數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)家思想的光輝創(chuàng)造。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯明確指出，數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的新概念（L.A.斯蒂恩，1982）。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾則強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)在建立數(shù)學(xué)概念的方法上，已從典型的通過“外延描述的抽象化”轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)“公理系統(tǒng)的抽象化”，……它已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)方法論的普遍范例”（張奠宙，1998）。
以這樣的高觀點(diǎn)指導(dǎo)中小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，問題不在于只要求學(xué)生理解概念的表層含義，還應(yīng)該著眼于定義概念的過程，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣思考，了解定義形成的方法和依據(jù)，理解蘊(yùn)含在定義背后的規(guī)定與意義，以獲得可靠的數(shù)學(xué)知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)。本文以小學(xué)數(shù)學(xué)中“三角形高”的教學(xué)為例，談?wù)劯拍顚W(xué)習(xí)從單純意義理解到兼顧定義過程教學(xué)轉(zhuǎn)向的嘗試。
一、分析：概念聯(lián)系與定義方法
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，三角形的高是一個(gè)定義明確的概念，也是學(xué)生比較難掌握的概念之一?，F(xiàn)行教材采用揭示概念內(nèi)涵的方式下定義：在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高。三角形高的定義，實(shí)際上是經(jīng)由點(diǎn)到直線的距離演繹而來，再往上追溯，三角形的高本質(zhì)上是兩點(diǎn)之間的距離。
兩點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間連線段的長(zhǎng)度，它是一個(gè)比較核心的概念。如果對(duì)這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)位置加以不同的限制，就可以衍生出其他幾個(gè)重要的概念。如圖1，從直線BC
不僅如此，兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，平行線之間的距離這些相互聯(lián)系的概念，都是對(duì)線段的兩個(gè)端點(diǎn)位置增加限制條件后作出的定義。三角形的高也在這個(gè)概念系統(tǒng)之中，簡(jiǎn)單地說，它是這樣的一條線段：一個(gè)端點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是過這個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€畫垂線所得的垂足。由此，容易看出這些概念之間聯(lián)系的清晰脈絡(luò)，進(jìn)而不難體會(huì)數(shù)學(xué)概念聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)性。
定義是按照一定的邏輯規(guī)則而形成的約定，下定義就是給對(duì)象所具有的各種構(gòu)成特性作出一種選擇，就是在給定系統(tǒng)中通過術(shù)語來選擇充分必要條件（張奠宙，1998）。簡(jiǎn)單地說，選擇充分必要條件的方法就是增加或減少限制條件，其目的是為了使得概念的內(nèi)涵與外延相一致。
二、教學(xué)：基本思路與設(shè)計(jì)意圖
概念聯(lián)系的系統(tǒng)性為學(xué)習(xí)新概念提供了便利支持，可以引導(dǎo)學(xué)生利用已有的概念參與定義新概念的思考過程，通過分析蘊(yùn)含在定義背后的規(guī)定與意義，以聯(lián)系的觀點(diǎn)幫助學(xué)生突破理解的困難，發(fā)展概念學(xué)習(xí)更有力的思考方法。
1.
數(shù)學(xué)家在給三角形高下定義時(shí)是如何思考的？現(xiàn)在，我們已不可能還原數(shù)學(xué)家的真實(shí)思考，原原本本地學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣思考既無可能，也沒必要。但是，數(shù)學(xué)家通過事先直覺地抓住觀念而建立定義，是特別值得教學(xué)法去研究的一種智力活動(dòng)過程（張奠宙，1998）。斯根普在《學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理學(xué)》中更加具體地指出，概念教學(xué)應(yīng)該從大量的實(shí)例出發(fā)，用實(shí)例直觀的幫助完成定義，而不是就定義教定義（張奠宙，1998）。
師：今天，我們研究三角形的高。高這個(gè)概念在生活中也有廣泛的應(yīng)用，你能舉出一些例子嗎？
生：身高，樹高，樓房的高。
師：你的身高是多少？
生：143厘米。
師：來，請(qǐng)你站到前面來。如果把他的身高理解成一條線段的長(zhǎng)度，那么這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在哪里？
生：一個(gè)在腳底，一個(gè)在頭頂。
師：現(xiàn)在，我們?nèi)绻屗上聛?，身高是多少？身高變不變?/span>
生：是0厘米。
生：不對(duì)，人躺下就沒有身高了？（生大笑）
師：身高是一條線段的長(zhǎng)度，這條線段無論怎么放，長(zhǎng)度都是不會(huì)變的。
師：（課件展示圣誕樹的圖片，樹冠呈三角形）這棵圣誕樹有高嗎？
生：有。
師：怎么解釋它的高？
生：從樹的最頂尖處到樹干底部的長(zhǎng)度。
生：我可以說得更具體一些，就是從樹的頂尖處開始向地面畫一條垂線段，這條垂線段的長(zhǎng)度就是樹的高。
師：也是一條線段的長(zhǎng)度。你解釋得很專業(yè)，特別強(qiáng)調(diào)了垂直。（課件演示：在地面上畫一條水平的直線，從樹的頂尖處開始向這條水平的直線畫一條垂直的線段，并標(biāo)注垂直的標(biāo)記）這條線段就是這棵圣誕樹的高。
[設(shè)計(jì)意圖]
生活中的身高或樹高作為引入的例子，有時(shí)會(huì)有以偏概全的潛在風(fēng)險(xiǎn)。學(xué)生理解這些例子，不可避免地會(huì)把非本質(zhì)屬性帶入到概念的理解當(dāng)中來，他們會(huì)認(rèn)為只有在豎直方向上才有高，也就是把高狹隘地理解為鉛垂的特殊情況。如果事先形成了這樣的思維定勢(shì)，那么當(dāng)三角形的底邊不在水平線上時(shí)，學(xué)生畫高無從下手就不足為怪了。殊不知，三角形中高的概念，底邊是否在水平線上是非本質(zhì)屬性。這時(shí)，數(shù)學(xué)的例子與抽象方法就可以“大顯身手”了。
師：這棵圣誕樹的樹冠是一個(gè)三角形。（課件演示：沿樹冠的輪廓畫一個(gè)三角形）這個(gè)三角形有高嗎？
生：有。
師：你們的作業(yè)紙上也有這樣的三角形，你能給這個(gè)三角形畫一條高嗎？
學(xué)生獨(dú)立地畫，教師有選擇地收集并有序地展示學(xué)生的作品（如圖3）。（必要時(shí)可作補(bǔ)充或修改）
師：觀察上面這些圖形，這三個(gè)三角形中畫的虛線都是三角形的高，請(qǐng)你說一說，什么是三角形的高？
生：三角形的高是從頂點(diǎn)連過來的一條線段。
生：不管三角形怎么擺，三角形的高都是一樣的。
師：觀察下面這些圖形（如圖4），這三個(gè)三角形中畫的虛線都不是三角形的高?，F(xiàn)在請(qǐng)你說一說，什么是三角形的高？
學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論，最后動(dòng)手寫一寫什么是三角形的高。
師：把你們寫的定義與圖3的三個(gè)例子對(duì)照，這些例子都符合定義的描述嗎？再把你們寫的定義與圖4的三個(gè)例子對(duì)照，定義排除了這些圖形中的情況嗎？
在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上給出定義：在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高。
[設(shè)計(jì)意圖]這個(gè)三角形高的定義不是直接由教師或課本強(qiáng)加的，而是學(xué)生經(jīng)由觀察實(shí)例分析得到的，在獨(dú)立觀察思考與全班討論交流的過程中完成，是集體智慧的結(jié)晶。正例與反例在學(xué)生歸納概括定義時(shí)扮演了不同的角色，正例用于挖掘?qū)ο蟮谋举|(zhì)，反例用于修正概括的定義。
2.
數(shù)學(xué)家是根據(jù)需要給概念下定義的，定義概念時(shí)其思想是事先有的。但是，在下定義時(shí)，這些思想要精確化，通過某些修正而使它越來越清楚（張奠宙，1998）。闡明給出的定義，主要是賦予其含義“數(shù)學(xué)的明確性”與“數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性”。
（1）明確性：把復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念講簡(jiǎn)單。
斯根普可以稱得上是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的先驅(qū)之一，他認(rèn)為，要把一件簡(jiǎn)單的事情弄復(fù)雜并不難，難的是把復(fù)雜的事情弄簡(jiǎn)單（鮑建生，周超，2009）。三角形高的定義描述比較復(fù)雜，很長(zhǎng)的一段話不容易抓住要義。在五花八門的三角形中畫高，對(duì)小學(xué)生來說不是一件簡(jiǎn)單的事情，需要聯(lián)系多方面的知識(shí)與能力，包括概念的理解與運(yùn)用，圖形的觀察與分析，工具的操作與使用等，是一項(xiàng)綜合性的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。因此，有必要把三角形高的概念與畫圖講簡(jiǎn)單，以便小學(xué)生理解與操作。
師：我們已經(jīng)得到了三角形高的定義，這個(gè)定義你們理解嗎？
生：理解。
師：三角形高的概念其實(shí)是比較復(fù)雜的，有很長(zhǎng)的一段話。我有一個(gè)方法判斷你們是不是真正理解了，就是看能不能把復(fù)雜的事情說簡(jiǎn)單。誰來試一試？
生：三角形的高其實(shí)也是一條線段的長(zhǎng)度。
師：那么，這是一條怎樣的線段呢？
生：從三角形的頂點(diǎn)出發(fā)向?qū)叜嬕粭l垂線段。
師：既然是一條線段，找到它的兩個(gè)端點(diǎn)很重要（兩點(diǎn)確定一條直線）。這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在哪里？
生：（指著圖形）一個(gè)端點(diǎn)是上面的頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是下面的垂足。
師：現(xiàn)在，我們可以把三角形的高說得簡(jiǎn)單一點(diǎn)了，它是一條——
生：一個(gè)端點(diǎn)在頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在垂足的線段。
師：理解簡(jiǎn)單了，畫起來也就容易。那么，我們可以怎樣畫三角形的高呢？
生：只要找到這兩個(gè)端點(diǎn)，就可以把高畫出來。
進(jìn)一步的教學(xué)，是讓學(xué)生練習(xí)在各種三角形中畫高；展示學(xué)生的作品并糾正其中的錯(cuò)誤；通過展示與交流，讓學(xué)生進(jìn)一步明確三角形高的內(nèi)涵與外延。
[設(shè)計(jì)意圖]
（2）嚴(yán)密性：分析定義中限制條件的反例。
如果概念的內(nèi)涵增加，那么它的外延就減少；反之，如果概念的內(nèi)涵減少，那么它的外延就擴(kuò)大。這就是概念的內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系。多數(shù)的教學(xué)都十分關(guān)注概念內(nèi)涵與外延的理解，通常的做法是先找出一些關(guān)鍵詞，如頂點(diǎn)、對(duì)邊、垂線等，再通過解讀這些關(guān)鍵詞來理解概念的內(nèi)涵；或者是給出概念的肯定或否定例證，再通過判斷這些例證清晰概念的外延。以上兩種做法，都只是著眼于概念的理解，而不是關(guān)注定義的方法，其缺陷也很明顯：一方面，解讀關(guān)鍵詞往往只能得到支離破碎的理解，這些理解的碎片不可能“破鏡重圓”，拼出概念的完整理解；另一方面，那些討論的例證往往是直接由教師給出的，學(xué)生并不理解為何要討論這些例子。
概念內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系，不只是教師教學(xué)研究要關(guān)注的問題，也可以成為學(xué)生參與定義的思考導(dǎo)引。如前所述，定義中的關(guān)鍵詞可以理解為下定義時(shí)加進(jìn)來的限制條件，這些限制條件的整體構(gòu)成了嚴(yán)密的概念。判斷一個(gè)定義是不是嚴(yán)密，就要看在限制條件下是不是唯一。
影響三角形畫高的難度因素有很多，比較主要的可能是兩條：一是底是不是在水平線上，二是高是不是在三角形內(nèi)。依據(jù)這兩條，可以把三角形畫高分成若干個(gè)難度層級(jí)，最簡(jiǎn)單的是在銳角三角形中畫水平底邊上的高，最復(fù)雜的是在鈍角三角形中畫非水平底邊且在三角形之外的高。初學(xué)階段，在最簡(jiǎn)單的層級(jí)上，學(xué)生容易出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤。如，
上面的兩種錯(cuò)誤，圖5沒有遵照從頂點(diǎn)出發(fā)的要求，圖6則是不符合垂線的限制。以垂線的限制條件為例，過直線外一點(diǎn)向已知直線畫垂線，只能畫一條，而與直線相交的線則能畫無數(shù)條，并且這些線段的長(zhǎng)度很可能是不一樣的。這樣學(xué)生就不難理解，三角形高的定義中為什么要加進(jìn)這個(gè)限制條件，其目的就是讓三角形一條邊上的高是唯一的。
數(shù)學(xué)家已經(jīng)定義了三角形的高，我們坐享其成，或許很難體會(huì)第一次定義它的時(shí)候會(huì)遇到怎樣的困難。不妨假設(shè)把這個(gè)定義推倒重來，和學(xué)生一起思考：那些限制條件都是必須的嗎？如果去掉一個(gè)限制條件將會(huì)怎樣？圍繞這兩個(gè)問題，可以引導(dǎo)學(xué)生就概念的唯一性展開討論。
師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的高，你能說一說什么是三角形的高嗎？
學(xué)生復(fù)述定義。
師：對(duì)照三角形高的定義，請(qǐng)你判斷這兩個(gè)圖（圖5、圖6）中畫的是不是三角形的高，并說明理由。生：第一個(gè)圖（圖5）不正確，它不是從頂點(diǎn)出發(fā)的。
生：第二個(gè)圖（圖6）也不正確，那條線沒有畫垂直。
師：所以，這兩條線都不能稱之為三角形的高。那么，應(yīng)該怎樣修改呢？
學(xué)生畫出正確的高。
師：（指三角形的頂點(diǎn)）像這樣，從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫這個(gè)三角形的高，能畫出幾條？為什么？
生：（遲疑片刻）只能畫出一條。因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，只能畫出一條。
師：能運(yùn)用前面學(xué)過的知識(shí)來說明道理，真好！為了加深一點(diǎn)印象，我們也可以反過來想一想，如果不規(guī)定高必須垂直，像第二個(gè)圖（圖6）那樣，過頂點(diǎn)與底邊相交就算畫這個(gè)三角形的高，你覺得可以嗎？
生：（又遲疑片刻）那樣高就會(huì)有很多條了，因?yàn)閺捻旤c(diǎn)可以畫很多條直線與底邊相交。
生：像第一個(gè)圖（圖5）那樣，不過頂點(diǎn)畫垂線也可以畫很多條。
師：是的。從這里可以看出，規(guī)定了從頂點(diǎn)出發(fā)并且要求畫對(duì)邊的垂線，就是為了確保高的長(zhǎng)度確定，或者說高是唯一的。數(shù)學(xué)是很嚴(yán)密的，嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的生命。如果把數(shù)學(xué)比作高樓大廈，這些嚴(yán)密的概念就是它牢固的基石。概念不嚴(yán)密，數(shù)學(xué)大廈就有倒塌的危險(xiǎn)，那些引人入勝的推理也沒有辦法進(jìn)行下去。
[設(shè)計(jì)意圖]概念的唯一性是與概念定義的科學(xué)性以及學(xué)生理解的準(zhǔn)確性聯(lián)系在一起的。小學(xué)生一般只學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，而不學(xué)習(xí)定義概念的方法。實(shí)踐中筆者體會(huì)到，讓學(xué)生參與定義的思考過程，了解定義概念的方法和依據(jù)，不僅有利于豐富學(xué)生對(duì)概念本身以及概念之間關(guān)系的理解，而且學(xué)生可以從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念背后的思想內(nèi)容和科學(xué)方法。不過，這些定義的方法是通過具體的案例而不是用定義的邏輯規(guī)則來解釋的。
三、反思：理解定義背后的智慧
概念的限制條件背后一定有其合理性存在。從下定義的規(guī)則來說，概念的唯一性就是指定義項(xiàng)的外延與被定義項(xiàng)的外延相等。定義中的每個(gè)限制條件都對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的反例，討論這些限制條件與對(duì)應(yīng)的反例，既是學(xué)生掌握概念內(nèi)涵與明晰概念外延，加深概念意義理解的方法，也是學(xué)生經(jīng)歷定義概念思考過程的現(xiàn)實(shí)途徑。
此外，嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的一個(gè)突出特點(diǎn)，甚至可以說數(shù)學(xué)的生命在于它的嚴(yán)密性。和許許多多數(shù)學(xué)定理一樣，數(shù)學(xué)概念的定義也是數(shù)學(xué)內(nèi)部和諧選擇的結(jié)果，是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生經(jīng)歷了概念定義過程的思考與推敲、修正與琢磨，就會(huì)獲得概念定義嚴(yán)密性的體會(huì)，就能學(xué)習(xí)定義概念的科學(xué)方法。不過，數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密性從來都不是絕對(duì)的，在數(shù)學(xué)教育中，概念嚴(yán)密性更是有層次的。日本數(shù)學(xué)家米山國藏指出，從教育的角度來看，較之?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)密性，更應(yīng)該使學(xué)生領(lǐng)悟發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、研究的精神與方法（米山國藏，1986）。讓學(xué)生參與定義的思考過程，理解定義背后的規(guī)則與意義，與其說是深入理解概念的意義，體會(huì)定義概念的嚴(yán)密性，不如說是學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣思考，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神、思想與方法。
定義背后有智慧！
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