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類型一：A字型
1．如圖，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D在邊AB上，且∠ACD＝∠B，則線段AD的長為 ?。?/p>
2．如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10．四邊形BDEF是△ABC的內(nèi)接正方形（點(diǎn)D、E、F在三角形的邊上）．則此正方形的面積是 ?。?/p>
3．已知：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點(diǎn)E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明成立（不要求考生證明）．
若將圖中的垂線改為斜交，如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AB交BD于點(diǎn)F，則：
（1）還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（2）請(qǐng)找出S△ABD，S△BED和S△BDC間的關(guān)系式，并給出證明．
類型二：X型
1．如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，AO：DO＝1：2，那么下列式子正確的是（ ）
A．BO：BC＝1：2 B．CD：AB＝2：1 C．CO：BC＝1：2 D．AD：DO＝3：1
2．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則EF：FC等于（ ?。?/p>
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
類型三：旋轉(zhuǎn)型
1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點(diǎn)B′在AB上，A′B′交AC于F，則圖中與△AB'F相似的三角形有（不再添加其它線段）（ ?。?/p>
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）寫出圖中兩對(duì)相似三角形（不得添加字母和線）；
（2）請(qǐng)分別說明兩對(duì)三角形相似的理由．
3．已知：如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果點(diǎn)D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，點(diǎn)O為AC與DE的交點(diǎn)．
求證：（1）△ABC∽△ADE；
（2）DA·OE＝OA·CE．
類型四：垂直型
1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，則圖中相似三角形有（ ?。?/p>
A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
2．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處．若AD＝3，BC＝5，則EF的值是（ ?。?/p>
B．2 C． D．2
3．矩形ABCD中，M是BC邊上且與B、C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P是射線AM上的點(diǎn)，若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似，則這樣的點(diǎn)有 個(gè)．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長的最小值為 ?。?/p>
類型五：一線三等角
1．已知如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知：如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果點(diǎn)D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，點(diǎn)O為AC與DE的交點(diǎn)．
求證：（1）△ABC∽△ADE；（2）DA·OE＝OA·CE．
3．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)P作∠APE＝∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；（2）若CE＝3，求BP的長．
4．如圖，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為M、N，
（1）求證：△AMB∽△AND； （2）求證：．
類型六“利用等線段代換證明
1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB＝∠ACB．
（1）求證：＝；（2）如果AB⊥AC，AE：EC＝1：2，求證：AC＝BD．
2．在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于E，交AD于F．①求證：∠B＝∠EAC；
②若設(shè)CE＝a，DE＝b，BE＝c，你能根據(jù)這些條件判斷關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2bx+c＝0的根的情況嗎？說明理由．
3．如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G．
求證：AG2＝AF·FC．
類型七：利用等比代換或等積代換
1．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長線交CA于F．求證：AC·CF＝BC·DF．
2．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長線于F．
求證：BD·CF＝CD·DF．
相似三角形中動(dòng)點(diǎn)及探究性問題
1．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，N在CD上，且，若AB＝1，設(shè)BM＝x，當(dāng)x＝ 時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似．
2．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．若以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為 秒．
3．如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，直線l經(jīng)過C，且l∥AB，P為l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△ABC與△PAC相似，則PC＝ ?。?/p>
4．如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，點(diǎn)P在直線BD上，由B點(diǎn)到D點(diǎn)移動(dòng)，（1）當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到離B點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)，△ABP∽△PDC；
（2）當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到離B多遠(yuǎn)時(shí)，∠APC＝90°？
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，端點(diǎn)C恰巧落在邊AC上的點(diǎn)E處．如果＝m，＝n．那么用含n的代數(shù)式表示m是：m＝ ?。?/p>
6．設(shè)△ABC的面積為1，如圖①，將邊BC、AC分別2等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等分，BE1、AD1相交于點(diǎn)O，△AOB的面積記為S2；…，依此類推，則Sn可表示為 ．（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）
7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），平行四邊形AFPE的頂點(diǎn)F，E分別在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．設(shè)BP＝x，平行四邊形AFPE的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）上述函數(shù)有最大值或最小值嗎？若有，則當(dāng)x取何值時(shí)，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請(qǐng)說明理由．
相似三角形綜合探究
1．一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），∠B＝30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ?。?/p>
（﹣3﹣，3） B．（﹣3﹣，3）
C．（﹣，3） D．（﹣，3）
2．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長線上的點(diǎn)B'處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則AD＝ ??；B'F＝ ．
3．現(xiàn)有多個(gè)全等直角三角形，先取三個(gè)拼成如圖1所示的形狀，R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR＝3：1：2．
（1）若取四個(gè)直角三角形拼成如圖2所示的形狀，S為EF的中點(diǎn)，BS分別交AC，CD，DE于P，Q，R，則BP：PQ：QR：RS＝
（2）若取五個(gè)直角三角形拼成如圖3所示的形狀，T為FG的中點(diǎn)，BT分別交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，則BP：PQ：QR：RS：ST＝ ．
4．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．若AD、BC所在直線互相垂直，的值為 ．
相似三角形的動(dòng)點(diǎn)探究
1．如圖，在一塊直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將另一個(gè)含30°角的△EDF的30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上，E、F分別在AC、BC上，當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)時(shí)，DE始終與AB垂直，若△CEF與△DEF相似，則AD＝ ．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)B（0，8）為端點(diǎn)的射線BG∥x軸，點(diǎn)A是射線BG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合）．在射線AG上取AD＝OB，作線段AD的垂直平分線，垂足為E，且與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AC⊥OA，交射線EF于點(diǎn)C．連接OC、CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．（1）用含t的式子表示點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ??；
（2）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F不重合時(shí)，設(shè)△OCF的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，∠OCD＝180°？
相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)的綜合
1．如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF＝NM＝2，ME＝3，則AN＝（ ?。?/p>
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（ ?。?/p>
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
3．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，點(diǎn)B在雙曲線y＝（k≠0）上，AB∥x軸，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D．連接OB，與AD相交于點(diǎn)C，若AC＝2CD，則k的值為（ ?。?/p>
A．6 B．9 C．10 D．12
4．如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y＝﹣、y＝的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則∠OAB的大小的變化趨勢(shì)為 ?。?/p>
5．如圖，O為矩形ABCD的中心，E為AB邊上一點(diǎn)，OF⊥OE且與BC邊交于點(diǎn)F．若AB＝6，AD＝4，設(shè)OE＝x，OF＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ?。?/p>
6．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且CF＝3FD，△ABE與△DEF相似嗎？為什么？
7．已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE＝OB，連接DE．
（1）求證：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求證：BD·CE＝CD·DE．
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