小學幾何和初中幾何的區(qū)別
之前疫情停課的時期，我讓女兒去自學七上的《幾何圖形初步》，后來她問我：“這些內容小學基本都學過，為什么初中還要學？”
小學幾何和初中幾何的區(qū)別到底在哪里？
簡單來說，小學幾何以觀察和動手操作為主，辨認不同形狀的幾何圖形，認識圖形的運動（平移、旋轉、翻折）、圖形的度量(長度、角度、面積、體積），歸納圖形的性質。
而初中幾何會根據認識的難易度，更系統(tǒng)更深入地研究平面圖形，從點線面體→直線的位置關系（相交、平行）→三角形→四邊形→圓，更重要的是研究方式的轉變，從小學直觀形象的實驗幾何過渡到演繹推理的論證幾何。
小學幾何通過直觀的圖形表達概念，不要求嚴謹的定義。而初中幾何是從定義和公理出發(fā)，通過演繹推理去推導圖形的性質。
舉個例子，小學通過圓規(guī)畫圓直觀地認識圓的概念，并沒有給出明確的定義。
而初中會給出更精確的定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是（平面上）所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。
圓的定義很明確地指出圓其實是外面那圈封閉曲線，是一維的線。而不少人眼中，“圓”的概念是包括圓周包圍的圓盤面，這實際是受到“圓的面積”的誤導。我們談“圓的面積”時，這里的“圓”并不是指數學上定義的圓(circle)，而是指圓圍住的圓盤(disk)。
重視定義
之前看過一個短視頻，有個顧客和老板為了“蒜苔炒肉”發(fā)生了爭執(zhí)，原因就在于他們對于“蒜苔”的定義是不同的。
所以，要學好初中幾何，第一點就是重視定義，通過定義對幾何概念形成更精確并且一致的認識。
對于一個物體，當只研究它的形狀、大小而不考慮其他性質時，我們就說它是幾何體，簡稱為體。包圍著體的是面，面和面相交于線，線和線相交于點。從運動角度，點動成線，線動成面，面動成體。
點線面體作為從現實中抽象出的原始概念，是不需要定義的，上一段文字只是描述性的說明，可以幫助我們的頭腦中形成直觀的形象。
Q
什么是抽象？
A
夜空中的星星、筆尖畫在紙上的印記都給我們“點”的形象，我們從不同的事物中，拋開它們的各種物理、化學屬性，抽取出共同的本質的特征：點沒有大小，只表示位置。這樣的過程就叫抽象。抽象出的概念是存在我們頭腦中的理想概念，現實中不存在沒有大小的物體，線條也不可能無限延伸。
從原始概念出發(fā)，將不同的概念用定義聯(lián)結起來，就構造了不同層級的幾何概念，比如線段→四邊形→平行四邊形→矩形→正方形。
幾何的優(yōu)點就在于直觀，圖形可以幫助我們思考。重視定義不是死記硬背定義的語句，我們可以結合圖形來進行理解和記憶。比如對頂角和鄰補角，我們頭腦中可以想象兩條相交的直線；同位角、內錯角、同旁內角，我們只要能通過三線八角正確識別即可。
還有一點就是注意相關概念的聯(lián)系和區(qū)別，多總結和歸納，這樣才能將知識聯(lián)結成網，對錯誤的概念進行修正。
這是《勤學早》上的一道題，∠BOE的補角我女兒只寫出了∠AOE。補角的概念初學者很容易與鄰補角混淆，那么學了鄰補角之后就應該去思考兩個概念的區(qū)別，從而認識到補角只是跟角度數量關系有關，與位置無關；而鄰補角不僅和角度數量關系有關，還跟位置有關。這樣才能對補角的性質有更準確的認識。
考慮問題要全面
初中幾何考慮問題時需要更全面，尤其是沒有給出明確圖像時，往往需要分類討論。
還是用《勤學早》里的一道題舉個例子：
已知平面內有ABCD四個不同的點，過其中的兩點畫一條直線，一共可以畫多少條直線？
我女兒草稿紙上刷刷畫完一數，填上6。我問她如果四點剛好在一條直線呢？她想當然地揮筆一改1~6，還是錯了。所以分類討論的意識一定要強調，關鍵在于如何有序分類，比如按共線的點從多到少：四點都共線→有三點共線，一點在線外→任意三點都不共線。
什么是公理
公理顧名思義就是公認正確的道理，現在的教材上稱為基本事實。我們來看看七年級教材上的公理：
1
直線公理
2
線段公理
3
平行公理
教材中藍色的語句要特別重視：一類是上面的公理（基本事實）；一類是定義，比如兩點間的距離等等；還有一類是“推理”或者“探究”出來的性質、推論、判定方法、定理，本質上都可以證明，都是廣義上的定理。
公理的正確性極其明顯，不證自明。公理和定義就是推理的起點，而邏輯保證了從正確的起點出發(fā)能得出正確的結論，所以定理也能作為后續(xù)推理的依據。
如何進行證明
在《Euclidea》的作圖游戲里我女兒已經知道了如何用尺規(guī)作出等邊三角形，于是我就以此為例，也就是《幾何原本》命題I.1，講解了歐幾里得是如何通過定義和公理保證作圖的正確性。
首先，我們要有等邊三角形的定義：
三條邊相等的三角形叫作等邊三角形。
還需要圓的定義，《幾何原本》中的圓定義與現代數學不一樣，其實就是之前提過的圓盤，當然關鍵的內容是一樣的：連接圓心和圓上任意點的線段（半徑）都相等。
這個命題里還用到了兩個作圖公理和一個等量傳遞公理：
1. 從任意一點到另外任意一點可以畫直線；
2. 以任意點為圓心及任意長為半徑可以畫圓；
3. 等于同量的量彼此相等。
已知線段AB，以AB為邊作等邊三角形：
以A為圓心，AB為半徑畫圓；（畫圓公理）
以B為圓心，BA為半徑畫圓；（畫圓公理）
從兩圓交點C到AB連線AC、BC；（直線公理）
由作圖可知AC=AB，BC=BA；（圓的定義）
所以AC=BC；（等量傳遞公理）
三邊彼此相等，ΔABC即為所求的等邊三角形。(等邊三角形的定義)
所有作圖步驟以及論證都是有據可依，邏輯清晰，結論的正確性自然非常令人信服，這就是尺規(guī)作圖和幾何證明。
還有反證法，也是一種非常強大的證明手段。邏輯中有個基本定律叫矛盾律，更準確地說應該是不矛盾律，就是在一個命題中不能同時推導出自相矛盾的結論。
我們來舉個例子。
可以看到，相交的定義中提到兩條不同的直線有一個公共點，為什么不分類討論有兩個公共點或者更多公共點呢？
因為我們可以證明，兩條不同直線相交只有一個交點。
我們先假設結論不成立，那么兩條不同的直線相交于至少不同的兩點，也就是說過這兩點有兩條不同的直線，這跟直線公理（過兩點有且僅有一條直線）是矛盾的，所以我們的假設是錯誤的，排除了假設的情況，反過來就證明了原先的結論，這就是反證法。
為什么需要證明
如果交兩點明顯直線就不直了??！這么顯然的東西為什么還要證明？直接當公理不就行了嗎？
直覺對于我們很重要，是公理的基礎，也是我們發(fā)現數學規(guī)律的方式之一，但是直覺也有局限性，舉個例子吧。
上面是個有趣的悖論圖，不同的圖形組合起來，只要不重疊面積是不變的，那么為什么兩個“三角形”面積會差了一個小方格呢？
答案就是藍色和紅色直角三角形的斜邊拼起來并不是直的，以后學習了一些幾何知識以后可以驗證組合后的圖形并不是三角形。
一些細微的差別我們肉眼很難發(fā)現，而且感官有時會帶給我們錯覺。比如弟弟很喜歡的那本《DK玩出來的百科:奇特視覺假象》，里面就有很多錯覺圖。
所以，數學家會很審慎地選擇公理，盡可能地選擇更少更可靠的事實作為公理，通過證明來確認發(fā)現的規(guī)律，以免后面出現矛盾。當兩個事實可以通過推理相互證明時，往往會選擇更直觀更簡潔的作為公理。
對稱思維的力與美
小學里已經學過軸對稱的概念，在學面積的時候有道題就可以巧妙地用軸對稱解決。
想象下把墻當鏡子，籬笆鏡像過去，問題就變成了48米的籬笆圍成長方形，怎么圍面積最大？這是轉化成了已知的問題：周長為定值的長方形，當四邊相等也就是正方形時面積最大。
教材里除了基本事實，還通過探究得到了一些結論。其實，我們也可以利用對稱性簡單地做個證明。
想象下把圖形以直線l鏡像過去，P點的對稱點是P'，PO是到P到直線l的垂線段，所以∠POA=90?。由對稱性∠P'OA=90?，所以∠POP'=180?，即POP'三點共線。根據線段公理，PO+P'O<PA?+P'A? 。根據對稱性，PO=P'O，PA?=P'A?，所以PO<PA? ,即垂線段最短。
第二個問題，用反證法可以輕松地證明。
經過直線AB上一點A，假設可以作出至少兩條垂線AC和AD。根據垂線的定義，∠BAC=90?，∠BAD=90?。所以∠BAC=∠BAD，然而圖中顯然∠BAC<∠BAD，矛盾，假設錯誤，所以同一平面內，過直線上一點只能作出一條直線與已知直線垂直。
第三個問題，同樣可以使用反證法。假設經過直線外一點P，假設可以作出至少兩條垂線PA和PB。
所以ΔPAB的內角和就超過180?，矛盾了。
對的，但是三角形內角和是180?在小學只是通過測量或者剪拼歸納出的結論，在沒有證明前還不能作為推理的依據。我們可以采用之前證明垂線段最短同樣的方法，作P關于直線AB的對稱點P'，那么過PP'就有兩條直線PAP'和PBP'，跟直線公理就矛盾了，假設錯誤，所以同一平面內，過直線外一點只能作出一條直線與已知直線垂直。
上面兩個合起來，我們就證明了：
同一平面內，過一點只能作出一條直線與已知直線垂直。
為什么要說同一平面內？
數學語言是非常嚴謹的，你想想正方體一個頂點位置的三條棱，是不是互相垂直的？所以沒有限制同一平面的話，上面的結論就不對了。
對稱不僅可以帶給我們美的感受，還可以幫助我們解決很多數學的問題。最后，給你留道思考題：
雞娃先自雞
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