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1.試題類型

華杯賽考試卷子一共有14道題，分別為：8個(gè)填空題、6個(gè)解答題。其中填空題每題10分，總共80分。6個(gè)解答題，其中前4個(gè)解答題每題10分，總共40分。后面2個(gè)解答題每題15分，總共30分。具體情況如下表：

（1）華杯賽的試題特點(diǎn)：只有填空題和解答題

（2）填空題分值所占比重過半

2.難易程度：

將近五年決賽A卷每個(gè)題目進(jìn)行難度星級(jí)標(biāo)注，我們發(fā)現(xiàn)每套試卷中高難度題有2至3個(gè)、中等偏上難度5至6個(gè)、中等偏下難度4至5個(gè)、簡單難度1至2個(gè)。由此我們可以看出來在每套試卷中華杯賽簡單難度題和中等難度題占了2/3的比重。整合近五年決賽A卷所有題目難度，我們發(fā)現(xiàn)整體簡單難度題目和中等難度題目占比為67.1%。具體各難度占比如下圖：

3.各模塊所占分值比重以及變化

我們把試題按照六個(gè)模塊來劃分：計(jì)算、幾何、應(yīng)用題、計(jì)數(shù)、數(shù)論和組合，我們把行程問題也歸類到應(yīng)用題里面。當(dāng)然一道試題不可能只考一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)綜合性的題目，例如組合部分的試題會(huì)涉及到數(shù)論和計(jì)數(shù)知識(shí)等，以下是每張?jiān)嚲砀鞔竽K所占分值的變化趨勢(shì)：

根據(jù)歷屆相同板塊橫向?qū)Ρ?，我們發(fā)現(xiàn)幾何板塊有明顯的下降，組合板塊明顯升高，計(jì)算板塊、應(yīng)用題板塊基本持平。數(shù)論板塊在十九屆、二十屆和二十一屆中也基本持平?？v向?qū)Ρ龋覀儼l(fā)現(xiàn)，數(shù)論板塊分值占比很重，基本數(shù)論結(jié)合其他知識(shí)的綜合占整個(gè)試題的50分左右。幾何也是占分大戶，幾何板塊難度并不是很高，常以中等難度出現(xiàn)。分值占比第三的是難度最高的組合板塊，組合板塊知識(shí)點(diǎn)雜、多，也是同學(xué)們?cè)诳荚囍衼G分大戶。

以下是近五年各個(gè)模塊所占比例統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

從圖中可以看出，幾何、數(shù)論和組合部分所占比重較大，計(jì)算和計(jì)數(shù)所占比重相對(duì)較小。

計(jì)算模塊：

1.?？继崛」驍?shù)、小數(shù)分?jǐn)?shù)互化、硬算功底。

計(jì)算板塊難度較低，從歷屆決賽題目來看，這道計(jì)算題考點(diǎn)基本都是分小混合運(yùn)算、提取公因數(shù)、約分、拆分和湊整等常規(guī)技巧，退一萬步講，如果臨時(shí)想不出巧算方法，那么硬算也是可以的。在十七屆、十八屆華杯賽決賽中考察到了提取公因數(shù)進(jìn)行速算的方法，在二十屆、二十一屆中主要考察計(jì)算的功底。不管是考察提取公因數(shù)還是計(jì)算功底，都離不開小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化。

在掌握基本計(jì)算基礎(chǔ)、提取公因數(shù)的同時(shí)，同學(xué)們還需注意計(jì)算中的估算和取整。在第十四屆、十五屆都考察到了估算。估算和取整這一講在市面上的各種教材中鮮少提及，所以我們沖刺班在五年級(jí)寒假講到這一講時(shí)也在盡可能地多補(bǔ)充和拓展。

2.計(jì)算板塊考察難度以及考生獲獎(jiǎng)需要達(dá)到的程度

計(jì)算題幾乎是每年必考一題，通常會(huì)放在第一題，難度是全卷最小的，因此這10分參賽的孩子們必須拿到手的。只有對(duì)于簡單會(huì)做的題目拿滿分，難度大的題目盡量拿分，才有可能沖刺獎(jiǎng)牌。如果會(huì)做的計(jì)算題目的10分因?yàn)榇中臎]有拿到手，那么要想用后面的難題來補(bǔ)上這10分將會(huì)非常困難?？忌鷱?fù)習(xí)的時(shí)候，若基本計(jì)算功底沒有問題，側(cè)重好點(diǎn)可以放在提取公因數(shù)和小數(shù)分?jǐn)?shù)互化上。當(dāng)然估算也必須有所了解，會(huì)運(yùn)用估算基本方法。要獲獎(jiǎng)，計(jì)算板塊是絕對(duì)不可以丟分的。

計(jì)數(shù)模塊：

1. 計(jì)數(shù)模塊特點(diǎn)分析

1.1計(jì)數(shù)在近五年的出題頻率及考察知識(shí)點(diǎn)

計(jì)數(shù)模塊在決賽中也頻繁出現(xiàn)，在十八屆、十九屆、二十屆中均出現(xiàn)一個(gè)填空題目，但是在二十一屆中出現(xiàn)了四個(gè)填空題目。涉及到的考點(diǎn)主要有：枚舉法、加乘原理、抽屜原理、容斥原理和排列組合等。計(jì)數(shù)模塊綜合性比較強(qiáng)，可以和幾何、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合，所以難度比較大。

1.2圖形計(jì)數(shù)為?？键c(diǎn)

雖然第二十一屆考察的知識(shí)點(diǎn)增多，但是在這四屆中基本都考察了圖形計(jì)數(shù)。圖形計(jì)數(shù)難度都不是特別大，但特別需要注意對(duì)稱性，考生需要掌握?qǐng)D形計(jì)數(shù)的基本方法。

1.3 對(duì)于枚舉及加成原理要求高

在近五年中，枚舉計(jì)數(shù)基本是每年都會(huì)出現(xiàn)，在第十九屆、第二十屆和第二十一屆中均有考察，枚舉難度也有增大趨勢(shì)。以第二十屆、二十一屆為例，第二十屆考察體育比賽分?jǐn)?shù)枚舉，只要考生細(xì)心，基本不會(huì)出錯(cuò)。雖然枚舉法是計(jì)數(shù)中最基礎(chǔ)的方法，我們?cè)谌昙?jí)秋季就開始學(xué)習(xí)，但華杯賽不管是初賽還是決賽考查枚舉法的題目都不少，這也是我們?cè)诔踬愘惻喟嘀杏?jì)數(shù)那一講的題目有一半都在講枚舉的原因。在二十一屆中，更是升級(jí)成應(yīng)用枚舉方法來解決極值問題。在解決這類問題時(shí)特別注意枚舉時(shí)要做到不重不漏，這樣就需要進(jìn)行有序枚舉或者指定一定的枚舉策略幫助枚舉，有時(shí)會(huì)涉及到抽屜原理、容斥原理和幾何旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等，抽屜原理和最不利原則要放在一起進(jìn)行理解。例如第二十屆決賽A卷第8題與組合綜合的分類枚舉、第二十一屆決賽A卷第6題與組合構(gòu)造結(jié)合進(jìn)行的分類枚舉。

2.計(jì)數(shù)模塊考察難度以及考生獲獎(jiǎng)需要達(dá)到的程度

計(jì)數(shù)板塊的基礎(chǔ)在知識(shí)點(diǎn)：枚舉法、加乘原理、抽屜原理、容斥原理和排列組合等必須非常熟悉，這類型的題目必須全對(duì)，但計(jì)數(shù)模塊綜合性比較強(qiáng)，可以和幾何、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合，所以在非常熟悉知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上同時(shí)對(duì)數(shù)論、最值以及構(gòu)造這類型題目進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)。

數(shù)論模塊：

1.數(shù)論模塊命題特點(diǎn)分析

從以上考點(diǎn)分析和各個(gè)模塊所占比重分析可以看到，單純的數(shù)論題每年大概在兩道題左右，但是數(shù)論模塊是華杯賽非常重要的一部分，往往是拉開差距的地方，因?yàn)槌藛渭兊臄?shù)論題目外，數(shù)論還會(huì)和計(jì)數(shù)以及組合數(shù)學(xué)相結(jié)合出題，難度一般都會(huì)很大，因此實(shí)際上數(shù)論在每套試卷中考察的實(shí)際分值在50分以上，并且從十七屆到二十一屆數(shù)論組合題必定是壓軸題，所以同學(xué)們平時(shí)要在數(shù)論上多下功夫。數(shù)論模塊的考點(diǎn)包括：數(shù)的整除特征、位置原理、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、完全平方數(shù)、余數(shù)問題等。例如：第十七屆決賽A卷第6題位置原理、第11題整除特征和第12題的余數(shù)問題，第十八屆決賽A卷第3題同余問題、第5題同余問題和第7題整除特征與枚舉，第十八屆決賽A卷第14題數(shù)論與構(gòu)造的綜合，第十九屆決賽A卷第2題因數(shù)和倍數(shù)，第二十屆決賽A卷第5題數(shù)論與排列組合和位置原理綜合，第7題數(shù)論與容斥原理綜合，第9題公因數(shù)和公倍數(shù)，第12題余數(shù)特征，第二十一屆決賽A卷第7題因式分解、第14題余數(shù)問題。

2. 數(shù)論模塊考察難度以及考生獲獎(jiǎng)需要達(dá)到的程度

數(shù)論在整個(gè)華杯賽中占比非常重，決賽中不僅會(huì)出現(xiàn)單純數(shù)論的考點(diǎn)，還會(huì)將數(shù)論與幾何、極值、構(gòu)造等組合起來，此類組合題目常常作為壓軸題出現(xiàn)，因此在單純數(shù)論知識(shí)點(diǎn)上不能丟分，熟練掌握數(shù)的整除特征、位置原理、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、完全平方數(shù)、余數(shù)問題等。在深刻理解數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)后，還應(yīng)多加理解構(gòu)造論證和極值問題，這類問題特別要求孩子的邏輯分析能力、分類討論能力。

幾何模塊：

1.幾何模塊命題特點(diǎn)分析

幾何部分每年都會(huì)三道題左右，涉及的考點(diǎn)集中在：基本圖形的面積計(jì)算（三角形、平行四邊形、正方形、長方形、梯形、圓和扇形等）、勾股定理和常用勾股數(shù)、等高模型、一半模型、鳥頭模型、燕尾模型、風(fēng)箏模型、沙漏模型、金字塔模型和格點(diǎn)面積公式等，能夠熟練基本圖形面積計(jì)算公式，會(huì)用割補(bǔ)法和整體減局部法對(duì)不規(guī)則圖形進(jìn)行分割和拼湊，從而間接求面積。會(huì)用等高模型和一半模型對(duì)圖形進(jìn)行等積變換，理解和運(yùn)用“七大模型”實(shí)現(xiàn)圖形面積比與線段長度比之間的轉(zhuǎn)化。要求孩子具有一定的添加輔助線能力，有時(shí)題目中無法直接運(yùn)用模型進(jìn)行求解，這時(shí)需要對(duì)圖形具有敏銳的觀察力和對(duì)題目考點(diǎn)的把控，添加輔助線后運(yùn)用模型求解。如第十八屆決賽A卷第4題需要簡單添加輔助線構(gòu)造直角三角形求解，第十九屆決賽A卷第12題需要添加簡單輔助線構(gòu)造風(fēng)箏模型求解，第二十屆決賽A卷第11題需要?jiǎng)?chuàng)造性的添加輔助線構(gòu)造一半模型求解。

2.幾何模塊考察難度以及考生獲獎(jiǎng)需要達(dá)到的程度

近五年幾何考察中，立體幾何逐漸減少，七大模型組合應(yīng)用逐漸增多，考生需要熟練運(yùn)用“七大模型”實(shí)現(xiàn)圖形面積比與線段長度比之間的轉(zhuǎn)化，善于添加輔助線轉(zhuǎn)化要求解不規(guī)則圖形。

應(yīng)用題模塊：

1.應(yīng)用題模塊命題特點(diǎn)分析

應(yīng)用題模塊在決賽中一般會(huì)出現(xiàn)兩道題左右，難度都是中等較為偏上，但不是最難的題目。應(yīng)用題模塊包含的考點(diǎn)有：和差倍分問題、行程問題、工程問題、年齡問題、平均數(shù)問題、比例法解應(yīng)用題以及濃度和經(jīng)濟(jì)問題。對(duì)于和差倍分問題要理解份數(shù)的思想；行程問題涉及的考點(diǎn)比較多，但在比賽中一般不會(huì)涉及到簡單的行程問題，而是較為復(fù)雜的像流水行船、變速問題、時(shí)鐘問題、多人多次相遇和追及、走走停停和變道問題等。要求孩子們能熟練運(yùn)用比例（時(shí)間一定，路程比等于速度比；速度一定，路程比等于時(shí)間比；路程一定，速度比與時(shí)間比成反比）和分?jǐn)?shù)的思想，會(huì)畫行程線段圖幫助理解題意，對(duì)于有的題目用方程解比較方便的要會(huì)借助方程解題。行程問題出現(xiàn)在決賽中難度一般都比較大，比如第十八屆決賽A卷的第11題流水行船問題，第十九屆決賽A卷第11題份數(shù)思想的運(yùn)用和第二十屆決賽A卷第4題的鐘表問題等。其他應(yīng)用題模塊相比行程問題會(huì)簡單一些，比如工程問題的量率對(duì)應(yīng)、年齡問題中抓住年齡差不變、平均數(shù)問題的“移多補(bǔ)少”思想、濃度問題中的十字交叉法等。比如：第二十一屆決賽A卷第11題注水工程問題。

組合模塊：

1. 組合模塊命題特點(diǎn)分析

本次分析中把多有的雜題部分歸類為組合數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)包括：數(shù)字謎、數(shù)陣圖、不定方程、論證與構(gòu)造、分類討論、最值問題、周期問題、比賽問題、邏輯推理等。在近五年中，論證與構(gòu)造、數(shù)字謎這兩個(gè)考點(diǎn)比較熱門。比如：第十八屆進(jìn)決賽A卷12題數(shù)字謎分析重?cái)?shù)、第14題論證構(gòu)造。第十九屆決賽A卷第13題構(gòu)造、第14題數(shù)字謎。第二十屆決賽A卷第14題數(shù)字謎與分類討論。第二十一屆決賽A卷第6題構(gòu)造、列表枚舉。組合部分涵蓋類型廣、難度大，所占分值高。要想這部分拿高分，只有通過多練習(xí)和多見題型。對(duì)于一些比較巧妙的構(gòu)造方法，要花時(shí)間琢磨透徹。豎式數(shù)字謎要熟悉幾種分析方法，包括尾數(shù)分析、進(jìn)退位分析、數(shù)字和分析等，數(shù)字謎跟數(shù)論知識(shí)有千絲萬縷的聯(lián)系；樹陣圖要掌握重?cái)?shù)分析；不定方程跟數(shù)論也有千絲萬縷的聯(lián)系，涉及到數(shù)的整除；邏輯推理部分熟悉假設(shè)法和列表分析法等常規(guī)方法等。

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