2020年度邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)平均頒予亞歷山大·貝林森(Alexander Beilinson) 和大衛(wèi)·卡茲丹 (David Kazhdan)，以表彰他們對表示論，以及許多其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大影響和深遠(yuǎn)貢獻(xiàn)。亞歷山大·貝林森是美國芝加哥大學(xué)大衛(wèi)和瑪麗·溫頓格林講座教授。大衛(wèi)·卡茲丹是以色列耶路撒冷希伯來大學(xué)數(shù)學(xué)教授。
亞歷山大·貝林森和大衛(wèi)·卡茲丹兩位數(shù)學(xué)家對被稱為表示論的數(shù)學(xué)分支作出了深遠(yuǎn)貢獻(xiàn)，他們也為許多其他領(lǐng)域帶來根本性的影響而聞名，例如算術(shù)幾何學(xué)、K理論、共形場論、數(shù)論、代數(shù)和復(fù)數(shù)幾何、群論以及廣泛的代數(shù)領(lǐng)域。除了證明重要定理，他們還創(chuàng)造了一些概念性工具，這些工具對其他數(shù)學(xué)家取得突破至關(guān)重要。他們的工作既深且廣，促進(jìn)了諸多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的長足發(fā)展。
群論與對稱性的概念有著密切關(guān)連，群本身是抽象的概念，但可以通過對某些數(shù)學(xué)對象的變換或?qū)ΨQ關(guān)系(通常是向量空間的線性變換)來「描述」，這種具體的描述就是群的表示。眾所周知，群的表示十分重要，使許多關(guān)于群論的問題簡化為較熟悉的線性代數(shù)問題。群的表示在物理學(xué)上也相當(dāng)重要，例如，物理系統(tǒng)的對稱群決定了該系統(tǒng)的方程解的一些重要特性，而群表示能將這對稱群描述清楚。大致而言，表示論是對數(shù)學(xué)和物理學(xué)基本對稱性的研究。對稱群有很多不同的 種類：有限群、李群、代數(shù)群、 p-adic群、圈群、賦值向量群等等。正因?yàn)檫@樣，貝林森和卡茲丹的工作在許多不同領(lǐng)域上作出貢獻(xiàn)。
卡茲丹其中一個(gè)最具影響力的想法是引進(jìn)一個(gè)群的特性，稱為卡茲丹特性(T)。在各種群表示中，總有一個(gè)令人不感興趣的「平凡表示」，它將群的每一個(gè)元素與對物體完全沒有任何作用的「變換」聯(lián)系起來。盡管平凡表示本身并不令人感興趣，但更有趣的是關(guān)乎另一個(gè)表示與平凡表示有多接近。特性(T)為該問題提供了精確的量化意義?？ㄆ澋な褂锰匦?T)解答了兩個(gè)有關(guān)李群離散子群的難題。自此，特性(T)在群表示論的許多方面都具極其重要的應(yīng)用，局部域上代數(shù)群中的格、遍歷理論、幾何群論、擴(kuò)張子、算子代數(shù)和網(wǎng)絡(luò)理論等，并且已被公認(rèn)為表示論中真正的基本概念。
繼這一個(gè)突破，卡茲丹也解決了一些表示論和在李群中有關(guān)格的難題，例如賽爾貝格猜想中不一致的格，以及關(guān)于仿射赫克代數(shù)的分類的施普林格猜想。
與喬治·盧斯蒂格合作解決上述最后一個(gè)問題時(shí)，卡茲丹引進(jìn)一類重要的多項(xiàng)式，并制訂出一對非常有影響力的(等價(jià))猜想。亞歷山大·貝林森的其中一個(gè)成就，是與約瑟夫·伯恩斯坦一起證明這些猜想(這些猜想也由圣呂克·布萊林斯基和柏原正樹獨(dú)立證明)。該證明引進(jìn)的方法，揭示出一個(gè)稱為幾何表示論的領(lǐng)域，謀求了解群表示的幾何和分類結(jié)構(gòu)的深層基礎(chǔ)?？ㄆ澋ぴ谠擃I(lǐng)域的發(fā)展也發(fā)揮重要作用，從這方面研究所得的洞見已用于解決幾個(gè)難題。
由貝林森、伯恩斯坦和皮埃爾·德利涅創(chuàng)立的另一著名概念稱為反常層。避開專業(yè)術(shù)語去嘗試解釋反常層是不可行的，但一個(gè)頗為人知的說法首先指出反常層既不是反常也不是層。這概念可說是真正深?yuàn)W的發(fā)現(xiàn)，雖然這概念的定義絕不直觀，但至今被視為「拓?fù)鋵W(xué)其中一個(gè)最自然和最基本的事物」(引自相同的說法)。朗蘭茲綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)研究其中一個(gè)核心目標(biāo)，貝林森的概念亦對朗蘭茲綱領(lǐng)造成深遠(yuǎn)影響。例如，假若沒有這概念，便難以想象吳寶珠完成「基本引理」的工作，以及勞倫特和文森特·拉夫福格的建樹(三位皆因這項(xiàng)工作而曾獲大獎(jiǎng))。卡茲丹誠然把數(shù)學(xué)的卓見帶入這一組豐富的意念中。通過指出軌道積分可以演繹為某些有限域上的代數(shù)簇的計(jì)數(shù)點(diǎn)，他和盧斯提格開辟了證明基本引理的通道，自此，卡茲丹繼續(xù)在這個(gè)課題上發(fā)揮重大影響。貝林森更因提出與 L 函數(shù)和動(dòng)機(jī)理論有關(guān)的深?yuàn)W猜想而聞名，不但完全改變對這兩個(gè)主題的理解，并導(dǎo)致相關(guān)工作激增。
貝林森和卡茲丹站在過去數(shù)十年許多最令人振奮的數(shù)學(xué)發(fā)展的核心，這些發(fā)展持續(xù)不息。他們獲頒2020年度邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)，實(shí)至名歸。(譯自英文原稿)
2020年度邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)得獎(jiǎng)?wù)吆喗?/strong>
亞歷山大·貝林森 (Alexander Beilinson) 在1957年于俄羅斯莫斯科出生，目前是美國芝加哥大學(xué)大衛(wèi)和瑪麗·溫頓格林講座教授。他在1988年于俄羅斯蘭道理論物理研究所取得博士學(xué)位。出任現(xiàn)時(shí)職位前，他曾于蘭道理論物理研究所擔(dān)任研究員 (1987–1993) 及于美國麻省理工學(xué)院擔(dān)任教授 (1988–1998)。亞歷山大·貝林森是美國國家科學(xué)院院士及美國人文與科學(xué)院院士。
大衛(wèi)·卡茲丹 (David Kazhdan) 在1946年于俄羅斯莫斯科出生，目前是以色列耶路撒冷希伯來大學(xué)數(shù)學(xué)教授。他在1967年于俄羅斯莫斯科國立大學(xué)先取得文憑，并在亞歷山大·基里洛夫指導(dǎo)下于1969年取得博士學(xué)位，繼而在母校擔(dān)任研究員(1969–1975)。他其后移居美國，并加入哈佛大學(xué)工作，先后擔(dān)任數(shù)學(xué)客席教授 (1975–1977)、教授(1977–2002) 及數(shù)學(xué)榮休教授(2002–)。他在2002年移居以色列，出任耶路撒冷希伯來大學(xué)教授。大衛(wèi)·卡茲丹是美國國家科學(xué)院院士及美國人文與科學(xué)院院士。
作者：邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)遴選委員會(huì)
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