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高分家長(zhǎng)說(shuō)

【1】歐拉公式

歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書(shū)，得到著名數(shù)學(xué)家貝努利的精心指導(dǎo)．歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開(kāi)始發(fā)表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫(xiě)下了886本書(shū)籍和論文，其中在世時(shí)發(fā)表了700多篇論文。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年。

　　歐拉著作驚人的高產(chǎn)并不是偶然的。他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，可以使他在任何不良的環(huán)境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明后的17年間，也沒(méi)有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書(shū)和400余篇的論文。當(dāng)他寫(xiě)出了計(jì)算天王星軌道的計(jì)算要領(lǐng)后離開(kāi)了人世。歐拉永遠(yuǎn)是我們可敬的老師。

　　歐拉研究論著幾乎涉及到所有數(shù)學(xué)分支，對(duì)物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂(lè)都有研究！有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫(xiě)的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時(shí)一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777-1855）曾說(shuō)過(guò)“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。歐拉還是數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。

簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系

　　V + F - E = 2
這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

【2】勾股定理

勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。是一個(gè)基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國(guó)，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的一個(gè)特例，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，作為一個(gè)證明。法國(guó)和比利時(shí)稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。

　　在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和。如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么：a2+b2=c2

【3】平面圖形的面積

三角形的面積＝底×高÷2。公式 S= a×h÷2

正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)公式 S= a2

長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬公式 S= a×b

平行四邊形的面積＝底×高公式 S= a×h

梯形的面積＝（上底+下底）×高÷2公式 S=(a+b)h÷2

三角形內(nèi)角和：內(nèi)角和＝180°

【4】長(zhǎng)方體（正方體）體積

長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高公式：V=abh

長(zhǎng)方體（或正方體）的體積＝底面積×高公式：V=abh

正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)公式：V=a3

【5】圓

圓的周長(zhǎng)＝直徑×π公式：L＝πd＝2πr

圓的面積＝半徑×半徑×π公式：S＝πr2

圓柱的表（側(cè)）面積：圓柱的表（側(cè)）面積等于底面的周長(zhǎng)乘高。

公式：S=ch=πdh＝2πrh

圓柱的表面積：圓柱的表面積等于底面的周長(zhǎng)乘高再加上兩頭的圓的面積。

公式：S=ch+2s=ch+2πr2

圓柱的體積：圓柱的體積等于底面積乘高。公式：V=Sh

圓錐的體積＝1/3底面×積高。公式：V=1/3Sh

【6】分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

分?jǐn)?shù)的加、減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。

分?jǐn)?shù)的乘法則：用分子的積做分子，用分母的積做分母。

分?jǐn)?shù)的除法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

【7】單位換算

（1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米
（2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米
（3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米
（4）1噸＝1000千克1千克= 1000克= 1公斤 = 1市斤
（5）1公頃＝10000平方米1畝＝666.666平方米
（6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米

【8】分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)法求和

　　這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

　?。?）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

　?。?）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　（5） n·n!=(n+1)!-n!

【9】數(shù)列知識(shí)

一、基本概念

　　1、 數(shù)列的定義及表示方法：按一定次序排列成的一列數(shù)叫數(shù)列

　　2、 數(shù)列的項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n

　　3、 按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)來(lái)分,分為有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列

　　4、 按照項(xiàng)的增減規(guī)律分為：遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,擺動(dòng)數(shù)列和常數(shù)列

　　5、 數(shù)列的通項(xiàng)公式an

　　6、 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn

　　7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：an=a1+(n-1)d

　　8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)：an=a1·q^(n-1)

　　二、基本公式：

　　9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an= Sn-Sn-1

　　10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng))

　　當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

　　11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d

　　當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

　　12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)

　　(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)

　　13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；

　　當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)

　　三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

　　14、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

　　15、等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則 am+an=ap+aq

　　16、等比數(shù)列中，若m+n=p+q，則 am·an=ap·aq

　　17、等比數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。

　　18、兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列{an+bn}仍為等差數(shù)列。

　　19、兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

　　{an·bn}、{an/bn} 、{1/(an·bn)} 仍為等比數(shù)列。

　　20、等差數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

　　21、等比數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；

　　四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

　　23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；

　　四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3

　　四、數(shù)列求和的常用方法：

　　公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。(關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu))

　　24、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n

　　25、錯(cuò)位相減法求和：如an=n·2^n

　　26、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1)

　　27、倒序相加法求和：如an= n

　　28、求數(shù)列的最大、最小項(xiàng)的方法：

　?、?an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

　　② (an>0) 如an=

　?、?an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

　　29、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問(wèn)題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：

　　(1)當(dāng) a1>0,d<>

　　(2)當(dāng) a1<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sm取最小值.

　　在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

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