文化科學(xué)的是宗教的神學(xué)思想。在這一段長夜漫漫的黑暗年代，關(guān)于數(shù)學(xué)圓錐曲線的研究，非當(dāng)沒有什么更多的發(fā)展，而且?guī)缀醣宦駴]了。在阿波羅尼的《圓錐曲線》問世后的13個世紀(jì)里，整個數(shù)學(xué)界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀(jì)起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破
“在中世紀(jì)的黑夜之后，科學(xué)以意想不到的力量一下子重新興起，并且以神奇的速度發(fā)展起來?！保ǘ鞲袼埂蹲匀晦q證法》）在這一段時期中，古希臘的“邏輯演繹思想”與歐洲的“科學(xué)實證精神”相結(jié)合，科學(xué)和技術(shù)出現(xiàn)了劃時代的偉大進步。關(guān)于圓錐曲線的研究，也有了深入的發(fā)展。不僅古希臘人的經(jīng)典文明（包括對圓錐曲線的研究成果）被從宗教修道院中重新發(fā)掘出來，而且結(jié)合新的生產(chǎn)、科學(xué)實踐，進一步豐富了它的內(nèi)容。
16世紀(jì)，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一是德國天文學(xué)家開普勒（Kepler,1571~1630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行的事實；二是意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，1579年蒙蒂（GuidobaldodelMonte,1545~1607）橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質(zhì)的研究推進并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。
17世紀(jì)初，在當(dāng)時關(guān)于一個數(shù)學(xué)對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠(yuǎn)處的焦點，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只須考慮焦點的各種移動方式。譬如，橢圓有兩個焦點F1、F2，若F1固定，考慮F2的移動，當(dāng)F2向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)2與F2重合時即為圓；當(dāng)F2向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無窮遠(yuǎn)處時即為拋物線；當(dāng)F2從無窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當(dāng)F2繼續(xù)向右移動，F(xiàn)2又與F1重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線。這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎(chǔ)。
隨著射影幾何的創(chuàng)始，原本為畫家提供幫助的投射、截影的方法，可能由于它與錐面有著天然的聯(lián)系，也被用于圓錐曲線的研究。在這方面法國的三位數(shù)學(xué)家笛沙格（Desargue1591－1661）、帕斯卡（Pascal，1623－ 1662）和拉伊爾（Phailippe de LaHire，1640～1718）得出了一些關(guān)于圓錐曲線的特殊的定理，可謂別開生面。
4．坐標(biāo)系下的圓錐曲線
法國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descarter1596-1650年）創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，他建立了坐標(biāo)系概念，用數(shù)學(xué)方程來研究物體的運動軌跡，并且認(rèn)識到代數(shù)的二元二次方程的圖象是圓錐曲線。
法國著名數(shù)學(xué)家費爾瑪(Fermat1603-1665年)受到古希臘阿波羅尼斯著作《圓錐曲線》的啟發(fā)，于笛卡爾稍后，也獨立具有了解析幾何的思想。他分別從三個不同的方面給圓錐曲線以定義，就是既把圓錐曲線看作平面截圓錐所得的截線，又看作是平面上動點到定點和到定直線距離比為常數(shù)的點的軌跡，還看作是代數(shù)的二元二次方程的圖象。
解析幾何的創(chuàng)立，使得人們對圓錐曲線的認(rèn)識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。
17世紀(jì)下半葉，英國著名科學(xué)家牛頓(Newton 1642-1727年)、德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz1646-1716年)創(chuàng)立了微積分學(xué)，以運動、辯證的數(shù)學(xué)分析方法，解決實踐中提出的本身就是運動、辯證的大量數(shù)學(xué)、力學(xué)問題，“獲得了不僅是正確的，而且是初等數(shù)學(xué)研究完全不能達(dá)到的成果?！保ǘ鞲袼埂斗炊帕终摗罚┬碌姆治龇椒?，極大地推動了數(shù)學(xué)、物理、天文科學(xué)的發(fā)展。牛頓還用微積分學(xué)研究了圓錐曲線的切線性質(zhì)，提出了它的光學(xué)應(yīng)用，還設(shè)計了牛頓系統(tǒng)的光學(xué)反射式望遠(yuǎn)鏡。
18世紀(jì)，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標(biāo)系之外又建立極坐標(biāo)系，并能把這兩種坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換。在這種情況下表示圓錐曲線的二次方程也被化為幾種標(biāo)準(zhǔn)形式，或者引進曲線的參數(shù)方程。1745年歐拉發(fā)表了《分析引論》，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作。在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程。出發(fā)，圓錐曲線的各種情形，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，總可以化以下標(biāo)準(zhǔn)形式之一：
繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來，由圓錐曲線導(dǎo)出了許多重要的曲面，諸如往面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、以及各種拋物面等。
總而言之，圓錐曲線無論在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，還是在我們的實際生活中都占有重要的地位，人們對它的研究也不斷深化，其研究成果又廣泛地得到應(yīng)用。這正好反映了人們認(rèn)識事物的目的和規(guī)律。
二．圓錐曲線的應(yīng)用
1．用以刻畫客觀世界中物質(zhì)的運動
宏觀方面，天體運行的軌跡包含了三種圓錐曲線；微觀方面，盧瑟福散射中的粒子沿雙曲線運動；玻爾的“電子在核外繞核作圓周運動”的量子化軌道也被推廣到橢圓軌道?，F(xiàn)實生活中，我們知道，斜拋射物體在僅受地球引力作用、不計空氣阻力下的運動軌跡是拋物線，而簡諧振動與液體流動中也都含有圓錐曲線。
2．“光學(xué)特性”在科技上的應(yīng)用
拋物線、橢圓、雙曲線各有其所謂“光學(xué)特性”，這些“光學(xué)特性”被應(yīng)用于光學(xué)、聲學(xué)、熱學(xué)、電子學(xué)的各個領(lǐng)域而大放異彩。如光學(xué)中燈具與望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計；聲學(xué)中的音樂臺的拋物面屏墻，橢圓聽音實驗；電子學(xué)中的沖擊波排石及激光消痣橢圓；在微波通訊、聚熱、發(fā)電（如太陽灶、太陽爐、太陽能光電站等）也都用到了圓錐曲線尤其是拋物線的“光學(xué)特性”。
3．在建筑、生產(chǎn)用品制造上的應(yīng)用
三．給我們的一點啟示
當(dāng)圓錐曲線圓錐曲面上神奇地仿佛是無中生有地產(chǎn)生時，梅內(nèi)克繆斯可能沒有想到，圓錐曲線在現(xiàn)實世界還有如此多樣的存在方式；當(dāng)古希臘的那些學(xué)者們在研究圓錐曲線的性質(zhì)時，他們也不會想到，這些性質(zhì)竟有如此豐富多彩的出神入化的應(yīng)用。他們當(dāng)初的研究就是針對數(shù)學(xué)而言，沒有也不會想到太多；也正是數(shù)學(xué)本身的魅力吸引了他們，讓如癡如醉地研究數(shù)學(xué)。
不錯，數(shù)學(xué)來源與生活又服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)是有用的。但有用的標(biāo)準(zhǔn)是什么？當(dāng)初陳景潤研究哥德巴赫猜想用到的理論和方法讓很多研究數(shù)學(xué)的人也感到難以理解，高處不勝寒，但現(xiàn)在卻成了密碼學(xué)的一個重要依據(jù)（楊樂語）；而數(shù)學(xué)中的二進制，常常讓人覺得麻煩和不習(xí)慣，仿佛一種純數(shù)學(xué)的毫無用處的游戲規(guī)則，但我們現(xiàn)在都知道，電腦設(shè)計中離開它是一個無法想象的事。
數(shù)學(xué)是有用的，但作為一種新的數(shù)學(xué)知識，我們往往暫時看不到它的用處，因為數(shù)學(xué)本身的一個特征就是它常常是領(lǐng)先于其他自然科學(xué)或社會科學(xué)的。它有其自身的發(fā)展動力與軌跡，如問題的產(chǎn)生，內(nèi)部的矛盾，和諧與統(tǒng)一的追求，方法的選擇與革新等。所以我們在強調(diào)“數(shù)學(xué)有用”的同時，不能過分地被“有用”的標(biāo)準(zhǔn)所牽制。
附：笛卡兒小傳
笛卡兒［Descartes,
1612年，他到巴黎普瓦捷大學(xué)供讀法律，四年后獲頒博士學(xué)位，并成為律師。當(dāng)時法國社會的有志之士，不是致力宗教，便是獻(xiàn)身軍事，這種風(fēng)氣甚為盛行，這驅(qū)使笛卡兒于1618年往荷蘭從軍。服役期間，他仍對數(shù)學(xué)感興趣。某日休息，他在街上散步時受一荷蘭文招貼所吸引，但因不懂荷蘭文，于是請身邊的人譯成拉丁文或法文。恰巧這人是多特學(xué)院院長畢克門。經(jīng)此翻譯，笛卡兒才得悉這是一張當(dāng)時數(shù)學(xué)家所下的「挑戰(zhàn)書」，廣征上列難題答案。笛卡兒竟在數(shù)小時內(nèi)求得答案，使畢克門大為佩服。
《幾何學(xué)》提出了解析幾何學(xué)之主要思想與方法，這標(biāo)志著解析幾何學(xué)之誕生。笛卡兒的坐標(biāo)系不同于一個一般的定理，也不同于一段一般的數(shù)學(xué)理論，它是一種思想方法和技藝,它使整個數(shù)學(xué)發(fā)生了嶄新的變化，它使笛卡兒成為了當(dāng)之無愧的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一。
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