在廣義相對論與黎曼幾何系列之四中，介紹“內蘊幾何”時說過，高斯以他的“絕妙定理”建立了曲面內在的微分幾何。之后，是高斯的得意門生黎曼將曲面的概念擴展到流形，將內蘊幾何擴展到n維的一般情形，建立了黎曼幾何。
黎曼(1826—1866)出生在一個貧困的普通家庭，比高斯剛好小50歲。有趣的是，按時間算起來，高斯那時候正好在這個地區(qū)進行土地測量。時間的巧合，給人一種神話式的聯(lián)想：上帝是否就在那時候將非歐幾何——黎曼幾何的思想種子，植根到了那片被高斯丈量的土地上。
遺憾的是，黎曼只活了39 歲，不過，在短暫的一生中，他對數(shù)學做出了杰出的貢獻。黎曼小時候家境貧困，但其父是教堂的牧師，很重視兒子的教育，也注意到黎曼在數(shù)學上的過人之處。因此，黎曼的父親沒有為了盡早改善家庭的經(jīng)濟狀況而阻止黎曼往數(shù)學方向發(fā)展，這才有了現(xiàn)代數(shù)學上著名的黎曼面、黎曼幾何、黎曼猜想……等等。
黎曼19 歲進入哥廷根大學讀書時，高斯將近70 歲，已經(jīng)是世界鼎鼎有名的數(shù)學大師，正是在聽了高斯的幾次數(shù)學講座之后，黎曼才下決心改修數(shù)學。
1847 年，黎曼轉入柏林大學學習，也許是冥冥中某種力量的召喚，兩年后他又回到哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。按照德國的學術制度，博士畢業(yè)后如想在學術界發(fā)展當教授，必須首先作2—3 年的獨立研究和教學工作，結束時交出一篇總結性文章(Habilitationsschrift)經(jīng)受考評而獲得教職(privatdozent)。當時的黎曼便是為了申請哥廷根大學的教職，被要求要作一個難度頗高的就職演說。為了確定論文的選題，他向高斯提交了3 個題目，以便讓高斯在其中選定一個。沒想到高斯選中了黎曼當時并沒有多少準備的幾何基礎題目。更沒想到的是，正是這篇黎曼花了不到兩個月時間準備出來的演講論文《論作為幾何基礎的假設》(原文見文獻[1]，英文翻譯版見文獻[2])，提出了一大堆陌生概念，開創(chuàng)了一種嶄新的幾何體系，令哥廷根的數(shù)學同行們大吃一驚。
某些傳言可能并不過分，據(jù)說當時在黎曼就職演講的聽眾中，唯有高斯聽懂了黎曼在說些什么。
從前面提到的“內蘊幾何”一節(jié)中，我們已經(jīng)知道，根據(jù)曲面的第一基本形式，也就是曲面上計算弧長的公式，可以建立起曲面的內蘊幾何。三維空間中兩個參數(shù)u和v所描述的曲面的第一形式可用下式表達：
ds2=Edu2+ 2Fdudv+Gdv2， (1)
式中的E，F(xiàn)，G是曲面第一基本形式的系數(shù)。黎曼在他的就職演說中，將二維曲面的概念擴展為“n維流形”，將E，F(xiàn)，G 等系數(shù)擴展為定義在n 維黎曼流形上每一點p 的“黎曼度規(guī)”gij(p)：
有了度規(guī)，就有了度量空間長度的某種方法，也就才能夠測量和計算距離、角度、面積等等幾何量，從而建立流形上的幾何學。首先，我們可以從圖1 所示的平面和球面上的弧長微分計算公式，對黎曼度規(guī)gij得到一點直觀印象。對圖中的二維平面和二維球面，下指標i和j 的取值從1 到2，這時，可以將度規(guī)gij寫成2×2的矩陣形式：
平面直角坐標時，
平面極坐標時，
球面經(jīng)緯線坐標時，
總結一下上面三種情況下度規(guī)的性質：(a)平面直角坐標的度規(guī)是個簡單的δ 函數(shù)(單位對角矩陣)，而且對整個平面所有的點都是一樣的；(b)平面極坐標的度規(guī)對整個平面不是常數(shù)，隨所在點矢徑r 的不同而不同；(c)球面坐標上的度規(guī)也不是常數(shù)。由上面(a)和(b)的結論可知：同樣是描述平面，但如果所選擇的坐標系不同，度規(guī)也將不同。
平面上的極坐標和直角坐標是可以互相轉換的，因此，第二種情況(b)的平面極坐標度規(guī)可以經(jīng)過坐標變換而變成(a)那種δ 函數(shù)形式的度規(guī)。那么，現(xiàn)在就有了一個問題：第3 種情況的球面度規(guī)是否也可以經(jīng)過坐標變換而變成如(a)所示的那種δ 形式的度規(guī)呢？對此數(shù)學家們已經(jīng)有了證明，答案是否定的。也就是說，在ds 保持不變的情形下，無論你做何種坐標變換，都不可能將球面的度規(guī)變成(a)所示的δ 形式。由此表明，球面的內在彎曲性質無法通過坐標變換而消除，黎曼度規(guī)可以區(qū)分平面和球面或其他空間的內在彎曲狀況。
一般來說，黎曼流形上每一點p 的“黎曼度規(guī)”gij(p)隨p 點的不同而不同，這種以空間中的點為變量的物理量叫做“場”。
像黎曼度規(guī)gij(p)這種具有兩個指標(i和j)，并且在坐標變換下按一定規(guī)律變化的幾何量叫做二階張量。因此，gij(p)是黎曼流形上的2階張量場。不難看出，對n 維流形上的點p，gij(p)在給定的坐標系中有n2個分量，因而可以表示成一個n×n 的矩陣。除了2 階張量場之外，黎曼流形上也能定義0 階張量(標量)場、1 階張量(矢量)場、3 階、4 階以及更高階的張量場。
張量在物理及工程上有廣泛的應用，尤其是大家所熟知的“矢量”的概念，在日常生活中也比比皆是，例如速度、加速度、力、電流、水流、電場等等，這些既有方向，又有大小的物理量，都可以用矢量來表示。n 維空間的矢量有n 個分量，而標量只用一個數(shù)值表示，比如溫度、濕度、密度、能量等屬于標量。
物理量表達的是某種物理實在，應該與人為選擇的坐標系無關。因此，標量、矢量、張量等都是獨立于坐標系而存在的。只不過，為了測量和計算方便，人們總是要選取一定的坐標系，這樣一來，這些量在不同的坐標系之下，便有了不同的分量值。然而，無論坐標系如何選取，因為總是對應于同一個東西，總有些量是不會改變的。因此，在坐標系變換時，張量的坐標分量便必須遵循某種規(guī)則，才能保證這一點。
有時候，坐標系的選取可以簡化計算，或者更清楚地表征空間的某種性質。前面所說的度規(guī)張量就是如此。如果一個黎曼流形上每一點的度規(guī)張量都可以寫成δ 函數(shù)形式的話，黎曼將其稱之為“平”流形。流形“平”或“不平”，定義在它上面的幾何規(guī)律將完全不同。
黎曼將二維曲面的球面幾何、雙曲幾何(即羅巴切夫斯基幾何)和歐氏幾何統(tǒng)一在下述黎曼度規(guī)表達式中：
這個弧長微分ds 表達式中的α，是2維曲面的高斯曲率。當α=+1 時，度規(guī)所描述的是三角形內角和E 大于180°的球面幾何；當α =-1時，所描述的是內角和E 小于180°的雙曲幾何；當α = 0，則對應于通常的歐幾里德幾何(圖2)。黎曼引入度規(guī)的概念，將三種幾何統(tǒng)一在一起，使得非歐幾何煥發(fā)出蓬勃的生機。
如同我們看到的嵌入三維空間中的大多數(shù)二維曲面都不是可展的一樣， 大多數(shù)流形都不是“ 平”的。高斯定義了高斯曲率來描述平面和“不可展”曲面的差異，黎曼將曲率的概念擴展為“黎曼曲率張量”。那是n 維流形每個點上的一個四階張量，張量的分量個數(shù)隨n 的增大變得很大，并且表達式非常復雜。不過，由于對稱性的原因，可以將獨立的分量數(shù)目大大減少。
也可以用黎曼定義的“截面曲率”來描述流形的內在彎曲程度。為此需引進過流形上一點p 的切空間的概念。在這兒需要強調的是，黎曼研究的是一般情況下的n 維流形，通常n≥3，但我們人類的大腦想象不出，計算機也畫不出來這些高維而又“不平坦”的流形是個什么樣子，所以只好用嵌入3 維空間的2 維曲面的圖像來表示這種“彎曲”流形，如圖3 所示。
一個n 維流形過點p 的切空間是一個n維的歐氏空間。設Pp是這個歐氏切空間中的一個平面，截面曲率K(Pp) 定義為以Pp作為切平面的n 維流形過p 點的那個2 維截面的高斯曲率。在特殊情況下，如果n=2 的話，即對2維流形而言，只有一個截面曲率，正好就是原來的高斯曲率。
上面的表述對n 大于2 的情況不好直觀想象，對n 等于2 又稍微顯得平凡。盡管如此，從圖3 中，我們仍然可以將2 維曲面圖像添加一些想象而延伸到一般的流形及其切空間，從而得到某種直觀印像。
黎曼是把流形概念推廣到高維的第一人。流形的名字來自他原來的德語術語Mannigfaltigkeit，英語翻譯成manifold，是多層的意思。一般的流形，不但“不平”，而且其“不平”度還可以逐點不一樣，流形的整體也可能有你意想不到的任何古怪形狀。不過，黎曼流形僅僅指其中定
義了黎曼度規(guī)的可微分流形。
從形式上來看，黎曼是將高斯的2 維曲面幾何推廣到了n 維，但實際上黎曼所做工作的意義遠不止于此。首先，高維流形中的曲率的概念要比2 維曲率豐富得多。此外，因為黎曼度規(guī)是基于弧長微分ds 的計算公式，所以黎曼幾何完全不同于之前的歐幾里德幾何，或笛卡爾坐標幾何那種對整個空間都適用的幾何學，而是一種局部化的幾何。這是黎曼在幾何上邁出的革命性的一步。研究黎曼幾何時，我們不需要整個空間，只需要其中局部的一小塊就夠了。在黎曼流形上的每一點，都可以定義一個切空間，從而再進一步建立起黎曼流形上的微分運算等，這些將在本系列文章的下一篇中介紹。
參考文獻
[1] Riemann B. Ueber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grundeliegen. 1854. http://www. emis. de/classics/Riemann/Geom.pdf
[2] Riemann B. On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry(translated by William Kingdon Clifford. Nature，Vol. VIII. Nos. 183，184，pp. 14—17，36，37).http：//www.emis.de/classics/Riemann/WKCGeom.pdf
本文選自《物理》2015年第11期
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