也稱圓錐曲線或
圓錐截線，是直
圓錐面的兩腔被一平面所截而得的曲線。當(dāng)截面不通過錐面的頂點(diǎn)時(shí)，曲線可能是圓、橢圓、雙曲線、拋物線。當(dāng)截面通過錐面的頂點(diǎn)時(shí)，曲線退縮成一點(diǎn)、一直線或二相
交直線。在截面上的直角坐標(biāo)系(
x,
y)之下,這些曲線的方程是
x,
y的
二元二次方程：
。若截面不通過錐面的頂點(diǎn)，令截面與錐面軸線所成的角為
θ,錐面的半頂角為
α，則當(dāng)
時(shí)，所截曲線為圓；當(dāng)
時(shí)，截面與錐面的所有母線都相交,所截曲線為橢圓；當(dāng)
θ=
α時(shí)，截面與錐面的一條母線平行，所截曲線為拋物線；當(dāng)0≤
θ<
α時(shí),截面與錐面的兩條母線平行，所截曲線為雙曲線。
焦點(diǎn)與準(zhǔn)線 如果圓錐曲線不是圓，則在圓錐曲線所在的平面上存在一定點(diǎn)和一定直線，使得圓錐曲線上任何一點(diǎn)到該定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)，這個(gè)定點(diǎn)稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線。為了得到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，只需作一個(gè)球面內(nèi)切于圓錐面并同時(shí)與圓錐曲線所在的平面
σ相切。設(shè)球面與平面
σ相切于點(diǎn)
F，球面與圓錐面相切于一個(gè)圓,這個(gè)圓所在的平面為
ω，
ω 與
σ相交于直線
l，則點(diǎn)
F，就是焦點(diǎn)，直線
l就是準(zhǔn)線（圖1）。
這時(shí),圓錐曲線上任意一點(diǎn)
P 到焦點(diǎn)
F的距離｜
PF｜與到準(zhǔn)線
l的距離｜
PD｜之比為：
。其中
θ,
α都與
P在曲線上的位置無關(guān)，所以是常數(shù)。這個(gè)常數(shù)稱為圓錐曲線的離心率，記為
e。當(dāng)截線是橢圓時(shí)，
e<1；當(dāng)截線是雙曲線時(shí)，
e>1；當(dāng)截線是拋物線時(shí)，
e=1。對(duì)于橢圓或雙曲線，存在兩個(gè)合于以上要求的球面，因此橢圓或雙曲線都有兩個(gè)焦點(diǎn)與兩條準(zhǔn)線。每個(gè)焦點(diǎn)與其相應(yīng)的準(zhǔn)線都有上述性質(zhì)。拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)與一條準(zhǔn)線。若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為
F1,
F2。如圖2所示的球面與圓錐面相切的圓為C
1,C
2。這時(shí)對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)
P，令通過
P的母線
OP（
O為圓錐面的頂點(diǎn)）與C
1、C
2的交點(diǎn)分別為
A、
B。則
P到
F1的距離｜
PF1｜與
P到
F2的距離｜
PF2｜之和為｜
PF1｜ ｜
PF2｜=｜
PA｜ ｜
PB｜=｜
AB｜。這里｜
AB｜是常數(shù),它與點(diǎn)
P在橢圓上的位置無關(guān)。這說明了橢圓焦點(diǎn)的一個(gè)重要性質(zhì)，即橢圓上任何一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)。類似地，關(guān)于雙曲線的焦點(diǎn)有性質(zhì)：雙曲線上任何一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)。
圓錐曲線的定義 可以根據(jù)圓錐曲線的上述焦點(diǎn)、準(zhǔn)線性質(zhì)給出圓錐曲線的定義。三種圓錐曲線的統(tǒng)一定義是：在平面內(nèi),設(shè)動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)
F（稱為焦點(diǎn)）與一定直線
l（稱為準(zhǔn)線）的距離之比等于常數(shù),根據(jù)此常數(shù)小于1、大于1或等于1,此動(dòng)
點(diǎn)的軌跡分別稱為橢圓、雙曲線或拋物線。如果分別定義,則為：在平面內(nèi),設(shè)動(dòng)點(diǎn)到二定點(diǎn)（稱為焦點(diǎn)）的距離之和等于常數(shù)，則此動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為橢圓；若動(dòng)點(diǎn)到二定點(diǎn)（稱為焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)，則此動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。拋物線仍定義為到一定點(diǎn)與一定直線距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。
以上圓錐曲線的兩種定義是等價(jià)的。
圓錐曲線的方程 為了得到圓錐曲線的方程，必須選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。通過圓錐面的軸并垂直于準(zhǔn)線的平面與圓錐曲線所在平面相交于圓錐曲線的軸。圓錐曲線關(guān)于它的軸是對(duì)稱的。從上面的考慮可知，橢圓和雙曲線還必須關(guān)于二焦點(diǎn)連線
F1F2的垂直平分線對(duì)稱。這條垂直平分線與圓錐曲線的軸的交點(diǎn)就是圓錐曲線的中心C。因此對(duì)橢圓或雙曲線而言,適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是把圓錐曲線的軸作為
x軸,而過中心C的垂線作為
y軸的直角坐標(biāo)系。還可以
x軸同上面一樣，而
y軸是過一個(gè)頂點(diǎn)（軸與曲線的交點(diǎn)）的切線。還可以取圓錐曲線的軸作為極軸的零方向,而一個(gè)焦點(diǎn)作為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系（見
坐標(biāo)系）,則對(duì)于三種圓錐曲線都是適合的。對(duì)于雙曲線而言，還可以形成一個(gè)很自然的斜角坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系的軸就是相交于中心的兩條漸近線。
拋物線方程 取
x軸為拋物線的軸，
而
y軸為過頂點(diǎn)的切線（圖3）,令拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為
p（稱為拋物線的半?yún)?shù)）,則得到拋物線的頂點(diǎn)型方程
。這時(shí)拋物線的焦點(diǎn)是
準(zhǔn)線是
。方程
，
（其中
p>0）也都表示拋物線。
橢圓方程 取
x軸與橢圓的軸一致,而
y軸與兩個(gè)頂點(diǎn)之間線段
V1V2的垂直平分線一致(圖4
)。
y軸與橢圓相交于稱為第二對(duì)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)
W1與
W2。長(zhǎng)度|
V1V2|=2
α叫做長(zhǎng)軸，長(zhǎng)度｜
W1W2｜=2
b叫做短軸；則得到橢圓的中心型方程
。這時(shí)橢圓的焦點(diǎn)是
F1(
X,0),
F2(-
X,0)，其中
，準(zhǔn)線是
,
,離心率
。方程
(
α>
b)也表示橢圓。
雙曲線方程 與橢圓類似地建立坐標(biāo)系，可以得到雙曲線的中心型方程
。雙曲線沒有短半軸,且只有兩個(gè)頂點(diǎn)
V1,
V2（圖5
）。長(zhǎng)度|
V1V2|=2
α叫做實(shí)軸。 由于兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離大于兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離，所以存在由
給出的正數(shù)
b。2
b叫做虛軸。雙曲線的焦點(diǎn)是
F1(
X,0),
F2(-
X,0)。準(zhǔn)線是
，
，離心率
。
數(shù)
b的意義可以從下面整理過的方程中看出：
。當(dāng)
x→
時(shí)，這個(gè)表達(dá)式的極限值是
,以這兩極限值作為斜率的兩條直線
就是雙曲線的漸近線。只考慮
第一象限的情況，從漸近線上的一點(diǎn)(
ξ,
η)，其中
ξ>
α，向
x軸作一垂線,它與雙曲線相交于點(diǎn)
P(
x,
y)。由于
ξ=
x，并且從
與
有
y<
η。由于從雙曲線方程可以得出
，在
x→
時(shí),
,所以
,或者當(dāng)
x→
時(shí)，
。由此得知
x越大，則差
η-
y越小。當(dāng)
x→
時(shí)，雙曲線任意地接近直線
。這條直線就是雙曲線的漸近線。從直角邊為
α和
b及斜邊為
X的直角三角形可以求得它對(duì)
x軸的傾角。如果把雙曲線的兩條漸近線作為坐標(biāo)軸,則雙曲線的方程是
常數(shù)。形如
xy＝常數(shù)(≠0)的任何函數(shù)都表示雙曲線。與橢圓的情況類似，方程
也表示雙曲線。
方程的一般形式 通過以上圓錐曲線方程的建立，得知任何一種圓錐曲線（拋物線、橢圓、雙曲線）關(guān)于直角坐標(biāo)系的方程都是二元二次方程，因此圓錐曲線可以稱為二次曲線。這一結(jié)論對(duì)于仿射坐標(biāo)系也是成立的。反過來要說明二次曲線的各種可能情況，則需對(duì)一般二元二次方程進(jìn)行討論。兩個(gè)變量
x和
y的一般二次方程的形式是
，式中
α,
b,с,
d,
e,
?是任意實(shí)數(shù)而且
α,
b,с不全是零。這個(gè)方程在直角坐標(biāo)系里定義了一條曲線。可以用坐標(biāo)變換的方法化簡(jiǎn)方程，從而認(rèn)識(shí)這個(gè)方程所表示的曲線?；?jiǎn)的步驟是:首先通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)消去混乘項(xiàng) (
xy項(xiàng))，旋轉(zhuǎn)角
θ的選取應(yīng)滿足
，這時(shí)方程化為形式：
。這意味著圓錐曲線的軸與坐標(biāo)軸平行了。然后再通過坐標(biāo)系的平移繼續(xù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，平移公式是
x′＝
x″
ξ，
y┡＝
y″
η（其中
ξ和
η 是常數(shù)）。這時(shí)方程化為形式：
,對(duì)于這個(gè)方程可以分為兩種情況討論:①如果
A≠0且C≠0，選取
,
,則方程變?yōu)?
。當(dāng)
N>0時(shí)，此方程所表示的曲線可能是橢圓,可能不存在實(shí)曲線，可能是雙曲線。當(dāng)
N=0時(shí)，此方程所表示的曲線可能是一個(gè)點(diǎn)，可能是一對(duì)相交直線。當(dāng)
N<0時(shí)，可得到與
N>0時(shí)相同的曲線。②如果
AC=0，有三種可能性：當(dāng)
A=0，C≠0時(shí)，若
D≠0，選取
ξ,
η使得C
η K=0,C
η 2
Dξ 2
Kη F=0,則方程變?yōu)?div id="fbwnfa5u" class='imgcenter'>
，曲線是一拋物線。若
D=0,方程是關(guān)于
y″的二次方程，因此表示一對(duì)平行直線。當(dāng)
A≠0,C=0時(shí),得到與
A=0，C≠0時(shí)相同的曲線。當(dāng)
A=C=0時(shí)，若
D與
K不全是零,方程表示一直線。若
D=
K=0，則
F也是零。綜上所述，一般二元二次方程所表示的曲線可以是空集、一點(diǎn)、一條或兩條直線,可以是圓錐曲線。對(duì)于方程
αx 2
bxy Xy 2
dx 2
ey ?=0，設(shè)
。
I2稱為這個(gè)二次曲線的判別式。當(dāng)
I2≠0,
I3≠0時(shí),如果這個(gè)曲線不是空集，則為有心圓錐曲線。如果
I2>0則為橢圓或空集。如果
I2<0則為雙曲線。當(dāng)
I2=0，
I3≠0時(shí)這個(gè)曲線為拋物線。當(dāng)
I3=0，
I2>0時(shí)，曲線是一點(diǎn)；當(dāng)
I3=0,
I2<0時(shí)，是兩條相交直線;當(dāng)
I3=
I2=0時(shí)，是空集、一條直線或兩條平行直線。
除坐標(biāo)變換法以外，還可以利用二次曲線方程
αx 2
bxy Xy 2
dx 2
ey ? =0系數(shù)的一些函數(shù)來描述二次曲線。經(jīng)過坐標(biāo)變換后，方程的系數(shù)有所改變，但這些函數(shù)的值不變，這些函數(shù)稱為二次曲線的不變量。用到的不變量有：
其中
K1只當(dāng)
I2=
I3=0時(shí)才是不變的，稱為
半不變量。利用不變量可以確定二次曲線的形狀，但不能確定曲線在平面里的位置。而通過坐標(biāo)變換，根據(jù)新坐標(biāo)系相對(duì)于舊坐標(biāo)系的位置可以確定二次曲線的位置。關(guān)于二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以通過坐標(biāo)變換得到，也可以通過上述不變量而得到。
圓錐曲線的其他類型方程 對(duì)圓錐曲線還可以建立其他類型的方程，并可以從中看到幾種圓錐曲線之間的聯(lián)系。
頂點(diǎn)型方程 首先定義圓錐曲線的參數(shù)。圓錐曲線的參數(shù)指的是通過焦點(diǎn)且垂直于主軸的弦長(zhǎng)，根據(jù)這個(gè)定義,計(jì)算得拋物線
y=2
px的參數(shù)為2
p,橢圓
的參數(shù)為
。雙曲線
的參數(shù)為
橢圓或雙曲線的參數(shù)也可以記為2p，即對(duì)上述橢圓或雙曲線，
。
y=2
px就是拋物線的頂點(diǎn)型方程。對(duì)于橢圓或雙曲線，根據(jù)其中心型方程,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換,再引用離心率
e，就得圓錐曲線的一個(gè)公共頂點(diǎn)型方程
y＝2
px-(1
－e)
x。對(duì)于橢圓
,0<
e<1;對(duì)于雙曲線
；對(duì)于拋物線
e=1。應(yīng)該注意,圓的頂點(diǎn)型方程也包括在這個(gè)方程之內(nèi),令p=
r與
e=0,則得到
y=2
rx-
x這正是圓的方程。
極坐標(biāo)方程 太陽系行星的運(yùn)動(dòng)或人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)都是圍繞一個(gè)
引力中心（太陽或地球）的
橢圓運(yùn)動(dòng)，對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)，最自然并且最常用的坐標(biāo)系是：以引力中心為極點(diǎn)，以運(yùn)行平面上某一固定方向?yàn)闃O軸方向的極坐標(biāo)系。在各種圓錐曲線里，取焦點(diǎn)為極點(diǎn)，取該焦點(diǎn)到與其相應(yīng)的準(zhǔn)線的方向?yàn)闃O軸方向，則可得到在極坐標(biāo)系中所有圓錐曲線的相同形式的方程
。在這個(gè)方程里，p為半?yún)?shù)，
e為離心率,當(dāng) 0<
e<1，
e>1，
e=1時(shí)曲線分別為橢圓、雙曲線、拋物線。如果
e=0,
r=p=常數(shù)，則曲線表示一個(gè)圓。
對(duì)于拋物線(
e=1)當(dāng)，
φ=
π 時(shí)，
r沒有定義。對(duì)于圓或橢圓（
e=0或0<
e<1），任何
φ都對(duì)應(yīng)惟一
r值。對(duì)于雙曲線(
e>1)，當(dāng)
時(shí)，即角
φ的
終邊與漸近線平行時(shí)，
r沒有定義。
二級(jí)曲線與二階曲線 曲線作為點(diǎn)的集合，在這個(gè)觀點(diǎn)下，二次曲線也稱為二階曲線。曲線也可以作為直線的集合。直線
ux υ
y w=0的系數(shù)
u,υ,
w稱為該直線的齊次坐標(biāo)，坐標(biāo)滿足
,（其中
α、
b、с、
d、
e、
?是實(shí)數(shù)且
α、
b、с不全為零）的直線集合稱為二級(jí)曲線。有時(shí)也把這個(gè)直線集合的包絡(luò)曲線稱為二級(jí)曲線。非退化二階曲線的切線集合構(gòu)成二級(jí)曲線，如果二階曲線的方程是
αx 2
bxy с
y＋2
dx＋2
ey＋
?＝0，則其切線構(gòu)成的二級(jí)曲線方程是
其中
A、
B、C、
D、
K、
F分別是
α、
b、с、
d、
e、
?在
里的
代數(shù)余子式。
二次曲線既可以看作二階曲線也可以看作二級(jí)曲線。但對(duì)高次代數(shù)曲線，其階數(shù)與級(jí)數(shù)不相同。
從射影的觀點(diǎn)來看，二階曲線可以定義如下：兩個(gè)不同中心
S，
S′成射影對(duì)應(yīng)的線束
S(
α1,
α2,…)與
S′(
α,
α,…)的對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)
的集合稱為二階曲線。而二級(jí)曲線則可以定義為兩個(gè)不同底的成射影對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的集合。根據(jù)這種定義知：六個(gè)點(diǎn)
A1,
A2,…,
A6屬于同一個(gè)二階曲線的條件是：線束
A1(
A3,
A4,
A5,
A6)與
A2(
A3,
A4,
A5,
A6)成射影對(duì)應(yīng),對(duì)偶地可得六條直線屬于同一個(gè)二級(jí)曲線的條件。
參考書目
G.Salmon,
A treatise on conic Section, 6th ed., Chelsea,New York,1962.
孫澤瀛著，《解析幾何學(xué)》，高等教育出版社，北京，1958。
