概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
數(shù)列
一．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）
的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如
n
(n?N*)，則在數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為_(kāi)_ （1）已知an?2
n?156
1
（答：）；
25
an
（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an?，其中a,b均為正數(shù)，則an與an?1的大小關(guān)系為
bn?1
___
（答：an?an?1）；
（3）已知數(shù)列{an}中，an?n2??n，且{an}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)?的取值范圍 （答：???3）；
（4）一給定函數(shù)y?f(x)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意a1?(0,1)，由關(guān)系式?f(an)得到的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an?1?an(n?N*)，則該函數(shù)的圖象是 （）
（答：A）
an?1
A B C D
二．等差數(shù)列的有關(guān)概念：
1．等差數(shù)列的判斷方法：定義法an?1?an?d(d為常數(shù)）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如
設(shè){an} 是等差數(shù)列，求證：以bn=
a1?a2???an
n?N*為通項(xiàng)公式的數(shù)列{bn}為
n
等差數(shù)列。
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如
(1)等差數(shù)列{an}中，a10?30，a20?50，則通項(xiàng)an?（答：2n?10）；
（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______
8
（答：?d?3）
3
n(a1?an)n(n?1)
d。如 3．等差數(shù)列的前n和：Sn?，Sn?na1?
221315
（1）數(shù)列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n項(xiàng)和Sn??，則a1＝
222
＿，n＝＿
（答：a1??3，n?10）；
（2）已知數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和Sn?12n?n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn
2*
12n?n(n?6,n?N)
（答：Tn??2）. *
n?12n?72(n?6,n?N)
a?b
4．等差中項(xiàng)：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A?。
2
提醒：
（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn，
其中a1、d稱(chēng)作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。
（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差為2d） 三．等差數(shù)列的性質(zhì)：
1．當(dāng)公差d?0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關(guān)于n的一次函數(shù)，
n(n?1)dd
d?n2?(a1?)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常且斜率為公差d；前n和Sn?na1?
222
數(shù)項(xiàng)為0.
2．若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。 3．當(dāng)m?n?p?q時(shí),則有am?an?ap?aq，特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有am?an?2ap.如
（1）等差數(shù)列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，則n＝____
（答：27）；
（2）在等差數(shù)列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n項(xiàng)和，則 A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0 B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0
（答：B）
4．若{an}、則{kan}、{bn}是等差數(shù)列，{kan?pbn} (k、p是非零常數(shù))、{ap?nq}(p,q?N*)、
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差數(shù)列，而{aan}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且
an?0，則{lgan}是等差數(shù)列. 如
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。
（答：225）
5．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇?nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，
，S2n?1?(2n?1)?a中（這里a中即an）；S奇S:S奇?S偶?a中（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______
（答：2）；
（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)
（答：5；31）.
偶
k(:)1?k。如
6．若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且
an(2n?1)anA2n?1
f(2n?1).如 bn(2n?1)bnB2n?1
An
f(n)，則 Bn
設(shè){an}與{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若那么
an
___________ bn
Sn3n?1
，?
Tn4n?3
（答：
6n?2
）
8n?7
7．“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等
差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組
an?0??an?0?確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是?或??????an?1?0??an?1?0?
關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如
（1）等差數(shù)列{an}中，a1?25，S9?S17，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。
（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；
（2）若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1?0,a2003?a2004?0，
a2003?a2004?0，則使前n項(xiàng)和Sn?0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）
8．如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究an?bm. 四．等比數(shù)列的有關(guān)概念：
1．等比數(shù)列的判斷方法：定義法an?1?q(q為常數(shù)），其中q?0,an?0或an?1?an
an
an
an?1
(n?2)。如
（1）一個(gè)等比數(shù)列{an}共有2n?1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則an?1
為_(kāi)___
5
（答：）；
6
（2）數(shù)列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)：an?a1qn?1或an?amqn?m。如
設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n項(xiàng)和Sn＝126，求n和公比q.
1
（答：n?6，q?或2）
2
a1(1?qn)a1?anq
3．等比數(shù)列的前n和：當(dāng)q?1時(shí)，Sn?na1；當(dāng)q?1時(shí)，Sn?。如 1?q1?q
（1）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99
（答：44）；
k
（2）?(?Cn)的值為_(kāi)_________
n?1k?0
10n
（答：2046）； 特別提醒：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)q分q?1和q?1兩種情形討論求解。
4．等比中項(xiàng)：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩
數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)a,b(a?b)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi)_____（答：A＞B）
提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：a1、q、n、an
及Sn，其中a1、q稱(chēng)作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為?，aaaa23
q,,a,aq,aq?（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為?，?，,,aq,aq23
qqqq因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為q2。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比數(shù)列的性質(zhì)：
n?p?q（1）當(dāng)m?時(shí)，則有am?特別地，當(dāng)m?n?2p時(shí)，則有am?an?ap?aq，an?ap2.如
（1）在等比數(shù)列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整數(shù)，則a10=___
（答：512）；
（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5?a6?9，則log3a1?log3a2???log3a10?
（答：10）。
(2) 若{an}是等比數(shù)列，則{|an|}、若{an}、{kan}成等比數(shù)列；{bn}{ap?nq}(p,q?N*)、
a
成等比數(shù)列，則{anbn}、{n}成等比數(shù)列； 若{an}是等比數(shù)列，且公比q??1，則數(shù)列
bn
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比數(shù)列。當(dāng)q??1，且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如
gxn1（1）已知a?0且a?1，設(shè)數(shù)列{xn}滿(mǎn)足loa?1??
x1?x2???x10?0100，則x101?x102???x200?.
(n?N*)，且loxagn
（答：100a100）；
（2）在等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若S30?13S10,S10?S30?140，則S20的值為_(kāi)_____
（答：40）
(3)若a1?0,q?1，則{an}為遞增數(shù)列；若a1?0,q?1, 則{an}為遞減數(shù)列；若
a1?0,0?q?1 ，則{an}為遞減數(shù)列；若a1?0,0?q?1, 則{an}為遞增數(shù)列；若q?0，則{an}為擺動(dòng)數(shù)列；若q?1，則{an}為常數(shù)列.
a1na
(4) 當(dāng)q?1時(shí)，Sn?q?1?aqn?b，這里a?b?0，但a?0,b?0，這是
1?q1?q
等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn，判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列。
如若{an}是等比數(shù)列，且Sn?3n?r，則r＝
（答：－1）
(5) Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.如設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差數(shù)列，則q的值為_(kāi)____
（答：－2）
(6) 在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶?qS奇；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1時(shí)，
S奇?a1?qS偶.
(7)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)
數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn（n?N）， 關(guān)于數(shù)列?an?有下列三個(gè)命題：①若an?an?1(n?N)，則?an?既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若Sn?an2?bn?a、b?R?，則
an?是等差數(shù)列；③若Sn?1???1?n，則?an?是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是
（答：②③）
五.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：
⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列1111
3,5,7,9,?試寫(xiě)出其一個(gè)通項(xiàng)公式：__________ 481632
1
（答：an?2n?1?n?1）
2
S,(n?1)
⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。如
nn?1
①已知{an}的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足log2(Sn?1)?n?1，求an
（答：an?
111
②數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1?2a2???nan?2n?5，求an
222
3,n?1
）；
2n,n?2
（答：an?
14,n?1
）
2n?1,n?2
f(1),(n?1)??f(n)
⑶已知a1?。如數(shù)列{an}中，a2???an?f(n)求an，用作商法：an??
,(n?2)
a1?1,對(duì)所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，則a3?a5?______
61
（答：）
16
⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)
1
(n?2)，則an=________
a1(n?2)。如已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1?1，an?an?1?
n?1?n
（答：an?1）
aaaa
an?n?n?1???2?a1(n?2)。⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：如已知數(shù)列{an}
anan?1an?2a1中，a1?2，前n項(xiàng)和Sn，若Sn?n2an，求an
如（1）設(shè){an}為等比數(shù)列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式.（答：①a1?1，q?2；②Tn?2n?1?n?2）；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)?(x?1)2，g(x)?4(x?1)，數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1?2,f(an)?(an? an?1)g(an)(n?N?)，①求證：數(shù)列{an?1}是等比數(shù)列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2
888???(an?1)xn，求函數(shù)h(x)在點(diǎn)x?處的導(dǎo)數(shù)h?()，并比較h?()與2n2?n的大小。333
888h?()＝2n2?n；h?()<2n2?n；（答：①略；②h?()?(n?1)?2n?1，當(dāng)n?1時(shí)，當(dāng)n?2時(shí)，333
8當(dāng)n?3時(shí)，h?()>2n2?n） 3
5．裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： ①??； ②?(?)； 111111111111?(?)，?③2?2??2???； kk?12k?1k?1kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k
n111111?[?] ；⑤④；
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!
. ⑥?如（1）求和：111?????1?44?7(3n?2)?(3n?1)
（答：
（2）在數(shù)列{an}中，an?1
n?n?1n）； 3n?1，且Sｎ＝９，則n＝_____
（答：99）；
6．通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。如 ①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n項(xiàng)和Sn n(n?1)(n?5)（答：）； 3
②求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3???n
（答：2n） n?1
七．“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問(wèn)題
1．這類(lèi)應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”，細(xì)心計(jì)算“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
2．利率問(wèn)題：①單利問(wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金p元，每期利率為r，則n期后本利和為：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)
n(n?1)?p(n?r)（等差數(shù)列問(wèn)題）；②復(fù)利問(wèn)題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模2
型：若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分n期還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期等額還款x元應(yīng)滿(mǎn)足：（等比數(shù)列問(wèn)題）. p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2???x(1?r)?x
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